芻議高中數(shù)學教學中以問題打開學生的思維空間

摘 要：高中數(shù)學教學中，問題的價值是不言而喻的！問題如何設計，問題在什么時候提出，常常是需要面對的兩個基本問題. 在解決了這兩個基本問題的基礎上，問題的最終旨歸是學生的思維，好的問題必須能夠有效打開學生的思維空間，并促進學生思維能力的培養(yǎng). 事實表明，問題的提出離不開良好的問題情境，基于變式思想的問題可以打開學生的思維空間，最終實現(xiàn)學生“數(shù)學地思維”.

關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學教學；問題；思維空間

問題與思維的關系密切，高中數(shù)學課堂上，學生的思維空間常常是由問題打開的.而這顯然與學生的認知規(guī)律、與高中學生的學習習慣有著密切的關系：從學習機制的角度講，問題往往可以打破學生的認知平衡，而認知平衡被打破后，學生自然又會有彌合認知平衡的欲望，于是思維也就活躍起來；從高中學生的學習習慣角度來看，由于眾所周知的原因，當下的高中學生在課堂上并不樂于發(fā)言，而這背后往往是思維的被動性，要讓學生的思維化被動為主動，向學生提出有價值的問題是最佳途徑之一.

事實上，高中數(shù)學教學歷來就有研究問題的傳統(tǒng)，筆者今天芻議以問題打開學生思維空間的問題，更多的是基于當前高中數(shù)學教學的需要. 有人對問題與數(shù)學的關系做出了這樣的判定——問題是數(shù)學的心臟！這意味著只有問題更有價值，提出的時機更加適合，那學生在數(shù)學學習中才會有一個更為強勁的動力！而坦率地說，問題如何設計以及何時提出，仍然是當下高中數(shù)學教學的一個需要研究的重點，這也是我們必須花大力氣做好的一件事.

[?] 問題的提出需要教師創(chuàng)設好情境

問題的來源一般有兩種情形：一是由教師提出；二是由學生生成.在我國高中數(shù)學課堂上，以第一種情形居多，對于部分優(yōu)秀的學生來說，第二種情形也是存在的. 但無論是哪一種情形，其背后有一個重要的元素容易被忽視，那就是問題產生的情境. 根據認知心理學研究的成果，學生只有在一定的情境中遇到問題時才能有效地打開思維，因此，問題情境相對于問題來說，就相當于小樹成長所需要的土壤一樣重要. 筆者在實際教學中高度重視問題產生的情境，對于促進學生思維、提升數(shù)學教學的效果起到了很好的作用.

例如在“橢圓”（人教版高中數(shù)學選修1）的教學中，筆者先提出一個問題：同學們認為橢圓是什么樣的圓？這個問題看似簡單，其實卻是筆者在研究了學生的心理的基礎上提出的，事實表明，學生在生活中是見過各式各樣的橢圓的，但他們可以說從來不知道橢圓是怎么來的. 因此對于筆者提出的上述問題，不少學生都異口同聲地說，“就是把圓壓扁了！”這一答案有其合理之處，其是學生將橢圓與圓進行了形狀上的對比得到的結果，而這個結果又往往來自于學生在生活中的認識. 無形當中，學生的生活認識就成為橢圓學習的一個思維情境，同時也是問題情境. 那么，教師此時就可以追問：給你一個圓，是不是壓扁了就真的是橢圓了呢？學生對這一問題常常沒有把握，而教師可以在此基礎上繼續(xù)追問：假如我想讓你作出一個橢圓，你又準備怎么作呢？

這三個問題在實際教學中花費不了多長的時間，但卻可以將學生對橢圓的思維與他們的生活聯(lián)系起來，從而為橢圓概念的建立奠定一個生活基礎. 在此基礎上，教師可以再設問題情境：圓是如何定義的？根據你所理解的橢圓，你覺得橢圓可能是如何定義的？這兩個問題可以讓學生的思維圍繞“到定點的距離為定值的點的軌跡”展開，教師如果引導得當，學生還會思考這個“定點”是一個還是兩個的問題，等到學生的思維從一個定點遷移到兩個定點上，橢圓的概念形成可謂是呼之欲出. 這個時候，教師再在黑板上固定兩個點，然后用一根細線系住兩定點，最后畫出橢圓，對于學生來說就成為一件水到渠成的事情.

細細分析這一過程，教師演示橢圓的得出并不是直接進行的，而是在學生進行了一番思考的基礎上得出的. 這樣的教學設計的好處在于，學生不是一下子接受了橢圓的定義，而是在問題的牽引下對于橢圓進行了豐富的思考，待到學習進入了憤、悱的心理狀態(tài)之后，教師再以具體的活動啟發(fā)之，于是橢圓的概念順利形成，且會在學生的心中留下深刻的印象. 筆者以為，這就是問題情境的價值所在！

在數(shù)學問題的解決中問題提出也是要注重情境的，譬如筆者在同學生共解某題時，就發(fā)現(xiàn)問題提出要注意學生的思維基礎.該題是這樣的：已知f（x）=，請化簡f（sin2θ）+f（-sin2θ）（0<θ<π）. 不出意外的話，學生的解題過程往往是這樣的：原式=+=+=（sinθ-cosθ）+（sinθ+cosθ）=2sinθ.

