淺談以數(shù)學文化為背景命制的高考試題

摘 要：近年高考數(shù)學試卷常出現(xiàn)以數(shù)學文化為背景的新穎命題，蘊涵濃厚的數(shù)學文化氣息，將數(shù)學知識、方法、文化融為一體，有效考查學生在新情景下對知識的理解以及遷移到不同情境中去的能力，能夠檢測學生思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能，實為高考試題一大亮點，本文搜集整理近年高考試題揭示其文化背景.

關鍵詞：圓周率；畢達哥拉斯；匹克定理；角谷定理

[?] 以圓周率為背景

1. （2014湖北）《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“蓋”的術：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈L2h. 它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3，那么近似公式V≈L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為（ ）

A. B. C. D.

背景展現(xiàn)

該題是以我國古代重要數(shù)學成就割圓術和體積理論為背景，割圓術本質上是用圓內接正多邊形去逐步逼近圓進而求得圓周率的近似值. 劉徽從圓內接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，一直算到192邊形，得到圓周率的精確到小數(shù)點后兩位的近似值，化成分數(shù)是，這就是有名的“徽率”， 劉徽一再聲明“此率尚微小”，需要的話，可以繼續(xù)算下去，得到更精密的近似值.

后來人們發(fā)現(xiàn)比更接近π，但誤差仍然較大，祖沖之稱之為約率.《隋書·律歷志》記載了祖沖之計算出圓周率的分數(shù)形式的近似值是，這是一個非常了不起的貢獻，原因在于

-π<0.000000267，他選擇了恰到好處的分數(shù)表示π的近似值，在保證精確度的情況下便于人們記憶.

類題鏈接

2.（2012湖北）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈.人們還用過一些類似的近似公式. 根據(jù)π=3.14159…判斷，下列近似公式中最精確的一個是（ ）

A. d≈ B. d≈

C. d≈ D. d≈

解析：由V=πR3得R=，從而直徑d=2=，因V=·6V，2V=·6V，V=·6V，V=·6V，故本題本質上仍是比較、3、、 與π接近程度.

[?] 以“形數(shù)”為背景

3. （2013湖北）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù). 如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為=n2+n. 記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：

三角形數(shù) N（n，3）=n2+n

正方形數(shù) N（n，4）=n2

五邊形數(shù) N（n，5）=n2-n

六邊形數(shù) N（n，6）=2n2-n

……

可以推測N（n，k）的表達式，由此計算N（10，24）=________.

背景展現(xiàn)

“形數(shù)”在高考試題的頻繁出現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學教育要回歸課本的思想，在人教版必修五第28頁就是以畢達哥拉斯學派的“形數(shù)”引入數(shù)列的概念. 該學派認為 “萬物皆數(shù)”，曾對外宣稱“人們所知道的一切事物都包含數(shù)，因此，沒有數(shù)就不可能表達、也不可能理解任何事物”. 如圖1所示，他們將石子擺放成三角形、正方形、五邊形等幾何形狀用于研究“數(shù)”，反應了他們將“數(shù)”作為“幾何元素”的精神，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想. 由圖1可知三角形數(shù)可以表示為N3=1+2+3+…+n=；正方形數(shù)N4=1+3+5+…+（2n-1） =n2；五邊形數(shù)N5=1+4+7+…+（3n-2）=；六邊形數(shù)N6=1+5+9+…+ （4n-3）=2n2-n，以此類推k（k∈N*）邊形數(shù)是首項為1、公差為k-2的前n項和，故Nk=n+·（k-2）.

[④][①][②][③]

圖1

類題鏈接

4. （2009湖北）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù). 他們研究過1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）

A. 289 B. 1024

C. 1225 D. 1378

[?] 以匹克定理為背景

5. （2013湖北）在平面直角坐標系中，若點P（x，y）的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點. 若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形. 格點多邊形的面積記為S，其內部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L. 例如圖2中△ABC是格點三角形，對應的S=1，N=0，L=4.

（Ⅰ）圖中格點四邊形DEFG對應的S，N，L分別是__________；

（Ⅱ）已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數(shù). 若某格點多邊形對應的N=71，L=18， 則S=__________.

