基于“問題串”的數(shù)學概念教學

摘 要：在數(shù)學教學中，應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念的發(fā)展過程和本質(zhì)，數(shù)學課程“要講推理，更要講道理”. 本文通過設(shè)置一系列“問題串”引導學生思考，探究其對高中數(shù)學概念教學的幫助和啟示.

關(guān)鍵詞：問題串；任意角；三角函數(shù)；定義域；符號

在教學工作中，筆者參加了學校組織的一次省公開課教學展示活動，在這次課堂教學活動中，以蘇教版《數(shù)學》必修4第一章第一節(jié)1.2.1“任意角的三角函數(shù)”第一課時為課題上了一節(jié)基于“問題串”的數(shù)學概念生成課，既有值得肯定的地方也有自我感覺不足的地方. 本文筆者將概述本課的教學過程實錄，并附以自己的一些教學隨想，以期專家同行的不吝賜教.

[?] 教學過程實錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教師：日出日落，寒來暑往……自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復始”的現(xiàn)象，一個簡單又基本的例子便是“圓周上一點的運動”. 你能舉出生活中的一些例子嗎？

學生：鐘表，摩天輪，自行車的輪胎……

教師：很好！剛才這位同學講到了摩天輪. 問題1：摩天輪上一點P在轉(zhuǎn)動過程中，引起了角度α和弧長l的變化，你能說出α、r、 l之間的關(guān)系嗎？

學生：l=αr.

教師：這里產(chǎn)生了一個角α，從初中角度看是什么角？

學生：銳角.

教師：初中學過銳角三角函數(shù)，是在什么圖形中研究銳角三角函數(shù)的？

學生：直角三角形.

教師：問題2：你能回憶一下初中里學過的銳角三角函數(shù)（正弦，余弦，正切）的定義嗎？

學生：……

教師：問題3：前面我們是如何來研究角的？

學生：通過建立直角坐標系的方法來研究角的.

教學隨想：著名教育家杜威說過：“最好的一種教學，牢牢記住學校教材和實際經(jīng)驗二者相互聯(lián)系的必要性，使學生養(yǎng)成一種態(tài)度，習慣于尋找這兩方面的接觸點和相互的關(guān)系”. 摩天輪是學生實際生活中接觸到的東西，學生熟悉的問題情境可以激發(fā)學生濃厚的學習興趣. 初中銳角三角函數(shù)是學生比較熟悉的數(shù)學內(nèi)容，由淺導入，由熟知引入，慢慢引導學生順理成章的接受新知識. 著名數(shù)學家華羅庚說過：“把一個比較復雜的問題“退”成最簡單最原始的問題，把這最簡單最原始的問題想通了，想透了，然后再來一個飛躍上升”. 這是一個十分精辟的思維方法，用這種方法解決問題，第一可以培養(yǎng)學生良好的心理素質(zhì)，使之遇“新”不懼；第二可以使學生養(yǎng)成良好的解決問題的習慣.

2. 展開問題，探索新知

教師：因此我們也想到把上面這個圖形放入直角坐標系里面來研究，在直角坐標系中，一個點對應著一個坐標. 問題4：你能根據(jù)銳角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，說出（r，α）與（x，y）之間的關(guān)系嗎？（學生分組討論）

學生：過點P做x軸的垂線，垂足為M，則OM=x，MP=y，記r=，則sinα=，cosα=，tanα=.

教師：非常好！這里x，y為點的橫縱坐標，點P所在的射線可以看成角的終邊，即銳角三角函數(shù)可以用銳角終邊上點的坐標來表示.那么銳角終邊上只有這一個點嗎？

學生：有無數(shù)個.

教師：問題5：如果改變點P在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？（學生分組討論思考）

學生：在角的終邊上任意選取一點P′，作x軸的垂線，垂足為M′，則△OMP∽△OM′P′，

所以sinα==，cosα==，tanα==，即比值不變.

教師：非常好！用文字語言來概括就是銳角的三角函數(shù)值僅與銳角的大小有關(guān)，而與點在銳角的終邊上的位置無關(guān)，并且滿足sinα=，cosα=，tanα=，在這里借助于圖形得到了比值的結(jié)論，也就是數(shù)的結(jié)論，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

教師：角的終邊只有這一種可能嗎？

學生：也可能在其他象限或坐標軸上.

