數(shù)學(xué)解題教學(xué)中提升思維能力的例說(shuō)

摘 要：數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，通過(guò)具體案例，利用師生思維互動(dòng)，結(jié)合解題反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的穩(wěn)定性、獨(dú)特性和深刻性，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；思維互動(dòng)；解題反思；提升思維品質(zhì)

[?] 對(duì)解題教學(xué)的認(rèn)識(shí)

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞的教學(xué)理念是：中學(xué)數(shù)學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題；數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該圍繞著問(wèn)題解決來(lái)組織，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該創(chuàng)造一種使問(wèn)題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境. 我們自然要問(wèn)，在解題教學(xué)中，怎樣提高課堂效率呢？我們知道，當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇后（或有了第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后），一定要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的. 這就是人們常說(shuō)的“采蘑菇”現(xiàn)象. 同時(shí)，新課程提倡學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)，廣大教師都在積極探索如何改革課堂教學(xué)模式. 探索師生互動(dòng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，研究數(shù)學(xué)課堂交流對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、思維能力及學(xué)習(xí)效果的影響. 所以，通過(guò)師生互動(dòng)促進(jìn)解題教學(xué)中的解題反思，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，可以提高課堂解題教學(xué)效率. 下面通過(guò)具體的案例來(lái)說(shuō)明解題教學(xué)中提升思維能力的做法. 不當(dāng)之處，還請(qǐng)批評(píng)指正.

[?] 解題教學(xué)案例分析

問(wèn)題：（2010福建高考）某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.

（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小是多少？

（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（既確定航行方向和航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由.

試題簡(jiǎn)析：本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想.此題難度適當(dāng)，解法靈活多變，是師生交流互動(dòng)的良好素材.

回顧問(wèn)題的探究過(guò)程，現(xiàn)把學(xué)生的思維過(guò)程概括為如下的三個(gè)階段：

1. 常規(guī)探究，夯實(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)思維的穩(wěn)定性

學(xué)生先審題、獨(dú)立思考，然后交流、討論. 幾分鐘后，學(xué)生開(kāi)始發(fā)言.

學(xué)生1：設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則

S==.

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)t=時(shí)，Smin=10，此時(shí)v=30.

即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.

學(xué)生2：如圖1，作OC⊥AB與C，則AC=10，OC=10，要使小艇航行的距離最小，則航行方向?yàn)镺C，由t==，得v=30.

教師：學(xué)生1建立了二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的最值得出實(shí)際問(wèn)題的解. 學(xué)生2利用了圖形的直觀性，解法簡(jiǎn)潔精練.

對(duì)于問(wèn)題（2），學(xué)生給出了下面的解法.

學(xué)生3：如圖2，設(shè)小艇與輪船在B處相遇，由（1）有S2=v2t2=900t2-600t+400，故v2=900-+，又0

[O][A][B][C][P]

教師：學(xué)生3根據(jù)問(wèn)題（1），建立了速度v和航行時(shí)間t的等量關(guān)系，過(guò)程簡(jiǎn)練. 還有其他解法嗎？（繼續(xù)追問(wèn)，是為了夯實(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性）

過(guò)了一會(huì)兒，有學(xué)生給出了下面的解法.

學(xué)生4：如圖2，相遇點(diǎn)不在AC上， 設(shè)相遇點(diǎn)為B，∠COB=θ（0°<θ<90°），在Rt△BOC中，易知BC=10tanθ，OB=，所以t==，解得v=. 又v≤30，所以sin（θ+30°）≥，30°≤θ≤90°，由于θ=30°，tanθ取得最小值，此時(shí)t=取得最小值. 下略.

教師：在學(xué)生回答問(wèn)題后，追問(wèn)相遇點(diǎn)P為什么不在AC上？

這樣做，學(xué)生的思維比較流暢，有成功的體驗(yàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)的求知態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維. 最后引導(dǎo)學(xué)生證明：對(duì)于AC上的任意點(diǎn)P，由于∠PAO=60°>30°≥∠POA，故OP>PA，>≥，所以輪船先到達(dá)點(diǎn)P.

