高中數(shù)學(xué)教學(xué)要在比較中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

摘 要：思維能力的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，思維能力的培養(yǎng)既存在于知識(shí)生成的過(guò)程中，而知識(shí)的生成又與具體的思維方式密切相關(guān). 比較是人學(xué)習(xí)與生活的基本方式，在比較的過(guò)程中可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 高中數(shù)學(xué)中，概念的確定、定義的生成、規(guī)律的得出往往都與學(xué)生比較思維相關(guān). 函數(shù)的單調(diào)性這一知識(shí)的教學(xué)中，有著豐富的比較機(jī)會(huì)需要教師去挖掘并利用.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；比較；思維方式；思維能力

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 需要注意的是，思維能力形成只有在思維中才能形成，這意味著數(shù)學(xué)教師要將自身的教學(xué)行為轉(zhuǎn)換成學(xué)生的思考行為，只有學(xué)生在思考，思維能力才有可能真正形成.從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)思維可以在多種條件下培養(yǎng)，但有一個(gè)基本的思維形式不可或缺，那就是“比較”.

比較在學(xué)生的生活中并不鮮見，當(dāng)面對(duì)同一個(gè)難題時(shí)，他們也會(huì)比較，比較自己的思維過(guò)程；當(dāng)學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)出來(lái)時(shí)，他們會(huì)比較，比較自己的學(xué)習(xí)結(jié)果. 比較是一種基本的方式，但其又往往因?yàn)闆](méi)有思維能力培養(yǎng)方式的介入，因而往往只是一種形式上的比較，無(wú)法真正促進(jìn)能力的提升. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)抓住學(xué)習(xí)中的比較機(jī)會(huì)，并以思維培養(yǎng)的具體方式介入，以最終培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 現(xiàn)以“函數(shù)的單調(diào)性”（高中數(shù)學(xué)人教版必修1）教學(xué)為例，談?wù)劰P者的思考與做法.

[?] 教學(xué)設(shè)計(jì)，尋找比較因子

比較的本質(zhì)是在相同中尋找不同，在不同中尋找相同. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的比較，往往是基于原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，去發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí)與原有知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的認(rèn)識(shí).

函數(shù)的單調(diào)性從定義上來(lái)說(shuō)，就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述函數(shù)的變化趨勢(shì)——自變量按某種規(guī)律變化時(shí)因變量的變化趨勢(shì). 但這樣的定義并不能直接促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，筆者以為，這一數(shù)學(xué)理解是需要在比較過(guò)程中生成的. 分析本知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)“單調(diào)性”這一概念的理解首先就需要一個(gè)過(guò)程——這是數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)所在，數(shù)學(xué)概念一定要能夠凸顯出數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)在特征. 正如有學(xué)生所提問(wèn)的：為什么叫單調(diào)性，而不叫其他的名稱呢？筆者以為不能小視學(xué)生的這一問(wèn)題，因?yàn)閷W(xué)生能否有效地建立一個(gè)概念，直接關(guān)系著學(xué)生對(duì)概念的理解與運(yùn)用.

關(guān)于這一點(diǎn)，如果分析教材便可以發(fā)現(xiàn)教材編寫者其實(shí)是很重視這一點(diǎn)的，就拿“函數(shù)的性質(zhì)”這一標(biāo)題來(lái)說(shuō)，教材通過(guò)“在事物變化過(guò)程中，保持不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)”的描述重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“性質(zhì)”這一概念，正是注意到了概念的重要性.

筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，遵循了傳統(tǒng)的借助于某個(gè)情境，如將某地區(qū)氣溫變化圖（如圖1）作為引入，但重點(diǎn)放在花時(shí)間讓學(xué)生對(duì)圖象進(jìn)行分析上. 這里的分析即是比較，譬如在圖1中曲線的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行？可以分成幾段？每一段具有什么特點(diǎn)？為了描述這些不同，可以借助于數(shù)學(xué)上的哪些語(yǔ)言？通過(guò)這一問(wèn)題鏈去促進(jìn)學(xué)生的比較，應(yīng)當(dāng)可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)單調(diào)性這一概念的理解. 當(dāng)然，如果需要繼續(xù)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解，還可以借助教材上的三幅圖進(jìn)行變式訓(xùn)練，限于篇幅，此不贅述. 與此類似的，單調(diào)增、單調(diào)減、增函數(shù)、減函數(shù)的概念也可以設(shè)計(jì)成讓學(xué)生比較之后生成的概念.