教師：問題4：在平面直角坐標系中，我們已經(jīng)將角由銳角推廣到了任意角，那么銳角的三角函數(shù)能不能推廣到任意角的三角函數(shù)呢？（學生思考，分組討論，感覺問題難以回答）

教學隨想：美國著名心理學家奧斯貝爾曾經(jīng)說過：“如果不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生現(xiàn)有的知識狀況去進行教學.” 遵循從“學生已經(jīng)知道了什么”與“學生原有經(jīng)驗”出發(fā)進行教學，符合皮亞杰的“認識即是一種以主體已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動的建構(gòu)活動”的觀點. 上述設(shè)計先讓學生回顧初中所學內(nèi)容，進而放到直角坐標系中去考慮，學生自然會想到作一條高，構(gòu)造一個直角三角形，體現(xiàn)了化陌生為熟悉的化歸思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

3. 歸納提升，形成定義

教師：可能這個問題有些難度，為了回答這個問題，我們課本給出了任意角三角函數(shù)的定義，這就是我們今天要學習的第一個內(nèi)容：任意角的三角函數(shù)的定義：

一般地，對任意角α，我們規(guī)定：

①比值叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=；

②比值叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=；

③比值叫做α的正切，記作tanα，即tanα=. （學生一起來朗讀定義）

教師：大家讀得很整齊，聲音也很洪亮！任意角的三角函數(shù)是課本規(guī)定好的定義，但是在學習的時候，要有大膽的懷疑精神，這個定義合情合理嗎？（學生分組討論交流）

教師：銳角的三角函數(shù)滿足這個定義嗎？

學生：滿足. 只是定義的一種特殊情況.

教師：這里由銳角的三角函數(shù)推廣到了任意角的三角函數(shù)，體現(xiàn)了什么數(shù)學思想呢？

學生：特殊到一般的化歸思想.

教師：也就是說與我們原有的知識沒有產(chǎn)生矛盾，這個定義的發(fā)展合乎數(shù)學發(fā)展的一般規(guī)律，具有合理性. 再來看這個定義，自變量是誰？

學生：角度α.

教師：非常好！我們已經(jīng)將角度與實數(shù)之間通過弧度制建立了一一對應關(guān)系，再來看函數(shù)值，是一個什么呢？

學生：比值.

教師：比值是一個數(shù). 給你一個角度，根據(jù)我們剛才的分析，會對應著幾個比值呢？

學生：一個.

教師：給定一個角度對應著唯一的比值，大家想起了前面學習的什么定義呢？

學生：函數(shù)的定義.

教師：函數(shù)的定義是對兩個什么而言的？

學生：非空數(shù)集.

教師：這里也是兩個非空數(shù)集，并且也滿足對任意的自變量α，都有唯一的比值與之對應，因此，我們可以稱它為函數(shù)，只不過這里我們再給它起一個規(guī)范的名字：三角函數(shù).

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以終邊上點的坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù).以上三種函數(shù)都稱為三角函數(shù).對于定義，給出三點說明：

（1）sinα，cosα，tanα分別叫角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).以上三種函數(shù)都稱為三角函數(shù)；

（2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)；

（3）sinα不是sin與α的乘積，而是一個比值；三角函數(shù)的記號是一個整體，離開自變量的sin，cos，tan等是沒有意義的.

教學隨想：在定義集體誦讀時，使每位學生都親身體會教學重點的內(nèi)容精髓. 學生參與定義，不僅符合學生的口味，而且記憶深刻，還能享受發(fā)現(xiàn)的樂趣，有益于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維. 其實，教材中有不少概念，可以讓學生參與到定義建構(gòu)的過程中，激發(fā)學生主動發(fā)現(xiàn)、提出問題，進而讓學生“樂學”. 由銳角的三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)，體現(xiàn)了特殊到一般的化歸思想，符合由特殊到一般、由直觀到抽象的認知規(guī)律.

4. 應用新知，解決問題

例1 已知角α的終邊經(jīng)過點P（2，-3），求α的正弦、余弦、正切值.

教師：在這里給出點的坐標后，先寫x，y的值，再求r的值，然后根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，采用定義法來求解. 我們再來看這里正弦是負的，余弦是正的，正切是負的，思考1：根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，如果不求值，能不能判斷角的正弦、余弦和正切的符號呢？

學生：正弦函數(shù)值的符號與y的符號相同；余弦函數(shù)的符號與x的符號相同.