“這個解題過程有問題嗎？”這是此時唯一需要提出的問題，而經過了上面的思考與推理——實際上就為教師的問題提出提供了情境基礎，再加上教師明確的提問，學生很快就會發(fā)現(xiàn)最后一步是有問題的，應當分不同的區(qū)間進行討論.

[?] 問題的目的在于打開學生的思維

情境可以讓問題有據可依，而問題的指向卻是學生思維能力的培養(yǎng)，一般情況下，只要學生關注了問題，就會自然而然地進行思考，而也有的時候需要教師的引導，學生的思維才能有效打開. 事實上，教師存在于課堂的價值，也往往就是在學生的思維需要打開的時候，助上一臂之力. 而在此過程中，利用變式思想又是一個屢試不爽的招式.

變式在高中數(shù)學教學中的運用，主要就是指在核心思想不變的情況下改變問題的形式，以讓學生的思維有所拓展的教學方式. 一個好的變式，可以讓多個不同的知識串聯(lián)在一起，從而形成一個完整的知識鏈. 有教師在引導學生探究三棱錐頂點的射影與底面三角形重心、外心、內心、垂心、旁心關系時，一口氣列出了假如三棱錐是正三棱錐、假如三棱錐三條側棱長都相等、當射影在底面的面積相等時等九個問題. 這九個問題全部圍繞原命題展開，但形式又各有不同，學生在類似于問題鏈的形式之下思維不斷地深入，不斷地拓展，在問題得到解決的過程中，相關知識也就圍繞這一命題形成一個知識系統(tǒng).

又如在一個探究縱橫路線的問題中，有這樣一個題目：如圖1是城市的街道圖，縱橫各有5條路，現(xiàn)想從A點走到B點，并且只能由北向南走、由西向東走，那么有多少種走法？

學生在遇到這一問題的時候，第一反應往往是去進行嘗試，但很快就會發(fā)現(xiàn)這是一件非常困難的事情，因為走到任何一個節(jié)點，都會遇到分支的問題，這使得嘗試變得舉步維艱. 而放棄了這一思路，其余又想不到更為有效的思路，就算有少數(shù)學生想到其可能與排列組合相關，但也不知道具體的影響因子是什么. 在這種情形下，教師可以用問題進行啟發(fā)：實際問題往往可以抽象成數(shù)學問題，本問題可以抽象成什么數(shù)學問題呢？（排列組合問題）本問題過于復雜，是否可以先簡單化處理，以尋找到規(guī)律呢？（將縱橫5條改成縱橫3條）如果將原圖順時針轉過45度角，你會想到什么？（楊輝三角形）這是巧合還是必然？（驗證）如果將幾何問題轉換成數(shù)學問題，是否可以？（將圖中的橫線和豎線分別表示成x和y，并利用二項式定理建立函數(shù)，同時發(fā)現(xiàn)楊輝三角與二項式系數(shù)之間的關系）……如此類推，可以發(fā)現(xiàn)本問題的解決帶動了多個知識的同時運用，而仔細分析學生的思維過程，可以看到原本一籌莫展的學生在教師的問題驅動之下，思維被逐步打開，思維的觸角不斷伸向之前沒有想到的知識點，問題解決之時，事實上就是學生的知識系統(tǒng)建立之時，自然也是他們的思維能力得到培養(yǎng)之時.

總的來說，問題在課堂上有著多重作用，但最主要的還應當是面向學生的思維的. 只有成功地打開了學生的思維，才能說問題是有效的. 如果教師提出了一個問題而學生不為之所動，最后還得教師自己去解決自己提出的問題，那學生在能力上的收獲可以說是微乎其微的，這一點要引起高中數(shù)學同行的高度重視.

[?] 問題的價值在于促進數(shù)學式地思維

“數(shù)學地思維”是一個動態(tài)的話語，也是高中數(shù)學教學的重要旨歸. 如果學生在經過了高密度、高強度的三年數(shù)學學習之后還不能“數(shù)學地思維”，那這樣的數(shù)學學習過程一定不能說是成功的.

數(shù)學式地思維，意味著學生在面對數(shù)學問題甚至是生活問題時，能夠以數(shù)學思維來對待之，最簡單地說如學生在面對從甲地到乙地時會計算路程，這就是數(shù)學思維的影子. 而如果說遇到諸如上面從A地到B地的問題，能夠一下子想到排列組合的知識并嘗試建構數(shù)學模型，那就更是一種良好的數(shù)學意識與數(shù)學能力.

根據筆者有限的教學經驗，高中數(shù)學要想讓學生生成良好的數(shù)學意識以實現(xiàn)“數(shù)學地思維”，并不是一件輕而易舉的事情，客觀上學生的學習壓力大，沒有動機去深入思考數(shù)學的價值. 教師在課堂上引導學生進行數(shù)學地思考的行為也不多，更多的集中于利用數(shù)學知識進行解題，這使得高分低能的現(xiàn)象難以杜絕. 筆者以為，要想讓學生將數(shù)學地思考作為一種本能，關鍵在于教師.而通過數(shù)學之間的邏輯關系，通過數(shù)學史的介紹，通過實際問題的引入與解決，往往可以讓學生的這一能力得到增強. 而在這一過程中，問題的又是不可或缺的！

總之，高中數(shù)學教學中，永遠需要問題作為支撐，而高中數(shù)學教師努力的方向之一，就是要精心設計并提出問題，以讓這顆“心臟”能夠在數(shù)學課堂上有力地跳動，從而帶動學生的思維得到充分的發(fā)展.