一道高考題的幾何審視

摘 要：本文從橢圓切線的定義出發(fā)，從幾何角度重新審視橢圓切線的定義及性質，從純幾何角度完美詮釋了《高考試題中的定值“情結”》一文（繆瑞紅）中給出的圓錐曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡，既挖掘了圓錐曲線的幾何特征，又深刻地揭露了問題的本質.

關鍵詞：橢圓；圓；切線；幾何法

解析幾何的基本思想是用代數方法來研究幾何問題. 但歸根到底，其研究對象是幾何問題，因此，在研究解析幾何問題時，若從幾何的角度去審視研究對象，挖掘研究對象的幾何特征，是可以更深刻揭露問題的本質的，同時研究過程對提高思維的靈活性和創(chuàng)造性都是有幫助的.

《高考試題中的定值“情結”》一文（繆瑞紅）通過代數方法解決并推廣了2014年廣東卷的第20題，得到了以下命題1：

已知橢圓+=1的兩條互相垂直的切線的交點為P，則點P的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.

接下來，筆者嘗試從幾何角度出發(fā)，重新審視該問題，進一步揭露該問題的本質.

為了更好地從幾何角度來探究橢圓切線的幾何特征，我們先給出并證明橢圓切線定義的等價形式.

性質1 如圖1，直線XY經過橢圓C：+=1（a>b>0，c=）上的點P，F1，F2為橢圓的兩個焦點，則直線XY為橢圓C的切線的充要條件是∠XPF1=∠YPF2. （橢圓的光學性質）

證明：（充分性）如圖2，作F2關于直線XY的對稱點F2′，連接PF2′，在直線XY上任取一點P ′，連接P ′F2′，P ′F1，P ′F2.

這說明直線XY上除點P外的其他點均在橢圓C外部，所以，直線XY與橢圓C只有唯一的公共點P，由定義知直線XY是橢圓C的切線.

（必要性）如圖3，作F2關于直線XY的對稱點F2′.

命題3：已知拋物線y2=2px（p>0）的兩條互相垂直的切線的交點為P，則點P的軌跡方程為x=-.

圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，解析幾何的基本思想是用坐標法來研究幾何問題，但有些圓錐曲線問題運用坐標法求解，往往要用到煩瑣的推理和計算. 因此，在研究解析幾何問題時，若能從幾何的角度去審視研究對象，結合平面幾何知識另辟蹊徑，往往事半功倍、別樣精彩.