再一個(gè)比較因子就是單調(diào)區(qū)間. 單調(diào)區(qū)間是相對(duì)于某函數(shù)的增減性而言的，其學(xué)習(xí)與運(yùn)用對(duì)應(yīng)著歸納與演繹的過(guò)程. 在概念形成的過(guò)程中，學(xué)生需要將“單調(diào)區(qū)間”與“單調(diào)”及“區(qū)間”兩個(gè)概念進(jìn)行比較，從而整合成一個(gè)完整的概念，在這個(gè)概念生成的過(guò)程中，又需要通過(guò)比較具體的圖象來(lái)輔助概念的理解.將比較作為概念理解的基礎(chǔ)，可以讓單調(diào)區(qū)間這一概念更為具體.

除了上述兩個(gè)比較因子之外，再如“研究函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲怠? 教材上給出的是一個(gè)一次函數(shù)f（x）=x與一個(gè)二次函數(shù)f（x）=x2作為例子的，一般情況下教師的注意力往往放在例子的解析上，而事實(shí)上學(xué)生在遇到這兩個(gè)例子時(shí)，往往會(huì)有一種自然而然的比較意識(shí)——這種意識(shí)來(lái)自于生活中的比較行為，說(shuō)白了也就是在不同中尋找相同. 一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象肯定是不一樣的，而一次函數(shù)的圖象“由左至右是上升的”，二次函數(shù)的圖象“在y軸的左側(cè)是下降的，在y軸的右側(cè)是上升的”這樣的描述，應(yīng)當(dāng)努力成為學(xué)生比較后的結(jié)果. 相比較之下，如果教師直接說(shuō)出，那學(xué)生就少掉了一個(gè)比較的過(guò)程. 在比較之后再去認(rèn)識(shí)最值，便會(huì)發(fā)現(xiàn)最值總是相對(duì)于一個(gè)區(qū)間而言的.

[?] 教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生比較

在具體的教學(xué)活動(dòng)中，如何凸顯出比較這一思維方式呢？答案無(wú)非是將上面的教學(xué)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)換成具體的教學(xué)行為，只是需要注意的是，實(shí)際教學(xué)中學(xué)生的比較既有自發(fā)的，更離不開教師的引導(dǎo).

教學(xué)環(huán)節(jié)一：“單調(diào)性”概念

根據(jù)筆者這些年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生一般是難以將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的單調(diào)變化與單調(diào)性這一概念聯(lián)系在一起的，而這又恰恰是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力所在. 因此筆者在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)了情境，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)的變化可能是單一的（具體的教學(xué)過(guò)程同行們比較熟悉，這里不贅述），在上面教學(xué)設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈的基礎(chǔ)上，再向?qū)W生提出一個(gè)問(wèn)題：你覺(jué)得函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)的單一變化用什么語(yǔ)言來(lái)描述比較恰當(dāng)呢？

看起來(lái)這是一個(gè)非數(shù)學(xué)的問(wèn)題，其實(shí)卻是讓學(xué)生整合原有思維并用自己的語(yǔ)言描述的過(guò)程.事實(shí)證明，這一過(guò)程對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)非常重要，當(dāng)學(xué)生試圖用自己的語(yǔ)言去理解某一數(shù)學(xué)規(guī)律的時(shí)候，數(shù)學(xué)理解也就產(chǎn)生了. 在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)想出“只增（減）”“純粹增（減）”，樸素的語(yǔ)言背后顯示的是與“單調(diào)增（減）”一樣的意思. 當(dāng)筆者將單調(diào)一詞呈現(xiàn)在學(xué)生的面前時(shí)，他們一陣驚訝，“為什么是單調(diào)”是他們此時(shí)一下子冒出來(lái)的問(wèn)題，而這已經(jīng)不需要教師過(guò)多解釋了：比較了如圖1中不同區(qū)間的變化趨勢(shì)，比較了自己想的概念與數(shù)學(xué)中統(tǒng)一運(yùn)用的概念，還有什么比單調(diào)這一概念更為傳神呢？

