把握契機(jī)催發(fā)出知識(shí)、能力、學(xué)習(xí)情感生長(zhǎng)點(diǎn)

摘 要：針對(duì)高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一些現(xiàn)象，筆者從教師應(yīng)該堅(jiān)守課堂“陣地”這個(gè)角度切入，結(jié)合自身在教學(xué)中的一些做法，闡述了要把握好契機(jī)，全面催發(fā)出學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)、能力生長(zhǎng)，乃至于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感的生長(zhǎng).

關(guān)鍵詞：把握契機(jī)；教材例題；習(xí)題解法；學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)；知識(shí)生長(zhǎng)；能力生長(zhǎng)；學(xué)習(xí)情感生長(zhǎng)

[?] 問(wèn)題的提出

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)一些現(xiàn)象：上課聽(tīng)懂了，但自己做題的時(shí)候就錯(cuò)；簡(jiǎn)單的題目會(huì)模仿，稍微復(fù)雜點(diǎn)的就不知如何入手了；部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情不高，數(shù)學(xué)成績(jī)很糟糕，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)很沒(méi)信心甚至于畏懼.

學(xué)生是否主動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)方法是否科學(xué)，有無(wú)構(gòu)建良好的知識(shí)體系等都是原因，但還有一個(gè)更重要的原因來(lái)源于教師. 由于教師在對(duì)教材的整體把握上存在較大差異，而班級(jí)學(xué)生人數(shù)太多，教師有很多精力也被分散在批改作業(yè)、管理學(xué)生上等等，諸多因素導(dǎo)致教師沒(méi)能深入鉆研教材、仔細(xì)研究教法，一些課的教學(xué)設(shè)計(jì)也較粗獷. 課堂上很多能讓學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)、能力生長(zhǎng)、數(shù)學(xué)情感生長(zhǎng)的契機(jī)，由于教師的疏忽或者備課不充分，輕易“滑”過(guò)去了. 如果我們教師能把課堂這塊“陣地”堅(jiān)守好，用心做好學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者，在課堂上催發(fā)出學(xué)生的知識(shí)、能力、學(xué)習(xí)情感的生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情將被積極調(diào)動(dòng)起來(lái)，學(xué)好數(shù)學(xué)的信心也將得到大大的增強(qiáng). 本文筆者結(jié)合自身的一些教學(xué)實(shí)踐，簡(jiǎn)單談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)與理解.

[?] 實(shí)踐

1. 用好教材例題，把握契機(jī)，增加例題的信息承載厚度，催發(fā)出知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)

例1 （蘇教版必修4 教材115頁(yè)例3）如圖1，三個(gè)相同的正方形相接，求證：α+β=.

課本的解答：首先通過(guò)兩角和的正切公式，計(jì)算出tan（α+β）=1的值. 然后由α，β∈0

，，得到α+β∈（0，π），從而得到α+β=.

筆者在講解完書(shū)上解答過(guò)程，強(qiáng)調(diào)了要計(jì)算α+β∈（0，π），才能得到α+β=. 然后提問(wèn)：還可以怎么做？

學(xué)生（眾）：通過(guò)計(jì)算sin（α+β）或者cos（α+β）的值，來(lái)求α+β的大小.

教師：好的，大家動(dòng)手試試.

5分鐘后，學(xué)生基本算好了.

結(jié)果呈現(xiàn)：通過(guò)計(jì)算cos（α+β）的學(xué)生，得到答案是α+β=；而通過(guò)計(jì)算sin（α+β）的學(xué)生，得到答案是α+β=或. 為此，學(xué)生感到很困惑，甚至對(duì)后者的做法產(chǎn)生了質(zhì)疑.

教師：那是不是可以縮小α+β的取值范圍呢？

點(diǎn)評(píng)：如此一來(lái)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生至少多收獲了兩點(diǎn)：

（1）還可以通過(guò)計(jì)算sin（α+β），cos（α+β）的值，來(lái)求α+β的大小.

（2）在某些情況下，必須給角的取值范圍重新界定.

由于教師把握了例題教學(xué)中的契機(jī)，增加了例題的信息承載厚度，學(xué)生無(wú)需多練多少題，就能接受到了更多的知識(shí)，達(dá)到解一題、通一片、提高一步的目的. 在某種程度上說(shuō)，提高了教學(xué)效率，也減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān).

2. 加強(qiáng)習(xí)題解法的探究，把握契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，催發(fā)出能力的生長(zhǎng)點(diǎn)

例2 設(shè)a=（cos25°，sin25°），b=（sin20°，cos20°），若t是實(shí)數(shù)，且μ=a+tb，求

教師投影展示了學(xué)生1的解題過(guò)程：

教師：在計(jì)算a+tb時(shí)，也可以將a，b的坐標(biāo)代入，得到μ=a+tb的坐標(biāo)（含參數(shù)t），再用坐標(biāo)表示出

教師：很好. 說(shuō)明大家很有函數(shù)思想啊. 那么還有其他解法嗎？

這時(shí)看見(jiàn)有人舉手，筆者示意他站起來(lái)說(shuō).

