培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力的途徑與方法

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生良好的反思能力能有效地促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式. 本文對(duì)培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力的途徑和方法進(jìn)行了初步探索，具體從結(jié)合學(xué)科特色，強(qiáng)化學(xué)生的反思意識(shí)；抓住反思時(shí)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣；制訂反思方案，指導(dǎo)學(xué)生的反思手段這三個(gè)方面來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)成為有目標(biāo)的主動(dòng)行為，使學(xué)習(xí)具有探索性、研究性.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；反思能力；培養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中把“反思”提高到了一個(gè)新的高度：“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷……反思與建構(gòu)等思維過程. 這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷”. 標(biāo)準(zhǔn)的這一提出，要求學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中有學(xué)后反思的意識(shí)及能力. 而這恰是目前數(shù)學(xué)教學(xué)最薄弱的環(huán)節(jié)，但它確實(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的重要的環(huán)節(jié)，由于數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性，數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的特殊性，決定了高中生必須要經(jīng)過多次反復(fù)思考，深入研究，自我調(diào)整，才可能洞察數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征. 因此，探討適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ靡耘囵B(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣具有非?，F(xiàn)實(shí)的意義.

作為一線教師的我們，責(zé)無旁貸地采取一定的教學(xué)策略與措施，逐步去培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，結(jié)合筆者的實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，可以嘗試以下的途徑和方法.

[?] 結(jié)合學(xué)科特色，強(qiáng)化學(xué)生的反思意識(shí)

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)；高度的抽象性、結(jié)論的確定性和應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)；數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心. 而高中數(shù)學(xué)對(duì)象的抽象性、數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的特殊性，對(duì)思維處于發(fā)展階段的高中生而言，具有一定的挑戰(zhàn)性. 對(duì)學(xué)生而言，犯錯(cuò)不是問題，但要學(xué)會(huì)從錯(cuò)誤中反思，這本身就是一種財(cái)富，在反思中學(xué)習(xí)，并使自己的認(rèn)識(shí)不斷地完善.

1. 教師要讓學(xué)生明確“數(shù)學(xué)思維”是如何提高的

要讓學(xué)生知道解題不能只滿足于獲得正確的答案，更需要去追求對(duì)解題方法的累積，回顧本題的解法是否能改進(jìn)簡(jiǎn)化？是否用不同的知識(shí)、不同途徑得到新的解法？總結(jié)規(guī)律，探求解法的思想方法本質(zhì)，以得出一類問題的基本解法，借用此方法去解決其他問題. 通過解題后改進(jìn)解題過程、探討知識(shí)聯(lián)系、知識(shí)整合、探究規(guī)律等一系列思維活動(dòng)，讓學(xué)生的思維在解題后繼續(xù)飛翔，“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”. 這就是解題過程中更高一級(jí)的思維活動(dòng).

2. 教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到反思對(duì)解題活動(dòng)的積極意義

通過反思才可知道是由于粗心而導(dǎo)致在書寫或計(jì)算上的錯(cuò)誤，也可以幫助學(xué)生勇于想出創(chuàng)新的解法，從而優(yōu)化解題策略，也可以幫助學(xué)生理解問題的本質(zhì).

[?] 抓住反思時(shí)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣

讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思，對(duì)自己的思考、理解，進(jìn)行檢驗(yàn)并加以證實(shí)或完善，能使學(xué)生真正地深入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，能抓住思維的內(nèi)在本質(zhì). 那么，我們?cè)撊绾斡行У嘏囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思習(xí)慣呢？教師要將數(shù)學(xué)反思習(xí)慣的培養(yǎng)滲透在課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容有目的地創(chuàng)設(shè)反思情境，提供反思策略，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)反思習(xí)慣.

1. 利用概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程的反思

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要前提，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解和掌握的程度，直接影響著數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí). 而高中數(shù)學(xué)概念有些是比較抽象的，所以學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)都要經(jīng)歷由實(shí)踐，認(rèn)識(shí)，再實(shí)踐，再認(rèn)識(shí)的不斷深化的過程，這就決定了對(duì)較難理解的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不能一步到位，而是要分階段進(jìn)行，并且要做到不斷地反思. 那么，在平時(shí)的概念教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生反思呢？

首先，反思這個(gè)新概念是否有與之相似的概念，方便類比學(xué)習(xí). 例如，類比指數(shù)的運(yùn)算法則引出對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則；類比指數(shù)函數(shù)引出對(duì)數(shù)函數(shù)；類比等差數(shù)列的概念及相關(guān)性質(zhì)引出等比數(shù)列的概念及相關(guān)性質(zhì)；類比平面向量的概念及運(yùn)算法則引出空間向量的概念及運(yùn)算法則等等.

