用發(fā)現(xiàn)的眼睛探究高中數(shù)學(xué)中的邏輯趣味

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，邏輯思維的教學(xué)逐漸成為教師突出強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容. 這是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，更是轉(zhuǎn)變學(xué)生思維的難點(diǎn). 本文將高中數(shù)學(xué)邏輯分解為五個(gè)方面分別進(jìn)行闡述，希望能夠?yàn)閺V大教師數(shù)學(xué)邏輯教學(xué)的創(chuàng)新有所幫助.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；邏輯教學(xué)；創(chuàng)新

在筆者與很多高中數(shù)學(xué)教師交流教學(xué)心得的過程中，聽到教師反映最多的問題就是：很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)沒有學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)過程十分被動(dòng). 的確，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入到高中階段之后，表面上的趣味性較之從前確實(shí)大大降低了. 如果說，小學(xué)與初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)側(cè)重于單純知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，高中數(shù)學(xué)所關(guān)注更多的則是數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng). 想要將外化的知識(shí)能力轉(zhuǎn)化為內(nèi)化的思想方法，并不是一件容易的事，需要教師盡可能地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的邏輯趣味.

探究數(shù)形結(jié)合邏輯趣味

有人說，數(shù)學(xué)的生命，一半在于數(shù)字，另一半則在于圖形. 筆者十分贊同這一點(diǎn)，它也很好地揭示出了數(shù)形結(jié)合的邏輯方式對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言的重要意義. 很多學(xué)生認(rèn)為，既然數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容可以清楚地劃分為代數(shù)與幾何，那么，在每種內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，只要專注掌握好相應(yīng)的解題方法即可，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中的一個(gè)誤區(qū). 二者兼而有之，綜合運(yùn)用，才能夠?qū)崿F(xiàn)最為理想的解題效果.

例如，在學(xué)習(xí)過函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性知識(shí)之后，筆者向?qū)W生呈現(xiàn)了這樣一道習(xí)題，來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合邏輯的實(shí)用性與趣味性：已知，函數(shù)f（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上呈單調(diào)遞增. 又有f（1）=0，請(qǐng)求出不等式fxx-<0的解集. 僅僅利用代數(shù)的邏輯考慮，并無法有效地利用到題目中所給出的奇函數(shù)與單調(diào)遞增等已知條件. 于是，筆者帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)已知條件作出f（x）的函數(shù)圖象（如圖1）. 由圖象便可以明顯地看出，f（x）的值在（-1，0）∪（1，+∞）上大于0，而在（-∞，-1）∪（0，1）上小于0. 接下來再對(duì)這一變形進(jìn)行討論，

通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生切身體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的重要作用. 一方面，數(shù)字的表達(dá)能夠讓圖形所要呈現(xiàn)的內(nèi)容更為清晰，借助圖形又能夠使得抽象的數(shù)字所包含的含義具體形象，二者相輔相成，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想表達(dá)的清晰化. 另一方面，數(shù)形結(jié)合的邏輯為很多數(shù)學(xué)問題的解答提供了新途徑與新思路，大大簡(jiǎn)化了解題過程，提高了高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率.

[?] 探究等價(jià)轉(zhuǎn)化邏輯趣味

等價(jià)轉(zhuǎn)化也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不可或缺的一種邏輯方法. 等價(jià)轉(zhuǎn)化邏輯具有兩個(gè)層面的含義. 從宏觀層面來講，等價(jià)轉(zhuǎn)化邏輯可以應(yīng)用于新知識(shí)的學(xué)習(xí)與接受過程當(dāng)中. 當(dāng)學(xué)生面對(duì)一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，可以努力尋找其與既有知識(shí)之間的聯(lián)系，從而將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的思想方法，使得自己可以更加輕松地接受新知識(shí). 從具體層面上來講，等價(jià)轉(zhuǎn)化邏輯還可以應(yīng)用于具體數(shù)學(xué)問題的解答過程當(dāng)中. 將復(fù)雜抽象的表達(dá)式等內(nèi)容等價(jià)轉(zhuǎn)化為易于分析與表示的形式進(jìn)行求解，能夠大大簡(jiǎn)化思維過程和運(yùn)算步驟.