學(xué)生2：老師，是不是可以用數(shù)形結(jié)合方法來(lái)做？

（更多的學(xué)生表示出了明顯的興趣）

教師笑著問(wèn)：其他同學(xué)看可以嗎？

學(xué)生3：應(yīng)該可以，因?yàn)橄蛄渴菧贤ā皵?shù)”與“形”的“橋梁”，但怎么作圖呢？

（學(xué)生思考中……）

教師：條件對(duì)應(yīng)的圖怎么作，所求的圖又怎樣作呢？

學(xué)生4自告奮勇上黑板，作圖如下：

學(xué)生4：作=a，=b，其中∠x(chóng)OA=25°，∠x(chóng)OB=20°. （不好意思地笑了一下）不過(guò)原本我做錯(cuò)了，后來(lái)經(jīng)下面的同學(xué)提醒，發(fā)現(xiàn)

相等，都為1，我修改了下.

（說(shuō)明：原本學(xué)生4作的是圖2，修改后的圖即圖3）

教師：大家覺(jué)得圖還有問(wèn)題嗎？

學(xué)生5：向量b畫(huà)錯(cuò)了，應(yīng)該∠x(chóng)OB=70°. 按學(xué)生4作的圖，b的坐標(biāo)應(yīng)該是（cos20°，sin20°），而不是（sin20°，cos20°），而（sin20°，cos20°）即為（cos70°，sin70°）.

于是，教師把圖3修改成了正確的圖4.

這時(shí)，下面好多學(xué)生反應(yīng)過(guò)來(lái)了，紛紛贊同.

教師：這個(gè)幾何背景熟悉嗎？角和坐標(biāo)的關(guān)系？

學(xué)生6：我知道，幾何背景是任意三角函數(shù)的定義式：

設(shè)P（x，y）是角α的終邊上任意一點(diǎn)，則sinα=，cosα=（其中r=）.

當(dāng)r=1，點(diǎn)P（x，y）即為角α的終邊與單位圓的交點(diǎn).

此時(shí)sinα=y，cosα=x，即x=cosα，y=sinα，

所以P（cosα，sinα）.

教師：很好，所以A、B分別為角25°、70°的終邊與單位圓的交點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（cos25°，sin25°）和（cos70°，sin70°），亦即，的坐標(biāo).

教師：本道題的幾何背景是單位圓、向量及任意角的三角函數(shù)定義的綜合，將它們結(jié)合起來(lái)考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，是今后高考命題的方向. 所以，本道題研究幾何方法，還是很有價(jià)值的. 另外，向量是溝通三角、幾何、函數(shù)的工具，應(yīng)好好感受.

教師：那么接下來(lái)呢？

μ

的最小值怎么求呢？

學(xué)生7（插話(huà)）：首先要把μ=a+tb在圖中作出來(lái)啊.

教師：那你試一試.

學(xué)生7上黑板畫(huà)好，解釋?zhuān)鹤?t，以，為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線(xiàn)即為μ=a+tb.

學(xué)生8：他作的是t>0時(shí)的μ，但t還可以小于0或者等于0. 作=t，以，為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線(xiàn)即為t<0時(shí)的μ. 另外，當(dāng)t=0時(shí)的μ=a，此時(shí)

教師：我們把關(guān)鍵部分圖象抽出來(lái)，如圖6. 觀察哪些是定量，哪些是變量.

幾分鐘后，學(xué)生9舉手發(fā)言.

學(xué)生9：向量已知，大小未知，但方向與平行，隨著變化而變化.還有∠BOA=70°-25°=45°.

教師：也就是說(shuō)點(diǎn)B、C為動(dòng)點(diǎn)，但動(dòng)中有定嗎？

學(xué)生10：動(dòng)點(diǎn)C在與平行的過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)l上.

教師：能觀察出

點(diǎn)評(píng)：教師要鼓勵(lì)學(xué)生善于觀察比較、抽象概括、大膽猜想、勇于實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建良好的知識(shí)體系，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度來(lái)思考問(wèn)題，把問(wèn)題的面想得更寬廣些，方法的觸角伸得更遠(yuǎn)些，催發(fā)出數(shù)學(xué)能力的生長(zhǎng).

