一道立體幾何試題的四種解法及其比較

摘 要：在2008年湖南省高考數(shù)學試卷中，立體幾何的解答題很有代表性. 其解法不少于四種，涉及一些重要的解題思想方法和策略，如轉(zhuǎn)化的思想、間接構(gòu)造輔助圖形的策略等. 這些思想方法或策略在一定程度上反映出了立體幾何的解題規(guī)律.

關(guān)鍵詞：立體幾何；解題；思想方法；策略；規(guī)律

在2008年湖南省高考數(shù)學試題中，立體幾何的解答題很有代表性，是一道高質(zhì)量的測試題.該題的解法不少于四種，涉及一些重要的解題思想和策略. 本文通過分析與比較，提煉出這些思想或策略，有助于加深我們對立體幾何解題特點和規(guī)律的認識，從而為立體幾何解題教學重心的調(diào)整指明方向.

[?] 試題及解法

如圖1所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2.

（1）證明：平面PBE⊥平面PAB；

（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.

解：（1）由于解法簡單，故略去. 下面給出（2）的四種解法.

解法1——求法向量夾角. 這是最常用的解法之一. 解題思路大致如下.

以A點為原點，以AB為x軸，以AP為z軸，建立直角坐標系（見圖2）. 根據(jù)已知條件， 向量，，的坐標很容易得到. 我們知道△BCD是邊長為1的等邊三角形，所以，我們不難求得向量的坐標. 然后，利用向量的數(shù)量積及相互垂直向量之間的關(guān)系，不難分別求得平面BPE和平面APD的法向量n和m的坐標. 之后，通過計算這兩個法向量的數(shù)量積，就可以求得兩個法向量夾角的余弦，進而就可得到二面角的大小.

解法2——構(gòu)造平面角.解題思路大致如下.

要作出它的一個平面角，首先就要作出二面角的棱. 為此，延長AD和BE交于點F，連接PF，得到二面角的棱（見圖3）. 作出線段AD的中點G，連接BG，則容易證明 BG垂直于平面PAD. 過點G引棱BF的垂線，垂足為H. 連接BH，則不難證明∠GHB就是所要求的平面角. 我們不難利用解三角形的辦法求得它的大小，進而得到相應(yīng)二面角的大小.

解法3——平移二面角的一個面. 解題思路大致如下.

首先過D作BE的平行線DF，則容易證明F是AB的中點，且DF⊥AB. 取AP的中點G，連接FG，則容易證明平面FDG與平面BEP平行. 故所求的二面角等于平面FDG和AGD所成的二面角. 此時，很容易作出這個二面角的一個平面角. 具體做法是，過F作AD的垂線，垂足為H. 則不難證明FH垂直于平面AGD. 再過點H作GD的垂線，垂足為K，連接FK，則不難證明∠HKF就是所要求的平面角（見圖4）. 當然，我們不難利用解三角形的方法求得該角的大小.

解法4——分別作兩個平面的垂線，并使這兩條垂線相交. 解題思路如下.

具體做法是，過點A作PB的垂線，垂足為G，則利用結(jié)論（1），不難證明AG垂直于平面PBE. 然后，過點B作AD的垂線，垂足為F，則不難證明BF垂直于平面PAD. 連接PF. 過點G作BF的平行線交PF于H，則不難證明GH也垂直于平面PAD. 連接AH（見圖5），則我們不難利用解三角形的方法求得∠AGH的大小，進而得到二面角的大小.

[?] 解法的分析與比較

解法1是一種常用的解法. 這一方法包含兩個轉(zhuǎn)化：把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；把求二面角大小的問題轉(zhuǎn)化為求法向量的夾角問題. 這是“問題是可以轉(zhuǎn)化的”這一解題思想的直接體現(xiàn).

解法2也是一種常見的解法.這種解法包含兩個“關(guān)卡”. 本題中，由于已知圖形中并沒有畫出二面角的棱，所以，要想作出二面角的一個平面角，首先就要作出它的棱. 為此，必須首先弄清相關(guān)直線與直線、直線與平面之間的位置關(guān)系. 而這取決于解題者的觀察能力和空間想象能力，所以是解答本題的第一個“關(guān)卡”. 另外，就二面角的平面角的構(gòu)造而言，由于不是在棱上任取一點構(gòu)造出來的，而是借助于特殊的點或線間接地確定的（其目的是確保該角的大小不難求得），這樣一來，作圖的難度就大大增加. 這是解答本題的第二個“關(guān)卡”. 這種作圖方法采用的策略是“利用特殊點或線間接定位”的策略.

解法3與解法2類似，都是先作出一個平面角，然后利用解三角形的方法求得其大小. 同時，平面角的構(gòu)造方法也相同：利用特殊點間接地確定平面角. 當然，通過構(gòu)造二面角的平面角來解決問題其實也是一種轉(zhuǎn)化——把二面角轉(zhuǎn)化為平面角進行處理. 這兩種方法之間的差異是：解法2是先作出二面角的棱，然后構(gòu)造二面角；而解法3是首先平移其中的一個面或構(gòu)造一個面的平行平面，從而構(gòu)造出一個與原二面角大小相等的新二面角.后者體現(xiàn)了“圖形是可以移動的”解題信念.

解法4與解法1有異曲同工之妙. 都把面面夾角的問題轉(zhuǎn)化為線線夾角的問題. 不同的是，在求垂線之間的夾角時，解法1采用的是向量法，且不必作出法向量；而解法4先分別構(gòu)造出兩個面的垂線，且保證這兩條垂線經(jīng)過原圖中的特殊點，同時成為一個三角形的兩邊（只有這樣，解題者才能使用解三角形的方法求出其夾角的大?。? 如此一來，由于這兩條垂線的限制條件多，結(jié)果導致構(gòu)造輔助線或輔助圖形難度增大. 解法4中的作圖體現(xiàn)了“輔助圖形往往是可以構(gòu)造的”這一解題信念.

總的來說，這四種方法也有共同之處. 第一，都采用了轉(zhuǎn)化的思想，即把求二面角大小的問題轉(zhuǎn)化為求線線夾角的問題. 第二，都是通過構(gòu)造輔助圖形來實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的（解法1構(gòu)造的輔助圖形是空間直角坐標系），而且輔助圖形都是利用圖形中特殊點間接地構(gòu)造而成的，或者說都采用了間接構(gòu)造的策略. 第三，不論是構(gòu)造輔助圖形還是求某些量的大小，都依賴于解題者對子圖形之間的大小關(guān)系或位置關(guān)系的正確把握. 第四，支撐這四種解法的基石是一些重要的解題信念，即“問題是可以轉(zhuǎn)化的”、“輔助圖形往往是可以構(gòu)造的”、“子圖形之間往往存在著制約關(guān)系”等等. 總之，上述四種解法所采用的這些解題思想、策略和信念具有普遍意義，在一定程度上體現(xiàn)了立體幾何問題解決的一般規(guī)律，立體幾何解題教學只有圍繞它們展開才能收到良好成效.