學(xué)生5：先證明相遇點(diǎn)不在AC上，設(shè)相遇點(diǎn)為B，CB=x，則OB=，依題意t==，解得v=，由v=≤30，解得x≥10，所以當(dāng)x=10時(shí)，t=有最小值.

學(xué)生6：對(duì)于學(xué)生5的解法，如果規(guī)定了向東為正，此時(shí)可以設(shè)CB=x（x> -10），當(dāng)x>0時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)C右側(cè)，當(dāng)x<0時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè). 利用有向線段把兩種情況統(tǒng)一起來(lái)，不用證明相遇點(diǎn)不在AC上.

教師：學(xué)生6靈活運(yùn)用了有向線段的數(shù)量，它還可以提升我們對(duì)平面向量數(shù)量積幾何意義的理解，優(yōu)化了思維過(guò)程. 追問(wèn)：反思解題過(guò)程與方法，它們能否優(yōu)化？

評(píng)析：它是師生良性互動(dòng)的結(jié)果.問(wèn)題解決后，筆者總是習(xí)慣性地追問(wèn)能否優(yōu)化，這次追問(wèn)也只是走過(guò)場(chǎng)，但是卻收到意想不到的效果.

[?] 另辟捷徑，從直覺(jué)到理性，培養(yǎng)思維的獨(dú)特性

追問(wèn)后，學(xué)生7給出了下面的解法.

學(xué)生7：根據(jù)解題結(jié)果，憑借直覺(jué)，當(dāng)小艇以最大速度（30海里/小時(shí)）航行時(shí)，相遇點(diǎn)在OA的垂直平分線和航向AC的交點(diǎn)B處，所需時(shí)間最少.此時(shí)△AOB是正三角形，航向和航速隨之確定.

教師：這樣求解可以嗎？還需要證明什么？

經(jīng)過(guò)思考，學(xué)生7給出了下面的回答.

學(xué)生7：先證明相遇點(diǎn)P不在線段AB上.假設(shè)相遇點(diǎn)P在線段AB上，此時(shí)，∠PAO=60°>∠AOP，所以O(shè)P>AP，>≥，即輪船先到點(diǎn)P，矛盾；當(dāng)相遇點(diǎn)P在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，用時(shí)顯然更長(zhǎng).

老師：這種解法從解題結(jié)果出發(fā)，利用圖形，借助直覺(jué)，過(guò)程簡(jiǎn)潔精練.從感性到理性，是一種全新的視角.

受學(xué)生7的啟發(fā)，筆者又提出了下面更一般的問(wèn)題：若小艇的航行速度v≤a，憑直覺(jué)，小艇以最大航速a航行時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在B點(diǎn)相遇. 能給予證明嗎？

評(píng)析：這是一次典型的師生互動(dòng). 學(xué)生7的直覺(jué)來(lái)源于解題結(jié)果，推理過(guò)程來(lái)源于學(xué)生4的解題過(guò)程，他的解法既在意料之外，又在情理之中. 筆者的一般性的追問(wèn)則是和學(xué)生7互動(dòng)的結(jié)果. 它們都是課堂的有效生成.

過(guò)了一會(huì)兒，學(xué)生7給出了下面的證明：

一方面，由 t==， 得=；另一方面，在△AOB中，由正弦定理可得=，聯(lián)立可以得到v·sin∠AOB=15，即小艇航行速度v和sin∠AOB成反比，當(dāng)小艇以最大航速a航行時(shí)，sin∠AOB最小，點(diǎn)B最接近點(diǎn)A，此時(shí)所用時(shí)間t=最少.

就在準(zhǔn)備結(jié)束這個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生8提出了下面的問(wèn)題.

學(xué)生8：小艇航行速度v和sin∠AOB成反比，v越大，sin∠AOB越小，當(dāng)∠AOB≥90°時(shí)， ∠AOB越大，此時(shí)相遇點(diǎn)B遠(yuǎn)離點(diǎn)A，所用時(shí)間t=變大.