3. 重視學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程評(píng)價(jià)，把握契機(jī)，催發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)情感的生長(zhǎng)點(diǎn)

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筆者剛剛講解完，下面有一個(gè)學(xué)生舉手，以下是他的解題過(guò)程：

，則以a，b為鄰邊作平行四邊形為正方形，所以和向量a+b所在的直線(xiàn)為對(duì)角線(xiàn). 經(jīng)分析，所求的c即為與a+b平行的單位向量.

剛展示完，下面爆發(fā)了雷鳴般的掌聲，大家很振奮……

教師：非常好！因?yàn)橐蟮膯挝幌蛄吭赼，b夾角的角平分線(xiàn)或其方向延長(zhǎng)線(xiàn)上，他發(fā)現(xiàn)以a，b為鄰邊的平行四邊形為正方形，a，b夾角的角平分線(xiàn)即為和向量a+b所在的直線(xiàn)，充分利用了向量的幾何意義，由此得到很巧妙的方法，大大減少了計(jì)算量. 我們要像他學(xué)習(xí)，善于觀察、比較、發(fā)現(xiàn)，多角度、多層次的分析問(wèn)題，尋求多種解題思路.

事后表明，該學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣更濃，在后面的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)更突出，在隨后的一次階段性考試中，一躍從班上30幾名進(jìn)入前10名.

點(diǎn)評(píng)：美國(guó)著名數(shù)學(xué)史學(xué)家M·克萊因（M.Klein）一針見(jiàn)血地指出：“數(shù)學(xué)教育的最大缺陷之一正是缺乏情感的投入.” 因此，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)方法特別重視情感的投入. 教師若能在課堂上把握契機(jī)，重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的評(píng)價(jià)，賞識(shí)學(xué)生，讓學(xué)生在輕松愉快的情境中學(xué)習(xí)，定能催發(fā)出學(xué)習(xí)情感的生長(zhǎng)點(diǎn).

[?] 幾點(diǎn)反思

1. 充分挖掘教材的功能

新課程改革有一個(gè)很明顯的特點(diǎn)就是改“教教材”為“用教材教”. 然而，有些教師顯然是對(duì)教材中的例、習(xí)題的功能認(rèn)識(shí)不足或者重視不夠，他們不太愛(ài)用教材，平日熱衷于題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)很重，而且效果也不是很理想.殊不知教材本身就是個(gè)寶藏，課本中的例、習(xí)題是專(zhuān)家嚴(yán)格篩選配置的，里面蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想、方法，具有很高的學(xué)習(xí)研究?jī)r(jià)值.

教師應(yīng)在充分理解教材編寫(xiě)者意圖的基礎(chǔ)上，對(duì)教材進(jìn)行深入理解、挖掘，并進(jìn)行加工；加工成可操作或可探究的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行資料收集、實(shí)驗(yàn)觀察、猜想證明、類(lèi)比推理，獲取新知識(shí)，并能將知識(shí)按照內(nèi)部聯(lián)系進(jìn)行有效整合，順應(yīng)到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，知識(shí)聯(lián)系更全面、解題能力更突出，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的延伸與開(kāi)發(fā).

2. 做好習(xí)題教學(xué)中的選題工作

本文中例2的最大特點(diǎn)就是“切口小，視角新”. “切口小”體現(xiàn)在該題就是一道求可變向量模的最小值的題目，方法一強(qiáng)化了函數(shù)的思想. “視角新”主要體現(xiàn)在方法二（數(shù)形結(jié)合方法）的幾何背景的建構(gòu)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)很新穎. 教師引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)新的角度解決問(wèn)題，將知識(shí)前后串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)建出學(xué)生知識(shí)、能力的生長(zhǎng)點(diǎn). “切口小，視角新”的設(shè)計(jì)理念，符合華羅庚教授提出的“從另外一個(gè)角度進(jìn)行復(fù)習(xí)”的經(jīng)驗(yàn)，既能對(duì)原有知識(shí)內(nèi)容進(jìn)一步梳理和強(qiáng)化，又能在教師引導(dǎo)下進(jìn)行“再創(chuàng)造”，帶著學(xué)生螺旋上升，促使學(xué)生從多角度思考問(wèn)題生發(fā)出更多的認(rèn)知，優(yōu)化自己的解題思路，促進(jìn)學(xué)生良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)的自我構(gòu)建.

總之，教師應(yīng)該堅(jiān)守好課堂“陣地”，做個(gè)善于研究、勇于創(chuàng)新的教育實(shí)踐者：加強(qiáng)對(duì)教材、大綱的研究，充分挖掘教材的功能；重視過(guò)程教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建良好的知識(shí)體系；重視學(xué)習(xí)過(guò)程評(píng)價(jià)，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情感；全面催發(fā)出學(xué)生的知識(shí)、能力、學(xué)習(xí)情感的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓更多的學(xué)生得到更好的發(fā)展.