例如，在立體幾何學(xué)習(xí)過程中，出現(xiàn)了這樣一道習(xí)題：已知在三棱錐A-MNP當(dāng)中，三條側(cè)棱AM，AN，AP呈兩兩垂直的位置關(guān)系，且AM長為5，AN長為4，AP長為3. 點(diǎn)B為棱MN的中點(diǎn)，C為MP的中點(diǎn)，那么，四棱錐A-NPCB的體積是多少？這道題的提問方式，乍看起來比較陌生，學(xué)生不知如何處理. 但是，只要發(fā)現(xiàn)三棱錐之間的等體積轉(zhuǎn)化方法，并且通過已知條件把握住S△MBC=S△MNP的數(shù)量關(guān)系，答案的得出便輕而易舉了.

等價(jià)轉(zhuǎn)化的邏輯為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維開啟了一扇大門. 在這種方法的輔助之下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，原來數(shù)學(xué)知識(shí)并沒有從前認(rèn)為的那樣復(fù)雜. 通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，學(xué)生成功地以舊知識(shí)帶動(dòng)新知識(shí)，簡(jiǎn)化了學(xué)習(xí)理解過程. 也是通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，有效優(yōu)化了解題過程，降低了出錯(cuò)概率. 這種多方向的難度降低，讓學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重新燃起了信心.

[?] 探究符號(hào)語言邏輯趣味

符號(hào)是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)代表性標(biāo)志. 隨著高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的不斷豐富，學(xué)生們所接觸到的數(shù)學(xué)符號(hào)也越來越多，除了僅僅表示一個(gè)獨(dú)立含義的數(shù)學(xué)符號(hào)以外，很多連貫性語言甚至都可以通過符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，成為數(shù)學(xué)當(dāng)中一種重要的語言表達(dá)形式. 符號(hào)語言的熟練掌握，不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的明確展現(xiàn)，更是高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的重要要求. 教師必須在課堂教學(xué)與課后作業(yè)環(huán)節(jié)中，對(duì)于學(xué)生的符號(hào)語言邏輯培養(yǎng)引起足夠重視.

例如，在函數(shù)的最值問題練習(xí)當(dāng)中有這樣一道習(xí)題：試求函數(shù)u=+的最值. 筆者觀察到，很多學(xué)生的解題過程相當(dāng)冗長，甚至還加入了很多文字描述，使得整個(gè)答題看起來既雜亂無章又不夠?qū)I(yè). 于是，筆者向?qū)W生展示了一種比較理想的解題過程：設(shè)x=，y=，則u=x+y，且x2+2y2=16（0≤x≤4，0≤y≤2），所給函數(shù)即可化為以u(píng)為參數(shù)的直線方程y=-x+u，其與橢圓x2+2y2=16在第一象限當(dāng)中具有公共點(diǎn)，則umin=2. 當(dāng)其在第一象限相切時(shí)，u取最大值. y=-x+u，

x2+2y2=16?3x2-4ux+2u2-16=0，解Δ=0，得u=±2，取u=2，所以u(píng)max=2. 整個(gè)過程以符號(hào)語言為主，卻能夠清晰表達(dá)含義.

很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，將全部注意力都放在了解題思路的開辟上，卻忽略了對(duì)于符號(hào)語言的關(guān)注. 再周密的思維方式，若進(jìn)行表達(dá)時(shí)，沒有一個(gè)準(zhǔn)確的符號(hào)語言予以保障，則不僅使得這份解答喪失了數(shù)學(xué)研究應(yīng)有的專業(yè)性，從答題規(guī)范上來講也是不合格的. 因此，對(duì)于符號(hào)語言邏輯的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)教師必須常抓不懈，每每新出現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，就要高強(qiáng)度地鍛煉學(xué)生進(jìn)行準(zhǔn)確使用，讓符號(hào)語言成為學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣. 長此以往，學(xué)生也會(huì)漸漸發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)語言的魅力.

[?] 探究分類討論邏輯趣味

分類討論是在高中數(shù)學(xué)分析探究過程當(dāng)中廣泛使用的一種邏輯思維方式. 實(shí)際上，學(xué)生在很多概念的學(xué)習(xí)和習(xí)題的解答過程中，已經(jīng)多次運(yùn)用過分類討論的思想了，只是缺少一個(gè)明確的點(diǎn)撥和系統(tǒng)的總結(jié)，使得學(xué)生沒有意識(shí)到分類討論邏輯的存在與應(yīng)用途徑. 教師需要做的就是及時(shí)點(diǎn)破分類討論邏輯的存在，并且通過系統(tǒng)總結(jié)，為學(xué)生在具體數(shù)學(xué)問題的解決當(dāng)中有意識(shí)地加入分類討論邏輯思維奠定基礎(chǔ).

