由一節(jié)高中數(shù)學習題課的教學案例引發(fā)的思考

摘 要：習題教學是高中數(shù)學教學的重要組成部分，學生解題能力的提升是課堂教學的重要目標. 本文以一節(jié)習題課教學為探究平臺，通過對案例的層層剖析，得到實現(xiàn)高中數(shù)學課堂教學實效性的具體策略，進而提升學生數(shù)學解題的實際能力.

關鍵詞：高中數(shù)學；課堂教學；習題課

在當前的高考體制下，高中數(shù)學學科在高考中的地位不言而喻，高考數(shù)學成績的高低是一線教師與學生都十分關注的焦點之一，學生解題能力提升是數(shù)學教師課堂教學的重要目標；眾所周知，高中數(shù)學解題教學是數(shù)學課程教學的重要組成部分，課堂教學效率的高低直接影響學生解題能力提升的速度；學生解題思維、解題方法的發(fā)展和形成過程是我們高中數(shù)學教師應該關注與思考的問題. 筆者從事高中數(shù)學教育教學多年來，一直致力于學生數(shù)學解題思維能力的探究，在本文中以一節(jié)典型的數(shù)學習題課堂教學為研究載體，重點闡述如何引導學生去學會高效解決數(shù)學題，旨在拋磚引玉，希望能夠起到一定的示范效應，給讀者帶來一定的幫助.

[?] 一節(jié)高中數(shù)學課堂教學過程中細節(jié)的反芻

高中數(shù)學課堂是數(shù)學教師“傳道授業(yè)”的主陣地，課堂效率是能力提升的關鍵點，筆者一直比較重視課堂過程教學的設計與研究，在此，呈現(xiàn)自身經歷的一次數(shù)學習題課案例，具體如下：

案例：已知a>0，b>0且a+b=c，試求證：（Ⅰ）當t>1時，滿足at+bt

（Ⅱ）當t<1時，滿足at+bt>ct.

1. 巧借類比聯(lián)想手段，促成數(shù)學問題合理轉化與遷移

筆者在習題課堂教學中展現(xiàn)上述案例，讓學生根據(jù)自身所學數(shù)學知識與數(shù)學規(guī)律進行獨立思考完成解答，通過視頻展示臺展示“生甲”的解析過程：

根據(jù)a+b=c可得c2=（a+b）2=a2+b2+2ab，則ct=（a+b）t=at+bt+Q（Q為中間項）. 由于a>0，b>0且a+b=c，則Q>0，則at+bt

教師：學生甲解答此題的想法很不錯！根據(jù)已經熟悉的二次展開式類比拓展到t次展開式，這種數(shù)學知識與規(guī)律的合理遷移，有效實現(xiàn)了疑難、陌生數(shù)學問題向熟悉、常見問題的轉化！（部分點頭贊同筆者的觀點.）

2. 引導學生揭示問題，針對問題進行有效反思

教師：生甲對第一問進行處理，那么題目中第二問如何解決呢？

學生乙：會不會題目中的第二問本身有問題??？按照數(shù)學邏輯推理結論還應該是at+bt

學生丙：出現(xiàn)問題了??！題設中t>1這個條件在生甲證明的過程中好像沒有涉及，難道這個條件是多余的嗎？（班級氣氛突然被點燃了，學生之間的討論聲音變大了，討論比較熱烈……）

學生?。何覀€人覺得應該存在這樣的規(guī)律：t>1時，ct=（a+b）t=at+bt+Q（Q>0）；當t<1時，ct=（a+b）t=at+bt+Q（Q<0）.

教師：生丁根據(jù)自己的經驗進行大膽的猜測是可行的，但是你能運用數(shù)學知識證明自己假想的結論嗎？

學生丁：我個人不能運用數(shù)學知識進行完整證明，但是我運用特殊值代入的方式發(fā)現(xiàn)了一點規(guī)律：令t=3，a=，b=，c=1，則

+Q（Q<0）. （這一想法的提出，一下子得到了許多學生的一致贊同……）

教師：學生丁的說法十分好！他的思想體現(xiàn)了數(shù)學歸納演繹的過程，通過具體的數(shù)值代入方式進行列舉特殊情形能夠感受規(guī)律的存在，但是從數(shù)學歸納法角度進行完整證明確實是比較困難的，這與“數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W”形成矛盾，既然學生丁的思路難以用嚴謹?shù)臄?shù)學方法進行證明，那么本題究竟如何進行有效證明呢？我們大家都來認真思考一下. （班級沉靜下來，學生在默默地思考之中……）

教師：大家可以來思考一下生甲的證明方法是從何而來的呢？

學生戊：我覺得是因為對t次不太熟悉，進而想到這種推理.