學(xué)生7的解法又陷入了僵局. 此時(shí)下課的鈴聲響了，筆者要求學(xué)生課后思考.

評(píng)析：有認(rèn)知沖突才有動(dòng)力，才有探究的欲望. 這樣的師生思維互動(dòng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性. 而且學(xué)生8的思考將師生互動(dòng)從課堂延伸到課外.

[?] 互動(dòng)延伸，從課內(nèi)到課外，培養(yǎng)思維的深刻性

課后，部分優(yōu)生經(jīng)過(guò)討論，得出如下的結(jié)果：

如圖3，OA的垂直平分線和AB相交于B1，OB2⊥OA交AB于B2.

①當(dāng)v=15時(shí)，小艇只有一條路徑OB2可以追上輪船，且v=15是小艇可以追上輪船的最小航速.

②當(dāng)v∈（15，30）時(shí)，小艇可以有兩條路徑追上輪船，且相遇點(diǎn)分別在線段B1B2和射線B2B上. 相遇點(diǎn)在線段B1B2上時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間較短，它是小艇應(yīng)該選擇的航向.

③當(dāng)v≥30時(shí)，小艇只有一條路徑可以追上輪船，相遇點(diǎn)在線段AB1上.

上面的結(jié)論可以從下面的解法得到驗(yàn)證.

問(wèn)題（2）的另一種解法：由S2=v2t2=900t2-600t+400，得（v2-900）t2+600t-400=0，（?。┤?. （ⅱ）若v=30，則t=.

綜合（?。áⅲ┛芍?，當(dāng)v=30時(shí)，t取最小值.

此外，由==（v≠30）可知，點(diǎn)B到兩定點(diǎn)A，O的距離之比為定值，由解析幾何的知識(shí)可知，點(diǎn)B的軌跡是阿波羅尼斯圓（當(dāng)v=30時(shí)，軌跡是直線），根據(jù)圓和射線AB的交點(diǎn)情況可以得到B點(diǎn)的位置，近一步得出上面的結(jié)論. 而且這個(gè)結(jié)論已經(jīng)在幾何畫(huà)板中得到了驗(yàn)證，限于篇幅，這里不再敘述.

通過(guò)優(yōu)生的討論，從三角、函數(shù)、解幾等不同的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，認(rèn)清了問(wèn)題的本質(zhì)，突出了思維的深刻性，提升了學(xué)生的思維品質(zhì).

[?] 習(xí)題課的教學(xué)啟示

1. 利用師生思維互動(dòng)

“師生互動(dòng)”這一課堂教學(xué)理念并不是新生事物，而是自古就有的. 現(xiàn)代教學(xué)研究認(rèn)為，師生互動(dòng)行為可分為三個(gè)層面：第一個(gè)層面是指教師與全體學(xué)生之間的互動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為師全互動(dòng)，它是師生互動(dòng)的常態(tài)方式；第二個(gè)層面是指教師與個(gè)別學(xué)生之間的互動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為師個(gè)互動(dòng)，它是師生主體間的雙向交流，是師生互動(dòng)的高效方式；第三個(gè)層面是指學(xué)生與學(xué)生之間的互動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為生生互動(dòng)，它是師生互動(dòng)的良性發(fā)展與后續(xù)延伸，是師生互動(dòng)的深層方式. 師生互動(dòng)的三個(gè)層面中，第一層面是基礎(chǔ)與保障，第二、三層面是師生互動(dòng)的應(yīng)有之意.

每個(gè)層面的師生互動(dòng)行為又可以從四個(gè)維度來(lái)描述與刻畫(huà). 第一個(gè)維度是外顯的行為，包含語(yǔ)言互動(dòng)的流暢性、準(zhǔn)確性和邏輯性；第二個(gè)維度也是外顯的行為，即討論行為，包含商討辯論中體現(xiàn)的真誠(chéng)性、專(zhuān)注性和有效性；第三個(gè)維度是內(nèi)隱的行為，即思維行為，包括思維品質(zhì)的深刻性、發(fā)散性與創(chuàng)新性；第四個(gè)維度也是內(nèi)隱的行為，即情感行為，包括師生雙方的主動(dòng)性、態(tài)度的積極性、情感的愉悅性.其中思維的互動(dòng)是核心和關(guān)鍵.

