一道數(shù)列高考試題的淵源與解法探索

摘 要：通過對2014年高考數(shù)學(xué)新課程（理科）卷二的數(shù)列解答題的淵源分析與解法探索，對數(shù)列的一個(gè)經(jīng)典問題進(jìn)行多角度的剖析，期待能引發(fā)廣大數(shù)學(xué)教師對課程標(biāo)準(zhǔn)、教材以及高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的思考，努力使解題教學(xué)更貼近學(xué)生的思維，提高解題教學(xué)的實(shí)效性.

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列；構(gòu)造法；主體部分拆分法

2014年高考?jí)m埃落定，許多理科考生，數(shù)學(xué)教師均對新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)（理科）卷二中的數(shù)列解答題議論紛紛，學(xué)生都在抱怨，教師高呼超綱超標(biāo)，筆者仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)此題頗值得深入探討. 筆者就這個(gè)問題，從課標(biāo)、教材以及其他省份的歷年高考相關(guān)試題進(jìn)行淵源分析與解法探索，現(xiàn)將我們的思考和讀者一起分享.

（2014·新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)（理科）卷二解答題第17題和教育部考試中心提供的參考答案如下：

[?] 對本題第（Ⅰ）問的思考

首先對照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）來思考，《標(biāo)準(zhǔn)》中對等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的要求是“掌握”，此題中的第一問的要求是通過構(gòu)造輔助的等比數(shù)列來求通項(xiàng)公式，而且題目中給出輔助數(shù)列，要求先證明它是等比數(shù)列，再求通項(xiàng)公式，實(shí)際上已經(jīng)降低了構(gòu)造法的難度. 所以，第（Ⅰ）問不存在“超標(biāo)” 的說法. 其次，再從教材的角度來看，第（Ⅰ）問的題目原型是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教科書人教A版教材必修5第69頁數(shù)列復(fù)習(xí)參考題組第6題：“已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式”.此題的解答就是通過兩邊添加項(xiàng)構(gòu)造輔助的等比數(shù)列來解決問題：

由an=2an-1+3an-2，得an+an-1=3an-1+3an-2=3（an-1+an-2），移項(xiàng)得an-3an-1=-（an-1-3an-2），所以{an-3an-1}是等比數(shù)列. 由這個(gè)輔助數(shù)列為突破口就可以解答該題.

本題更遠(yuǎn)的教材原題背景是來自1995年以前使用的大綱教材——人教版高中數(shù)學(xué)代數(shù)下冊的復(fù)習(xí)參考題：“已知an+1=b，

c·an+d，求數(shù)列的前4項(xiàng)及其通項(xiàng)公式.”

對于問題（Ⅰ），其解題起點(diǎn)在于對遞推關(guān)系式an=3an-1+1的觀察，與an=3an-1相比，多了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)1，而an=3an-1是典型的等比數(shù)列，可以猜想系數(shù)3可能與公比有關(guān)，因而確定問題的轉(zhuǎn)化方向——構(gòu)造以公比為3的等比數(shù)列.

數(shù)學(xué)歸納法的證明過程在此不再贅述.

對于遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式不易求解時(shí)，可考慮用賦值法求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，用合情推理猜想出通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，此解法思路成功的關(guān)鍵在于歸納猜想時(shí)，要靈活運(yùn)用“猜結(jié)果”與“猜結(jié)構(gòu)”的策略.

以上三種方法比較，顯然參考答案提供的構(gòu)造法思路更簡單，解法更簡潔.當(dāng)然后兩種方法均有其特點(diǎn)，也指明了在數(shù)列的遞推公式教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注的幾個(gè)方向.

[?] 對2014高考新課標(biāo)卷二17題的第（Ⅱ）問的思考

這是典型的放縮法證明不等式.在此，避開放縮法是否超出課程標(biāo)準(zhǔn)考試大綱不談，我們只從數(shù)學(xué)方法的角度來看. 筆者在高考評卷過程中發(fā)現(xiàn)考卷中能用參考答案這種方法做出正確解答的并不多見，筆者認(rèn)真分析了國家考試中心提供的參考答案，感覺該解答與中學(xué)生的解題習(xí)慣不甚吻合.

放縮法的關(guān)鍵，一是放縮的方向，二是如何把握放縮的“度”的問題. 那從這個(gè)參考答案上來看，學(xué)生如何確定放縮的方向？如何才能得到3k-1≥2×3k-1？這個(gè)思路與學(xué)生的認(rèn)知水平及思維習(xí)慣相差甚遠(yuǎn). 基于此，筆者提出以下的解法，并將結(jié)論做相應(yīng)的推廣.

評注：對于上述解法，應(yīng)關(guān)注其解題思路，剖析解題心理狀態(tài).首先觀察目標(biāo)結(jié)論：++…+=++…+<，分子均為2，分母3k-1是等比數(shù)列和常數(shù)1的差，問題的轉(zhuǎn)化方向應(yīng)該是向等比數(shù)列轉(zhuǎn)換，但困難在于3k-1位于分母上，不易分拆. 因此先將該式的主要部分提取出來，==·，而剩余部分是，可考慮放大為最大項(xiàng)，易得≤=，以下根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式易證.

上述解題思路當(dāng)中有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，第一：向等比數(shù)列轉(zhuǎn)化，第二，運(yùn)用“主體部分拆分法”，拆出主體部分等比數(shù)列后，對其剩余部分實(shí)施放縮.

受此觸動(dòng)，筆者嘗試將上述結(jié)論適當(dāng)推廣.

既然可以放大，能否考慮縮小呢？

前兩問考查了賦值法，以及運(yùn)用前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，其中第（Ⅱ）問考查重點(diǎn)仍舊是構(gòu)造法，在此不再贅述.

觀察第（Ⅲ）問的兩種方法，或者使用n次方差因式分解公式，但這是學(xué)生所不熟悉的，或者運(yùn)用累乘法，構(gòu)造性，技巧性過強(qiáng)，解題方向不易把握.

仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，這兩道高考題均從教材試題演變而來，教材原題作為源，而這兩道高考試題作為流，其中2014年新課標(biāo)考題延續(xù)了2012年廣東理科試題的命題思路，并做適當(dāng)簡化，以降低考查要求. 這兩道高考試題的標(biāo)準(zhǔn)解答均有些晦澀難懂. 筆者的解答中強(qiáng)化基本的等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的求法，并抓住主要矛盾（把式子中的主要部分提取出來，產(chǎn)生等比數(shù)列，再對剩余部分作放縮處理），問題轉(zhuǎn)化的方向簡結(jié)明了，學(xué)生易于接受. 也給老師們一點(diǎn)有益的啟示——在教學(xué)當(dāng)中要注意數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練，更要從數(shù)學(xué)思想方法的角度幫助學(xué)生掌握通性通法和思維策略，只有這樣才能使學(xué)生提升解題能力，在高考考場上游刃有余.