其次，反思新舊概念之間是否有聯(lián)系，善于尋找、分析其聯(lián)系與區(qū)別，從而在已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上可更加牢固地掌握新概念，掌握其本質(zhì). 例如平行直線與平行向量、平面角與空間角、方程與不等式、映射與函數(shù)、對(duì)立事件與互斥事件等等.

再次，反思在我們的現(xiàn)實(shí)生活中有沒有這樣的對(duì)象及實(shí)例可以幫助我們對(duì)新概念的理解，那么，學(xué)生對(duì)概念的理解不再是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)和語言，也不會(huì)覺得公式、定理的枯燥了. 例如，“集合的概念”、“函數(shù)的周期”、“概率統(tǒng)計(jì)中的方差”等，可以選擇讓學(xué)生舉例子；“空間直線的位置關(guān)系”、“空間直線與平面的位置關(guān)系”、“空間平面與平面的位置關(guān)系”也可以借助周圍的環(huán)境，如教室、文具等等.

最后，在數(shù)學(xué)概念理解和掌握后，可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取過程進(jìn)行反思，反思知識(shí)是通過何種途徑、采取何種方法獲得的，這樣能使學(xué)生注意總結(jié)、提煉方法，獲得經(jīng)驗(yàn)，從而為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ). 例如，等差、等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程，可幫助學(xué)生掌握數(shù)列求和的兩種重要的方法：“倒序相加法”、“錯(cuò)位相減法”；

2. 利用解題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)解題思路和規(guī)律的反思

著名數(shù)學(xué)家和教育家波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”，這句話告訴我們學(xué)好數(shù)學(xué)必須大量地做題，但在這過程中需要引導(dǎo)學(xué)生去提煉、感悟解決問題的方法、感受編者的意圖或深層含意. 另外，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青教授曾經(jīng)說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要多做習(xí)題，邊做邊思考，先知其然，然后弄清所以然. ”這里所說的“知其然”是指要知道答案是怎樣來的；“所以然”是指解題后要進(jìn)行反思，反思這道題目為什么要這樣解；還有沒有其他解法；這道題目是否有別的變化形式；這道題目的解法是否還可以解決其他問題. 這就充分說明解題后反思的重要性. 因此，教師應(yīng)重視加強(qiáng)對(duì)學(xué)生解題后反思的習(xí)慣的培養(yǎng)，真正做到“授之以漁”. 在解題教學(xué)中，筆者從以下幾個(gè)方面為學(xué)生創(chuàng)設(shè)解題后反思的平臺(tái).

（1）反思聯(lián)系

解題后，筆者引導(dǎo)學(xué)生從以下角度反思：在解題過程中聯(lián)系到哪些知識(shí)？通過反思，學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題用到了三角形內(nèi)角和、解一元二次方程的根的方法、正弦定理、余弦定理. 解題后引導(dǎo)學(xué)生反思聯(lián)系，使學(xué)生在記憶的倉庫里檢索到這些知識(shí)，把問題所蘊(yùn)涵的孤立的知識(shí)“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”. 通過不斷地拓展、聯(lián)系、加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，學(xué)生就會(huì)形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).

（2）反思規(guī)律

解題后，筆者先引導(dǎo)學(xué)生從以下角度反思：（1）此解法用的是什么數(shù)學(xué)思想方法？（2）若改變題中的條件或結(jié)論，上面方法還適不適用？通過反思，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，本題的不等式問題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，先構(gòu)造函數(shù)，然后作出符合已知條件的函數(shù)圖形，再考慮參數(shù)的取值范圍，學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題采用的是數(shù)形結(jié)合的思想方法. 高中重要的數(shù)學(xué)思想方法很多，除了數(shù)形結(jié)合外，還有分析、綜合、歸納、演繹、化歸、類比、抽象概括等. 解題后引導(dǎo)學(xué)生反思所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，持之以恒，學(xué)生自然對(duì)這些思想方法能夠體會(huì)更深，從而提高他們的數(shù)學(xué)思維.

（4）反思多解

在解題訓(xùn)練時(shí)要求學(xué)生不能僅滿足于一種解法，鼓勵(lì)他們進(jìn)一步思考其他解法. 通過討論與交流，從中鑒別各種方法的作用與最佳方法，并通過各種方法引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)解題的核心問題與共同本質(zhì). 筆者有時(shí)寧可讓學(xué)生少做些題，但要求用兩種甚至兩種以上的方法做好某些題. 通過此法，教學(xué)生反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，讓學(xué)生善于從不同角度、不同方面去思考問題，尋求變異.