背景展現(xiàn)

世間萬物，不規(guī)則圖像居多，如土地、房屋、園林、湖泊、荒島等都是不規(guī)則形狀，如何計算不規(guī)則圖形面積呢？最常用的一種就是方格法即著名的匹克定理法，該方法簡單易行，有著廣泛的應用. 具體操作如下：畫縱橫兩組平行線，相鄰兩線間的距離總是相等的，兩組直線的交點就稱為格點，如果一個多邊形的頂點都是格點，這種多變形就是格點多邊形，設S為圖形面積，L是邊界上的格點數(shù)，N是內部格點數(shù)，則S=+N-1.

試題鏈接

6. （2011北京）設A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）. 記N（t）為平行四邊形ABCD內部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)N（t）的值域為（ ）

A.{9，10，11} B. {9，10，12}

C. {9，11，12} D. {10，11，12}

解析：該試題難度極大，考查學生準確作圖能力、嚴謹?shù)耐评砟芰头诸愑懻撍枷? 若本題使用匹克定理求解則相當容易，當t取整數(shù)時，則四邊形ABCD是格點多邊形，根據(jù)匹克定理S=+N-1（其中S為圖形面積，L是邊界上的格點數(shù)，N是內部格點數(shù)）. 由于平行四邊形的面積為16，故17=N+，特別地，取t=0，作圖易知L=16，所以N=9；取t=1，L=10，所以N=12；取t=2，L=12，所以N=11；故選C.

[?] 以角谷定理為背景

7. （2009湖北）已知數(shù)列{an}滿足a1=m（m是正整數(shù)），an+1=

，當an為偶數(shù)時，

3an+1，當an為奇數(shù)時，若a6=1，則m可能的取值為__________.

背景展現(xiàn)

20世紀70年代美國各大學師生夜以繼日、廢寢忘食、發(fā)瘋般地玩弄一種數(shù)字游戲，這種游戲如此簡單，任何小學生不用一分鐘就能學會. 任意寫出一個自然數(shù)N，請按照下列法則進行變換，如果N是一個奇數(shù)，則下一步變?yōu)?N+1；如果N是一個偶數(shù)，則下一步變成. 歲月流逝，這種游戲的魅力依然存在，因為人們發(fā)現(xiàn)，無論你寫出一個多么龐大的數(shù)字，最后必然會落入谷底，更準確的說是落入底部的4-2-1循環(huán)，而永遠也跳不出這個圈子. 日本角谷靜夫統(tǒng)計，小于7×1011的一切自然數(shù)都已經統(tǒng)統(tǒng)實驗過，沒有出現(xiàn)過一個反例，基于角谷靜夫對該問題所做出的貢獻，因此該數(shù)學游戲稱為角谷定理.

有位圖論專家提到了一種神奇的猜想，把它比作一棵參天大樹，下面的樹根是連理枝1-2-4，至于上面的枝枝葉葉則構成了一個奇妙的通路，把一切自然數(shù)全部都覆蓋到了，但迄今為止一切數(shù)學手段都用上也無法證明.

[?] 教育啟示

作為教師應該積極主動學習數(shù)學史知識，努力提高自身的數(shù)學史素養(yǎng). 在課堂上能夠結合教材和學生實際情況有目的、有選擇地介紹數(shù)學文化知識，如斐波那契數(shù)列、阿波羅尼斯圓、海倫秦九韶公式、九連環(huán)、畢達哥拉斯學派、祖暅原理及球體積的計算、勾股定理等經典的數(shù)學文化知識均可以引入課堂并適度展開，讓學生體會到冰冷的知識蘊涵著數(shù)學家火熱的思考.

法國數(shù)學家伽瓦羅說：一個人要想在數(shù)學上取得成就，最有效的方法就是向數(shù)學大師們學習. 波利亞認為：解題是一種本領，就像游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，你只能靠模仿和實踐才能學到它. 因此，在教學中要引入一些經典的數(shù)學問題，讓學生去體會、思考、模仿、頓悟.

當數(shù)學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、融入教學時，數(shù)學就會更加平易近人，學生才會進一步理解數(shù)學、喜歡數(shù)學！