數(shù)學(xué)化歸思想的培養(yǎng)

摘 要：高中數(shù)學(xué)中有很多數(shù)學(xué)思想方法，有些比較偏向知識性，有些則偏向方法性，本文從問題解決的方式方法出發(fā)，以方法性的化歸思想切入，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)這一數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；化歸思想；模式化；熟悉化

高中數(shù)學(xué)教什么？讓學(xué)生學(xué)到了什么？在緊張的教學(xué)之余，作為教師的我們思考過嗎？原中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指定組組長東北師大史寧中教授說：“我們的教材要教學(xué)生什么呢？數(shù)學(xué)要讓學(xué)生領(lǐng)會到什么呢？我認(rèn)為，教兩樣?xùn)|西，第一樣是數(shù)學(xué)的基本知識，主要是數(shù)學(xué)概念，比如什么是函數(shù)，橢圓的基本要素有哪些等等；第二樣則是數(shù)學(xué)問題解決的轉(zhuǎn)化能力，就是有了基本知識，遇到新的問題情境怎么來解決！”史教授的話直接指出了數(shù)學(xué)教學(xué)必須對學(xué)生培養(yǎng)的一種能力——轉(zhuǎn)化與化歸，即化歸思想在學(xué)生頭腦中的建立是數(shù)學(xué)知識運(yùn)用的關(guān)鍵.

從教學(xué)經(jīng)驗來看，筆者認(rèn)為學(xué)生在解決一些困難的數(shù)學(xué)問題中無法取得突破的原因主要是下面幾方面：其一，學(xué)生無法將陌生的數(shù)學(xué)問題、情境給予熟悉化，往往缺乏透過現(xiàn)象認(rèn)知本質(zhì)的能力，導(dǎo)致其無法與頭腦中已存儲的知識進(jìn)行直接聯(lián)系；其二，模式化的操作不熟練，困難的問題是多個小問題堆砌而成，基礎(chǔ)知識正是化歸思想熟練運(yùn)用的基礎(chǔ)，沒有模式化熟練的基礎(chǔ)很難順利地進(jìn)行化歸；其三，教師教學(xué)的化歸引導(dǎo)，問題解決正是不斷向一種簡單的充要條件進(jìn)行過度，教師在平時注重化歸的引導(dǎo)、思想的培養(yǎng)，有利于部分學(xué)生頭腦中化歸思想的建立、化歸能力的提高.

[?] 基本知識熟悉化的化歸能力

要扎實(shí)地掌握化歸思想、提高化歸能力，首要是基本知識的熟悉化，在對基本知識熟悉化的基礎(chǔ)上才能為模式化的化歸打下堅實(shí)的基礎(chǔ).來看一個案例.

案例1：已知tan2θ=-2，<θ<π，

（1）求tanθ的值；

（2）求的值.

分析：第（1）問主要由正切的二倍角公式tan2θ=，解二次方程得出tanθ的值，再根據(jù)θ的取值范圍確定最后的解，這是基本知識熟練化的一種化歸；第（2）問主要把分子和分母分別用二倍角公式與兩角和公式化簡，在利用第（1）問求出的tanθ的值進(jìn)行求解，如何將第（1）問的結(jié)論用到第（2）問中去，是知識鏈接的一種轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng).

學(xué)生思路轉(zhuǎn)化：問題看似平淡，實(shí)則平淡背后存在著學(xué)生化歸能力熟練化的缺失，筆者將學(xué)生的轉(zhuǎn)化思路給予呈現(xiàn)：①二倍角公式化歸不熟練，第一小題中運(yùn)用tan2θ=，= -2轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanθ的二次方程，少數(shù)學(xué)生做不到正確的代換和轉(zhuǎn)化；②象限角的三角函數(shù)符號記錯，其中解關(guān)于tanθ的二次方程有兩解，根據(jù)θ∈

，π，取tanθ=-，存在部分學(xué)生在答題中選擇tanθ=；③化簡思路各異.

本題的第（2）小題中先化簡再求值，其中轉(zhuǎn)化的方向存在各種不同的情況.①化為，然后求出sinθ和cosθ，再代入求值；②化為，直接由第（1）題中得到的tanθ的值代入求值；③化為，利用第（1）題中得到的tanθ先求出tanθ+，再求值；④化為，由題中已知條件tan2θ=-2，先求出sin2θ，cos2θ，然后代入求值. 由于轉(zhuǎn)化方式各異，計算中所需要的三角函數(shù)值也不同，但是凸顯了學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的發(fā)散性.

說明：本題是一種基本問題，屬于高一常規(guī)問題，用到的也是普通解題方法，計算略微煩瑣，但是學(xué)生能完全解決的正確率并不高，筆者認(rèn)為主要是學(xué)生解決問題過程中，轉(zhuǎn)化能力不足，這里的轉(zhuǎn)化包括了基本知識的運(yùn)用、數(shù)據(jù)處理的轉(zhuǎn)化等等.具體而言是解決一元二次方程能力不足（特別是十字相乘法和求根公式），因此需要在平時加強(qiáng)基本知識的轉(zhuǎn)化能力培養(yǎng)，對于一些必備數(shù)學(xué)知識需要鞏固.