就上面的例題的教學(xué)，筆者再引導(dǎo)學(xué)生從以下角度反思：此題還有沒有其他解法？通過反思，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，此題是絕對(duì)值問題，可考慮用絕對(duì)值不等式.

（5）反思變式

變式思維的認(rèn)識(shí)依據(jù)是事物間有相似性，進(jìn)行變式的訓(xùn)練，使學(xué)生參與到教學(xué)中，能使學(xué)生抓住知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，促使學(xué)生進(jìn)行思考、總結(jié)，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力.

解題教學(xué)中若能改變?cè)}的結(jié)構(gòu)或其他方面，往往可使一題變一串，有利于開闊眼界，拓展思路，提高應(yīng)變能力，防止定式思維的負(fù)面影響，并要思考與該題同類的問題，進(jìn)行對(duì)比，分析其解法，找出解答這一類題的技巧和方法. 解題后要把解題中所聯(lián)系到的基礎(chǔ)知識(shí)與各知識(shí)有機(jī)地“串聯(lián)”成知識(shí)線，“并聯(lián)”成知識(shí)網(wǎng)，有利于提高分析和歸納的思維能力.

例如：（選修2-3.P58.例4）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，求這名射手在10次射擊中，恰好8次擊中目標(biāo)的概率.

分析：為了使學(xué)生深入理解，使學(xué)生處理這類獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題不進(jìn)入程式化硬套公式，筆者進(jìn)行以下變式教學(xué)，引起學(xué)生反思，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度有更細(xì)更好的理解.

變一：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，求此人射擊6次中3次命中且恰有2次連續(xù)命中目標(biāo)的概率.

變二：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，求此人射擊6次中3次命中且不連續(xù)命中目標(biāo)的概率.

分析：這是附帶條件的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，三題比較，反思本質(zhì)，總結(jié)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式P（n=k）中，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生哪k次呢？它有幾種可能的情況，由以上變式，使學(xué)生能通過反思，理解在解決這類概率問題時(shí)，要注意k次有無限制條件，切忌硬套公式.

通過以上一系列的變式題組，可以通過反思，進(jìn)行分析歸納匯總，有哪些同類型的問題？常見的有哪些形式？應(yīng)分別采用哪些不同的處理方法？注意的關(guān)鍵點(diǎn)又是什么？

（6）反思錯(cuò)誤

“真正思考的人，從自己錯(cuò)誤中吸取的知識(shí)要比從自己的成就中吸取的知識(shí)更多”. （約·杜威）“錯(cuò)誤”是一種發(fā)生在學(xué)生身邊、學(xué)生自己“創(chuàng)造”出來的寶貴的教學(xué)資源，它是學(xué)生思維盲區(qū)或錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的暴露，教師要善于利用錯(cuò)誤，甚至開發(fā)錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生反思，找出原因，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、細(xì)膩性、敏捷性，鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)密性. 筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是鼓勵(lì)學(xué)生提出不同的甚至懷疑的意見.

例如：〈三角作業(yè)〉△ABC中，已知sinA=，cosB=，求cosC.

發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生如此解：由sinA=可得cosA=±；由cosB=可得sinB=，進(jìn)而可求cosC=或cosC=. 在作業(yè)講評(píng)中，先把上述解法拿出來展示，顯然大家都認(rèn)為錯(cuò)了，但不知錯(cuò)在何處？

那好，檢驗(yàn)不如計(jì)算，用計(jì)算器分別驗(yàn)算兩組A，B，C的大小，幾分鐘后，不少學(xué)生開始恍然，但還沒大悟，既然有增根，非得用計(jì)算器，能用估算法來判斷嗎？

繼續(xù)討論，有個(gè)別同學(xué)開始面露微笑，一位學(xué)生提出觀點(diǎn)：

由sinA=<可知：A>或A<，同理可知B>.

由A+B<π知：A>不可能！即cosA=-取不到. 故只有一解cosC=.

通過作業(yè)的分析、討論、講評(píng)，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)結(jié)論的可靠程度進(jìn)行懷疑，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)觀點(diǎn)審視，在獨(dú)立分析的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性來確定三角形內(nèi)角的取值范圍，嚴(yán)密論證了三角函數(shù)值取值的可能性.

總之，堅(jiān)持“解題后反思”的教學(xué)，不僅能深化學(xué)生對(duì)知識(shí)、技能的理解，而且能訓(xùn)練其思維能力，促進(jìn)其知識(shí)與能力的相互轉(zhuǎn)化，從而提高學(xué)習(xí)效率.