教師：非常棒！這就是我們今天學習的第二個內(nèi)容：三角函數(shù)值在各象限的符號，我們再來分別看一下，第一象限全是正的，第二象限只有正弦是正的，第三象限只有正切是正的，第四象限只有余弦是正的，那么可以用一個口訣來概括：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

思考2：若將點P的坐標改為（0，-4）呢？（學生分組討論交流，教師對學生作品進行展示）

教師：是不是對任意角，它的正切都存在呢？

學生：不是！

教師：什么時候不存在？

學生：x=0時不存在.

教師：x=0時，點在哪里？

學生：y軸上.

教師：y軸上角的集合是什么呢？

學生：

α

α≠+kπ，k∈Z

.

教師：正弦，余弦都存在嗎？

學生：都存在.

教師：這就是本節(jié)課學習的第三個內(nèi)容：三角函數(shù)的定義域：y=sinα的定義域是R；y=cosα的定義域是R；y=tanα的定義域是

α

α≠+kπ，k∈Z

.

教學隨想：三角函數(shù)的符號和定義域讓學生通過問題自己去歸納總結(jié)，打破了傳統(tǒng)意義上教師灌輸?shù)慕虒W方式. 問題串的設(shè)計可以讓更多的學生主動參與，適度的研討可以促進生生交流以及培養(yǎng)團隊精神，知識的生成和問題的解決可以讓學生感受到成功的喜悅，縝密的思考可以培養(yǎng)學生獨立思考的習慣，讓學生在教師評價、學生評價以及自我評價的過程中體驗知識的積累、探索能力的增長和思維品質(zhì)的提高，為學生的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ).

[?] 教學反思

“任意角的三角函數(shù)”第一節(jié)《標準》對其學習要求是： 掌握任意角三角函數(shù)的定義；已知角α終邊上一點，會求角α的各個三角函數(shù)值；熟記三角函數(shù)的定義域；理解并掌握三角函數(shù)在各象限的符號. 本文基于“問題串”做教學設(shè)計，有以下一些方面值得反思：

1. 以生為本，對教材認真研讀

德國教育家第斯多惠說過：教學必須符合人的天性及其發(fā)展的規(guī)律. 這是任何教學的首要的、最高的規(guī)律. 只教給學生最本質(zhì)的、最主要的東西，才能切切實實地掌握這種教材，使它不可磨滅地銘記在學生的記憶里. 本文以教材為根本，以學生已有的生活經(jīng)驗和已有知識為背景進行導入學習，符合學生的認知發(fā)展規(guī)律.

2. 教無巨細，從學生角度理解問題

銳角的三角函數(shù)能不能推廣到任意角的三角函數(shù)？是學生難以回答的一個問題，課本以規(guī)定的形式給出了定義，定義的合理性是本節(jié)課的一個講解重點，讓學生明白推廣到任意角是有根據(jù)的，是符合事物發(fā)展規(guī)律的：即沒有違反原有的法則，同時它也真真切切的是函數(shù).既然是函數(shù)，就自然而然地想到函數(shù)的定義域等問題，因此本節(jié)課接下來講解的內(nèi)容就順理成章了. 學源于思，思源于疑.小疑則小進，大疑則大進. 雖然課本是以定義形式給出的，但是我們還是要引導學生要有大膽懷疑的精神，樹立良好的數(shù)學學習觀.

3. 多媒體的使用，使學生容易直觀形象的認識問題

德國著名教育家黑格爾說過：錯誤本身是“達到真理的一個必然環(huán)節(jié)”，“由于錯誤，真理才會發(fā)現(xiàn)”. 在多媒體展示的使用中，筆者不是一味的展示對的好的，而是對錯展示形成對比，讓學生強化對錯誤的認識.

心理學家羅杰斯指出：“在學習過程中獲得的不僅是知識，更重要的是獲得如何進行學習的方法或經(jīng)驗.” 為此，作為教師應該遵循學生的已有認知基礎(chǔ)，從實際生活出發(fā)，以“問題串”引導學生參與知識的生成、發(fā)展和形成的過程，促使學生在獲得對數(shù)學理解的同時，逐步學會學習和思考.