對2014年山東理科數(shù)學(xué)第21題的深入探究

摘 要：通過對2014年山東理科數(shù)學(xué)大題的壓軸題的解答和進一步探究，發(fā)現(xiàn)了試題命制的背景，得到了幾個一般性的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：山東理科第21題；幾何背景；一般化

[?] 試題呈現(xiàn)

2014年山東理科第21題：已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有

（Ⅰ） 求C的方程；

（Ⅱ） 若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，

（ⅰ） 證明直線AE過定點，并求出定點坐標(biāo)；

（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

注：試題的具體解答略，試題的一般化見下文.

評注：此題是2014年山東理科數(shù)學(xué)大題的壓軸題，第Ⅰ題求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該沒多大問題；第Ⅱ題第ⅰ小問是一個證明題，這樣的設(shè)問方式在歷屆高考中也是很常見的，應(yīng)該說學(xué)生會感覺比較親切，入手還是容易的，但要過計算這一關(guān)；第Ⅱ題第ⅱ小問涉及求面積的最值問題，也有種似曾相識的感覺，給學(xué)生進一步解決增強了信心，讓學(xué)生感到壓軸題不是可望而不可即的.

[?] 試題結(jié)論的一般化

筆者在具體求解第Ⅱ題第ⅰ小問時，就發(fā)現(xiàn)這個小問可能蘊含一般性的結(jié)論，于是大膽猜想并提出如下問題：

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有

[?] 結(jié)束語

高考試題是大學(xué)教授、教研員、一線教師集體智慧的結(jié)晶，他們在命制試題時往往會關(guān)注試題的一些背景內(nèi)容，然后以這些背景為支撐開展命題工作，最后呈現(xiàn)在我們面前的是“隱去”了背景的試題，但這卻給我們進一步探究提供了絕好的機會. 所以，以揭示高考試題的背景為切入點是研究高考題的一種很好的方法. 只要我們一線教師敢于探究，愿意付出時間探究，最后肯定會有收獲. 筆者上面的探究正印證了著名數(shù)學(xué)家波利亞的一句話：沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進；而且無論如何，我們總可以深化我們對答案的理解.