制訂反思方案，指導(dǎo)學(xué)生的反思手段

數(shù)學(xué)反思在一定程度上是自我“揭短”的一個(gè)過程，是誘發(fā)痛苦的行為，缺乏毅力的人很難順利進(jìn)行反思，因此我們應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生將反思的習(xí)慣貫徹在實(shí)際行動(dòng)中去. 筆者在平時(shí)的教學(xué)過程中，主要采用了下面幾種方法：

1. 記數(shù)學(xué)日記

學(xué)生寫數(shù)學(xué)日記的過程是內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法、建構(gòu)自己理解的過程，“寫”是形式，是載體；“思”是本質(zhì)，是目的. “寫”與“思”是相輔相成、不可或缺的. 寫數(shù)學(xué)日記可以幫助學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)回顧、總結(jié)，善于評(píng)價(jià)的好習(xí)慣，同時(shí)也是師生情感交流的好平臺(tái). 數(shù)學(xué)反思日記的內(nèi)容可以從以下幾方面做嘗試：（1）通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)有了哪些新的收獲？可以是知識(shí)方面的，也可以是方法方面的；（2）可以談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)的困惑或感悟；（3）可以寫一寫自己在生活中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題、知識(shí)或有趣的數(shù)學(xué)題目等等.

2. 階段自我反思

一章的內(nèi)容結(jié)束之后，也是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)反思的時(shí)機(jī)，可以讓學(xué)生根據(jù)自己平時(shí)的學(xué)習(xí)表現(xiàn)對(duì)這一章節(jié)做一個(gè)自我評(píng)估. 讓學(xué)生通過對(duì)下面表格的填寫達(dá)到回顧個(gè)人的學(xué)習(xí)表現(xiàn)、找出自己的優(yōu)點(diǎn)和存在的問題的目的.

3. 好題、錯(cuò)題本的建立

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，有些題目較難，學(xué)生可能不會(huì)一下子明白或者難保下回碰到就會(huì)做，但又覺得這種題目值得去理解. 另外，有一些學(xué)有余力的學(xué)生會(huì)經(jīng)常問老師一些有點(diǎn)難度的題目，這時(shí)總會(huì)引來一些同學(xué)來旁聽，問他們聽懂了沒，他們常常會(huì)不好意思地?fù)u搖頭. 針對(duì)以上兩種情況，筆者想到：何不讓學(xué)生把這些題目自己收集起來，然后同學(xué)之間相互交流，比比誰收集得多，看看誰的題目能難倒大家. 而在這個(gè)過程中，不管是對(duì)欣賞者還是被欣賞者，都是一種激勵(lì)、一種快樂，通過這樣的方法大大激發(fā)學(xué)生的積極性.

教學(xué)實(shí)踐中，不少數(shù)學(xué)教師會(huì)面對(duì)這樣的困惑：有的易錯(cuò)點(diǎn)平時(shí)反復(fù)強(qiáng)調(diào)一到考試仍然跳進(jìn)同一陷阱，我們通過分析主要的原因是學(xué)生沒有把真正的錯(cuò)誤原因弄清楚. 根據(jù)這種現(xiàn)象讓學(xué)生建立一個(gè)錯(cuò)題本是最好的辦法，可以讓學(xué)生把出錯(cuò)的題目記在上面，并分析錯(cuò)誤的原因（知識(shí)點(diǎn)遺忘、概念模糊、計(jì)算錯(cuò)誤、審題不清、思維定式、題目太難等等），然后進(jìn)行糾正、拿出補(bǔ)救措施及點(diǎn)明注意點(diǎn). 而在我們學(xué)校會(huì)進(jìn)行階段性的錯(cuò)題競(jìng)賽，試卷的內(nèi)容就是平時(shí)學(xué)生容易出錯(cuò)的或者覺得有點(diǎn)難度的題目，然后評(píng)出一、二、三等獎(jiǎng)，從而督促學(xué)生將錯(cuò)題本進(jìn)行到底. 當(dāng)然也可以合為一本，正面寫好題，反面記錄錯(cuò)題.

實(shí)踐表明，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力可以使學(xué)生從“學(xué)會(huì)”向著“會(huì)學(xué)”的方向發(fā)展；學(xué)生能夠在主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)中領(lǐng)悟、感受、積累和發(fā)展創(chuàng)造性思維，學(xué)習(xí)效率和能力也可以進(jìn)一步提高. 另外，更加值得欣喜的是它可以輻射到其他學(xué)科的學(xué)習(xí).