教學(xué)環(huán)節(jié)二：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間

這個(gè)概念是組合而成的.學(xué)生此前有了單調(diào)性與區(qū)間的概念，那單調(diào)區(qū)間會(huì)是什么意思？教材上是通過(guò)一個(gè)“思考”來(lái)打開學(xué)生的思維的：如何利用函數(shù)解析式f（x）=x2描述“隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）隨著減小……”而實(shí)際教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生去比較圖形并思考問(wèn)題：某一函數(shù)的增減總是一成不變的嗎？如果在函數(shù)變化的過(guò)程中既有增又有減，又該如何描述呢？這樣學(xué)生自然會(huì)將圖1中的圖象分成不同的“段”，而不同的段恰恰對(duì)應(yīng)著不同的區(qū)間，不同的區(qū)間的單調(diào)性又是不一樣的，因此單調(diào)區(qū)間的概念也就應(yīng)運(yùn)而生.當(dāng)然，對(duì)于“任意x1，x2∈D，當(dāng)x1

經(jīng)驗(yàn)表明，這樣的過(guò)程不需要太長(zhǎng)的時(shí)間，但學(xué)生的思維卻因此而完整.

教學(xué)環(huán)節(jié)三：“最值”

給定一個(gè)單調(diào)區(qū)間，函數(shù)往往都會(huì)存在最值，這在教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)最為平常不過(guò)的認(rèn)識(shí). 但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)又是如何呢？筆者曾經(jīng)做過(guò)試驗(yàn)，當(dāng)直接向?qū)W生提供這一概念時(shí)，學(xué)生起初會(huì)認(rèn)為這是一個(gè)抽象的概念，“最”怎么會(huì)與“值”直接組合呢？而當(dāng)將“最值”理解成最大值和最小值時(shí)，學(xué)生思維中出現(xiàn)的又是類似于極值的概念. 這個(gè)時(shí)候，最好的辦法其實(shí)還是引導(dǎo)學(xué)生回到如圖1及其他三個(gè)變式的圖中去比較，并回答問(wèn)題：如果不給區(qū)間，那最值還有沒(méi)有意義？真正不需要區(qū)間就能確定最值的函數(shù)，是不是真的不需要確定單調(diào)區(qū)間？

這樣的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去比較不同性質(zhì)的函數(shù)，會(huì)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到最值的確定是離不開區(qū)間的，最值是相對(duì)于區(qū)間而言的.

以上只是從具體教學(xué)活動(dòng)中剝離出來(lái)的三個(gè)小的教學(xué)環(huán)節(jié)，并非課堂的全部，意在表明比較之于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)概念的重要性.

[?] 學(xué)習(xí)反思，促進(jìn)能力提升

需要指出的是，反思雖然常常是學(xué)生的無(wú)意識(shí)行為，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中必須將這一思維方式顯露出來(lái)，以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到比較的重要性. 具體的做法可以是在通過(guò)比較之后跟學(xué)生梳理一下概念得出的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在剛才的過(guò)程中進(jìn)行了什么樣的比較，比較起到了什么作用，如果沒(méi)有比較又會(huì)如何等.

這是一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生反思的過(guò)程，也是一個(gè)促進(jìn)學(xué)生生成自主學(xué)習(xí)、自主思維能力的過(guò)程.事實(shí)證明，高中學(xué)生是具有反思的學(xué)習(xí)意識(shí)的，只要教師稍加點(diǎn)撥，學(xué)生在反思的作用下，就常常能夠生成對(duì)數(shù)學(xué)思維方式的認(rèn)識(shí). 而一旦學(xué)生認(rèn)識(shí)到思維方式的重要性，就會(huì)認(rèn)識(shí)到自身的數(shù)學(xué)能力一定來(lái)自于良好的數(shù)學(xué)思維方式.

一般認(rèn)為，比較是學(xué)習(xí)生活過(guò)程中最基本的思維方式之一，因?yàn)榛荆云鋵?duì)很多學(xué)習(xí)對(duì)象都有著重要的促進(jìn)作用，又因?yàn)榛径３２槐唤處熕匾? 筆者以上所總結(jié)的，只是從日常教學(xué)的片段中摘取的一小部分，由于理解及能力所限，文中所述謬誤難免，還請(qǐng)專家同行批評(píng)指正.