“+”型定值問題的探究

摘 要：基于三角形為研究對象，探究“+”型定值問題. 首先把可變元素特殊化，然后再根據(jù)它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分析當(dāng)某一幾何元素按照一定規(guī)律不斷運(yùn)動(dòng)時(shí)，進(jìn)行分類討論. 驗(yàn)證與之相關(guān)的幾何量（或數(shù)量關(guān)系）恒保持不變，即定值存在，建立數(shù)學(xué)模型. 在該問題的研究中，遵循從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，并通過條件的不斷弱化，分析得出決定定值的關(guān)鍵量，從而使結(jié)論更具推廣價(jià)值.

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)；結(jié)論；定值

題1：如圖1，等邊△ABC中，DE是△ABC中位線，P是直線DE上動(dòng)點(diǎn)，直線BP交AC邊所在直線于點(diǎn)N，直線CP交AB邊所在直線于點(diǎn)M，設(shè)△ABC邊長為n，則猜想與兩者存在何關(guān)系，并證之.

在解決這類問題的過程中，可以直接通過計(jì)算來求出定值；也可以先考慮某一個(gè)特殊情形下的該相關(guān)值，然后證明當(dāng)相應(yīng)幾何元素變化時(shí)，此值是否保持不變. 常用的探求步驟為：1. 可變元素特殊化，用特殊探索法（即用特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值；2. 根據(jù)它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，確定變化范圍，進(jìn)行分類驗(yàn)證；3. 設(shè)參數(shù)，表示相應(yīng)變化元素；4. 在“變”中尋求“不變”，分析當(dāng)某一幾何元素按照一定規(guī)律不斷運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之相關(guān)的幾何量（或數(shù)量關(guān)系）保持不變，建立模型.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE的延長線上：

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE的反向延長線上：

這兩種情況分析同上，請讀者自行證之.