3. 借助已學數(shù)學知識與規(guī)律，嘗試問題的轉換與遷移

教師：同學們可以回憶我們所學的數(shù)學知識中何處接觸到t次？

學生：高一數(shù)學的指數(shù)函數(shù)

教師：同學們回答得很好！由于指數(shù)函數(shù)的定義域是實數(shù)，則指數(shù)可以是任何實數(shù)，因此可以表示成t次. 在高一所學的指數(shù)函數(shù)中你掌握了哪些知識？

學生巳：理解指數(shù)函數(shù)圖象特點，靈活運用指數(shù)函數(shù)性質比較大小以及解指數(shù)不等式……

學生庚：本題我個人有一種想法不知道是否可行？題中第一問可以轉化為自變量t和1函數(shù)值大小的比較問題，則由at+bt

教師：哦?。傺b恍然大悟）這里原來存在一個隱形的函數(shù)，有人能繼續(xù)完成后面的證明內容嗎？

4. 根據(jù)數(shù)學規(guī)律進行合理化推理分析，完整演繹思維過程

學生辛：令函數(shù)f（t）==

教師：學生辛的回答非常到位，下面請所有同學將證明的具體過程寫下來……（教師在座位行間進行巡視，對有疑問的學生進行個別的指導，利用實物投影儀展示完成比較規(guī)范的學生的證明過程.）

5. 以證明推理的結論為平臺，在反思中進行合理引申與拓展

教師：本題中的證明結論是否可以進行合理引申與推廣？（拋出問題，讓學生盡情發(fā)揮.）

學生壬：若存在a<0，b>0，c>0，a+b+c=d，試求證：（1）當t>1時，at+bt+ctdt.

學生癸：若a1>0，a2>0，…，an>0，a1+a2+…+an-1=an. 試求證：（1）當t>1時，a+a+…aa.

教師：同學們表現(xiàn)得很好！對于常見的典型案例進行深入反思，通過對題設條件的變化、問題維度的拓展等方面進行合理的引申、推廣與拓展，形成有效的數(shù)學探究活動過程，有助于我們數(shù)學創(chuàng)新思維能力的快速提升.

[?] 完成一節(jié)數(shù)學習題課教學后的幾點思考

在高中數(shù)學中，習題課的教學相對于新授課的教學其實更難駕馭，如何實現(xiàn)高效的習題課教學？筆者提出以下幾點自身的想法與思考：

1. 激發(fā)學生主動探究數(shù)學知識與規(guī)律的興趣

偉大的科學家愛因斯坦曾經說過：“興趣是最好的老師”. 的確如此，傳統(tǒng)課堂教學中采取的“滿堂灌”方式進行教學，教師講得天花亂墜，學生卻是昏昏欲睡，這種低效率的課堂教學模式是與新課改背道而馳的，新課改理念下注重的是學生學的效率. 在高中數(shù)學課堂教學中，數(shù)學教師可以創(chuàng)設“獨具匠心”的問題情境，引導學生對“原始深山”的探究欲望和動機，讓學生在自主思考、合作討論與交流中探尋到解決問題的有效方案，學生在主動學習、主動理解和親身體驗中展現(xiàn)自我，享受成功帶來的喜悅.

2. 注重數(shù)學學習方法引導，培養(yǎng)學生勤于反思的習慣與意識

高中數(shù)學教師合理化的啟迪和有效引導能夠促進學生數(shù)學知識與能力的自主發(fā)展和自我構建；在實際的數(shù)學教學過程中，借助于學生的討論、思考、交流的方式，探尋分析問題和解決問題的方法，遵循由特殊到一般，由具體到抽象，重實質、輕形式的科學探究方法的原則. 在問題成功解決之后，鼓勵與引導學生對成果進行針對性反思，這種方式帶來的好處遠遠超出問題結果本身，具體反思內容體現(xiàn)在：“反思結論進一步深化與延伸，題設條件的分析與深入探究、類似數(shù)學問題的類比與聯(lián)想、解題方式與途徑的猜想與初探……”，進而培養(yǎng)學生在數(shù)學學習中主動反思的習慣.

3. 最大限度地凸顯習題教學中學生的思維過程，促進學生數(shù)學知識的構建與能力的提升

高中數(shù)學教師在習題教學過程中，注重引導學生展示思維過程，在學生充分理解題意的基礎之上，實現(xiàn)有效的遷移. 在本文所列的案例中學生的思維過程中出現(xiàn)了兩次遷移，第一次的負遷移形成的錯誤結論會給學生留下深刻印象，提醒學生在處理問題的過程中注重克服負遷移的影響，形成由負遷移向正遷移的轉化意識，有助于鍛煉學生思維的批判性與嚴謹性；第二次的正遷移實現(xiàn)了數(shù)學知識與能力的有效遷移，有助于鍛煉學生思維的靈活性與廣闊性；進而提升學生對高中數(shù)學的元認知能力與創(chuàng)新思維能力.

總而言之，有關高中數(shù)學課堂教學的實效性話題探究是一線數(shù)學教師不斷探索的焦點，注重向45分鐘課堂教學要效率，這就要求數(shù)學教師重視教學細節(jié)的探究與思考，為學生創(chuàng)造一個“自主參與、自我展示、自我反思”的學習情境，從而推動課堂教學效率的大幅提升.