前面的案例充分體現(xiàn)了師生互動(dòng)的三個(gè)層面和四個(gè)維度，它們對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)起著獨(dú)特、重要而且無(wú)可替代的作用. 其核心是師生思維的互動(dòng).在例題教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該精選恰當(dāng)、典型的例題，通過(guò)師生互動(dòng)，讓學(xué)生的思維能力在探究的過(guò)程中得到提升. 此外，對(duì)于典型而且重要的解法，教師更不能包辦代替，而應(yīng)該通過(guò)提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，激發(fā)學(xué)生求知的欲望，讓學(xué)生在主動(dòng)參與、積極思考的過(guò)程中自然地獲得解法，其教學(xué)效果要比“填鴨式”教學(xué)高出許多. 這樣的教學(xué)應(yīng)該是我們教師的終身追求.

2. 強(qiáng)化解題教學(xué)反思

解題反思是解題的重要環(huán)節(jié)，解題后的反思對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有著重要的意義，反思主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：（1）反思解題本身是否正確. 由于在解題過(guò)程中，可能會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，因此在解完一道題目后很有必要審查自己的解題是否混淆了概念，是否忽略了隱含條件，是否特殊代替一般，是否忽視特例，邏輯上是否有問(wèn)題，運(yùn)算是否正確等. 這樣做是為了保證解題無(wú)誤，這是解題后最基本也是最重要的要求. （2）反思有無(wú)其他解法. 對(duì)于同一道題，從不同的角度去分析它，可能會(huì)得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法. 通過(guò)不同的觀察側(cè)面，使學(xué)生的思維觸角伸向不同的方向、不同的層次，從而發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力. （3）反思結(jié)論或性質(zhì)在解題中的作用.有些題目本身可能很簡(jiǎn)單，但是它的結(jié)論和解決這道題目涉及的性質(zhì)卻又廣泛應(yīng)用，如果讓學(xué)生僅僅滿(mǎn)足于解答題目本身，而忽視對(duì)結(jié)論或性質(zhì)應(yīng)用的思考、探索，那就可能會(huì)“撿到一個(gè)芝麻，丟掉一個(gè)西瓜”. （4）反思解決問(wèn)題的思維方法能否遷移. 做題不單單是為了解決一道題目，而是為了掌握一類(lèi)問(wèn)題的解決方法. 讓學(xué)生課后深思一下解題程序，有時(shí)會(huì)突然發(fā)現(xiàn)：這種解決問(wèn)題的思維模式竟然體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于學(xué)生解決問(wèn)題大有幫助.

師生互動(dòng)畢竟是一種教學(xué)手段，是教學(xué)的表現(xiàn)形式，是一種教學(xué)過(guò)程. 教學(xué)內(nèi)容必須經(jīng)過(guò)學(xué)生的思考、加工，內(nèi)化到學(xué)生的知識(shí)體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，此時(shí)的解題反思尤為重要，它是師生互動(dòng)的繼續(xù)和延伸，是高效課堂的基礎(chǔ)，是思維提升的關(guān)鍵.

3. 逐步提升思維品質(zhì)

在習(xí)題教學(xué)中，要精心選擇有價(jià)值的問(wèn)題，選好探究的切入點(diǎn)，通過(guò)恰當(dāng)問(wèn)題情境的引領(lǐng)，將師生的思維互動(dòng)從形式過(guò)渡到本質(zhì)、從膚淺引向深入、從課內(nèi)延伸到課外，使優(yōu)秀的學(xué)生更加優(yōu)秀，使分層教學(xué)得以實(shí)施. 使學(xué)生的思維能力在師生互動(dòng)的過(guò)程中螺旋上升，這樣的習(xí)題課才是高效的. 它也是高效課堂應(yīng)該具有的特征.