[?] 問題情境模式化的化歸能力

轉(zhuǎn)化思想和化歸能力的更高要求在于解決陌生情境下的數(shù)學(xué)問題，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的問題情境. 這里筆者需要指出的是模式化的操作. 眾所周知，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)還需要依賴一定的模式化，完全脫離模式嘗試各種探究、創(chuàng)新是不可能實(shí)現(xiàn)的，比如高考應(yīng)試，高考卷總是在前一年的基礎(chǔ)上有良好的傳承和恰當(dāng)?shù)膭?chuàng)新，這樣來看模式化的化歸能力是筆者建議教學(xué)時需要培養(yǎng)的，有了模式化的化歸能力，可以保障學(xué)生在解決問題中至少掌握了應(yīng)試的基本問題和中檔問題，有了保障性得分.

案例2：平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)圓C的方程為（x-a）2+（y-2a+4）2=1.

（1）若圓C經(jīng)過A（3，3）和B（4，2）兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)點(diǎn)P（0，3），若圓C存在點(diǎn)M，使得MP=2MO，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：本題是2013年高考江蘇卷的一道改編題，是一道典型的模式化轉(zhuǎn)化問題. 本題第（1）問主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力、代數(shù)法與幾何法的熟練程度.第（2）問主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，問題設(shè)計看似無過人之處，情境平靜，但暗流涌動，蘊(yùn)涵著豐富的變化過程. 點(diǎn)M被兩種運(yùn)動所制約，半徑為1的圓C在運(yùn)動，點(diǎn)M在動圓上運(yùn)動，運(yùn)動過程中不變的是圓C與動圓總有公共點(diǎn)，這是隱含在字里行間的，需要我們?nèi)牒跗鋬?nèi)方可領(lǐng)悟，又需要出乎其外才能轉(zhuǎn)化. 該題體現(xiàn)了在學(xué)科基礎(chǔ)知識、基本能力和數(shù)學(xué)思想方法交匯處命題的思想，要求考生推理嚴(yán)謹(jǐn)，運(yùn)算合理準(zhǔn)確，能運(yùn)用代數(shù)方法和圖形直觀進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，具有很好的甄別功能.

解析：（2）設(shè)M（x，y），由MP=2MO，得=2，整理得：x2+（y+1）2=4，設(shè)為圓D，則點(diǎn)M既在圓C上又在圓D上，即圓C和圓D有公共點(diǎn)，因此2-1≤≤2+1，由5a2-12a+8≥0得a∈R；由5a2-12a≤0得0≤a≤，因此所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是0≤a≤.

說明：本題設(shè)計較為新穎，讓學(xué)生初看本題感覺有些不知所措，通過頭腦中模式探尋發(fā)現(xiàn)，本題的關(guān)鍵在于研究熟悉的知識背景——圓與圓的位置關(guān)系，兩圓相交如何求解.這樣的問題對于學(xué)生而言是一種模式化的轉(zhuǎn)化思想培養(yǎng)，使其明白滿足=2的動點(diǎn)M的軌跡是一個圓，在教材上作為例題介紹過，背景公平、模式典型，學(xué)生應(yīng)該比較熟悉.如果能夠一眼識破廬山真面目，滿足=2的動點(diǎn)M的軌跡是一個圓，那么學(xué)生對于問題的解決自然變得水到渠成.教師要以這樣的問題給予學(xué)生研究的啟發(fā)，問題源于課本，而又高于課本，體現(xiàn)了良好的模式化歸導(dǎo)向性.

[?] 應(yīng)用問題數(shù)學(xué)化的化歸能力

數(shù)學(xué)的應(yīng)用型問題是數(shù)學(xué)運(yùn)用于實(shí)際生活生產(chǎn)的典型，我們知道學(xué)生往往懼怕應(yīng)用題，究其原因是學(xué)生在形式化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對于生活實(shí)際的應(yīng)用題研究相對較少，其不知如何將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題，這種能力是亟待教師教學(xué)培養(yǎng)的.

案例3：某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m. 房屋正面的造價為400元/m2，房屋側(cè)面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費(fèi)用合計為5 800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費(fèi)用. 當(dāng)側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？

分析：用長度x表示出造價，利用基本不等式求最值即可. 還應(yīng)注意定義域0

說明：這里要引導(dǎo)學(xué)生的是，造價需要用單價乘以面積，如何研究面積？每種不同類型的面積單價是多少？正確分清類別，將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即可.

總之，數(shù)學(xué)的化歸能力的培養(yǎng)需要從高一階段入手，每一種數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是化歸能力的積累，每一種問題的變化是化歸思想的滲透，每一個陌生問題的研究都是化歸思想的體現(xiàn)，教師要盡可能在教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生如何通過文中三個不同層次的化歸提高其轉(zhuǎn)化與化歸的能力.