例如，在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，曾出現(xiàn)過這樣一道習(xí)題：已知函數(shù)f（x）=ax2+（2a-1）x-3在-，2上能夠取得最大值1，試求出a的值. 這道題看似難度不大，很多學(xué)生卻在第一步便出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即忽略了分類討論. 是否應(yīng)當(dāng)將這個(gè)問題化為求二次函數(shù)最值來處理，首先要做的就是針對(duì)a是否為0展開討論. 只有當(dāng)我們令a=0，發(fā)現(xiàn)f（x）在已知區(qū)間上無法取得最大值1時(shí)，才能夠繼續(xù)討論二次函數(shù)的最值. 分類討論的邏輯雖然不難，卻無處不在.

經(jīng)過教師的引導(dǎo)，學(xué)生對(duì)于這種邏輯思維的理解更加深刻了. 在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠有條理地整理思路，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引入分類討論，使得自己的思考過程與解題過程更加明確，面對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的難度也便隨之降低.

[?] 探究函數(shù)與方程邏輯趣味

在大多數(shù)學(xué)生眼中，函數(shù)與方程指的是高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的一個(gè)重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容. 其實(shí)，這也同時(shí)是解決數(shù)學(xué)問題過程當(dāng)中的一個(gè)重要的邏輯思維形式. 教師首先要扭轉(zhuǎn)學(xué)生所固有的限制性認(rèn)識(shí)，開闊學(xué)生視野，使其認(rèn)識(shí)到，要站在一個(gè)更高的角度看待函數(shù)與方程，并且使之成為能夠適用于多種形式問題解決的邏輯方法. 另外，很多學(xué)生總是認(rèn)為，函數(shù)與方程的內(nèi)容抽象復(fù)雜，對(duì)其總是充滿了畏懼與回避. 所以，為了能夠擴(kuò)大函數(shù)與方程的適用范圍，教師還應(yīng)當(dāng)巧妙選取一些有特點(diǎn)、能激趣的利用函數(shù)與方程邏輯解答的數(shù)學(xué)問題，引起學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程邏輯的興趣.

例如，在一次測(cè)驗(yàn)當(dāng)中，很多學(xué)生在一道應(yīng)用題上犯了難：某商店中有一件商品，當(dāng)其進(jìn)貨價(jià)為8元，售價(jià)為10元時(shí)，每天的銷售量是100個(gè). 當(dāng)其售價(jià)變?yōu)?1元時(shí)，每天的銷售量是90個(gè). 請(qǐng)問，當(dāng)該商品的出售價(jià)為多少時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)利益最大化？這道題目看似較為開放，實(shí)際上，只要通過函數(shù)與方程的眼光來看待，它便成為一個(gè)函數(shù)求最值的問題. 我們可以從10元出發(fā)，假設(shè)每次漲價(jià)1元，將漲價(jià)x元時(shí)的銷售量表示出來，則不難得出商品利潤y關(guān)于x的函數(shù)方程y=（2+x）（100-10x）. 經(jīng)過化簡(jiǎn)，很容易便可以得出，當(dāng)x=4時(shí)，y能夠取得最大值360，也就是說，當(dāng)該商品的售價(jià)為14元時(shí)，能夠?qū)崿F(xiàn)利潤最大化.

由此可見，函數(shù)與方程所指的并不僅僅是這部分知識(shí)內(nèi)容本身，其更加重要的意義在于其在多種數(shù)學(xué)問題解答過程中的應(yīng)用. 只要深刻理解并且靈活掌握函數(shù)與方程思想，學(xué)生便會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種邏輯形式能夠適用于多種形式的問題當(dāng)中.

想要讓學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)思維邏輯的學(xué)習(xí)建立產(chǎn)生興趣，首先要使得這部分知識(shí)在學(xué)生頭腦中由混沌變得明晰. 因此，筆者在實(shí)際教學(xué)中，將看似密不可分的數(shù)學(xué)思維邏輯整體條理化，分別從數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、符號(hào)語言、分類討論和函數(shù)與方程等五個(gè)角度進(jìn)行探究，讓學(xué)生對(duì)于這些數(shù)學(xué)邏輯產(chǎn)生興趣，從而輕松高效地建立起相應(yīng)的高中數(shù)學(xué)思維邏輯體系. 這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的升華與未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路的轉(zhuǎn)變，都是意義重大的.