向量在解決數(shù)學問題的恰到之處

摘 要：向量是一種有效的工具，在眾多數(shù)學問題中有十分廣泛的應(yīng)用. 我們應(yīng)該有意識地用向量分析問題，借助向量的知識來解決問題. 本文結(jié)合具體實例，運用向量的有關(guān)知識，來解決函數(shù)、解析幾何、立體幾何這三個方面的問題.

關(guān)鍵詞：解題；向量；函數(shù)；解析幾何；立體幾何

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景. 學生了解了向量豐富的實際背景，理解向量及其運算的意義，能用向量的語言和方法表述和解決數(shù)學、物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.

對于某些數(shù)學問題，表面上看似乎與向量毫不相關(guān)，但仔細觀察分析就會發(fā)現(xiàn)問題中隱含著向量的因素，這時可以從問題的結(jié)構(gòu)特征入手，充分挖掘問題的向量背景，通過向量的概念、公式、定理、法則改變問題原有的結(jié)構(gòu)，找到解決問題的途徑. 本文結(jié)合具體實例，運用向量的有關(guān)知識，來解決函數(shù)、解析幾何、立體幾何這三個方面的問題.

[?] 函數(shù)方面

向量的數(shù)量積是將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式的常用工具. 正弦定理和余弦定理的證明讓學生經(jīng)歷了運用向量工具解決三角形的度量問題的過程，從而為運用向量解決幾何度量問題奠定基礎(chǔ).

所以∠MBP為銳角?∠MBN為鈍角，所以點B在以MN為直徑的圓內(nèi).

圓錐曲線中的定點、定值、最值、范圍問題是圓錐曲線的綜合問題，它是解析法的應(yīng)用，它涉及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識與三角函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系. 解這一類問題的分析思想與方法是可循的，重要的是要善于掌握圓錐曲線知識縱向、橫向的聯(lián)系，努力提高解題能力.

[?] 立體幾何方面

空間向量是處理空間問題的重要方法，通過將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將過去的形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計算，明顯降低了思維難度，減輕了學生的學習負擔.

空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角. 空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具. 這些也為進一步學習向量和研究向量奠定了一定的基礎(chǔ). 根據(jù)問題的特點，以適當?shù)姆绞剑ɡ缃?gòu)向量、建立空間直角坐標系）用空間向量表示空間圖形中的點、線、面等元素，建立起空間圖形與空間向量的聯(lián)系；然后通過空間向量的運算，研究相應(yīng)元素之間的關(guān)系（平行、垂直、角和距離等）；最后對運算結(jié)果的幾何意義作出解釋，從而解決立體幾何的問題.

“向量”是高中數(shù)學新增加的內(nèi)容. 它作為一種工具，不僅在數(shù)學學科中有廣泛的應(yīng)用，同時也被自然科學的其他領(lǐng)域廣泛運用著. 很多數(shù)學的思想方法如建模、類比、化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等等都巧妙地滲透在教材中，需要教師很好的挖掘. 從學生學習的發(fā)展性角度來看，掌握更多的數(shù)學思想，對今后的工作和學習來講都是受益匪淺的. 因此，今天的數(shù)學學習不僅是學生學習旅途中的一個驛站，更是指導學生終身學習的一盞領(lǐng)航燈.