“活動(dòng)單導(dǎo)學(xué)”引領(lǐng)下的課堂

摘 要：通過(guò)活動(dòng)加強(qiáng)生生間，師生間的互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生參與活動(dòng)，投身學(xué)習(xí)的熱情. 活動(dòng)教學(xué)、活動(dòng)課堂更能彰顯學(xué)生的主體地位，挖掘?qū)W生的潛能，為教師的展示提供更多意外的生成和驚喜.

關(guān)鍵詞：活動(dòng)教學(xué)；逆矩陣；課例評(píng)析

本節(jié)課內(nèi)容是筆者在江蘇省第25期校長(zhǎng)培訓(xùn)班上，開(kāi)設(shè)的一節(jié)公開(kāi)課. 本節(jié)內(nèi)容是蘇教版選修4-2《矩陣與變換》中第四小節(jié)的內(nèi)容，教學(xué)的目標(biāo)是理解逆矩陣的意義；理解二階矩陣存在逆矩陣的條件. 理解逆矩陣的唯一性和 （AB）-1=B-1A-1等簡(jiǎn)單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義，會(huì)從幾何變換的角度求出AB的逆矩陣. 本節(jié)課筆者先從幾何直觀、變換的角度讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究逆矩陣的必要性，體會(huì)實(shí)際生活、其他學(xué)科以及數(shù)學(xué)內(nèi)部無(wú)處不在的”反向”、“逆”的現(xiàn)象和思維；然后通過(guò)第二大節(jié)學(xué)習(xí)的幾種常見(jiàn)變換對(duì)應(yīng)矩陣是否存在逆矩陣，加以分析哪幾種有逆矩陣，另外幾種為什么沒(méi)有；最后通過(guò)學(xué)生自主探究推導(dǎo)出一般求逆矩陣的方法和公式，并且讓學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)逆矩陣存在的條件是什么. 而對(duì)于逆矩陣存在的唯一性，筆者更多是讓學(xué)生舉例驗(yàn)證說(shuō)明，并沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)、翔實(shí)的證明. 基于上述思考和分析，筆者結(jié)合本地區(qū)教改優(yōu)勢(shì)，借助如皋活動(dòng)導(dǎo)學(xué)的先進(jìn)理念，設(shè)計(jì)如下的活動(dòng)單：

[?] 活動(dòng)單設(shè)計(jì)

課題：逆矩陣的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1. 通過(guò)具體的圖形變換，理解逆矩陣的意義并掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件；通過(guò)具體的投影變換，說(shuō)明它所對(duì)應(yīng)矩陣的逆矩陣不存在.

2. 了解證明逆矩陣的惟一性

3. 會(huì)求二階可逆矩陣的逆矩陣

學(xué)習(xí)過(guò)程：

活動(dòng)一：?jiǎn)栴}情境

設(shè)計(jì)意圖：在第二節(jié)學(xué)習(xí)幾種常見(jiàn)變換的基礎(chǔ)上，通過(guò)圖形的變換，讓學(xué)生寫(xiě)出由左圖變換到右圖對(duì)應(yīng)的矩陣，再讓學(xué)生寫(xiě)出由右圖變換到左圖對(duì)應(yīng)的矩陣，讓學(xué)生初步體會(huì)“反”、“逆”的思維. 另外讓學(xué)生舉出實(shí)際生活中、其他學(xué)科中、數(shù)學(xué)內(nèi)部的類似于這種“逆”的思維. 這樣的設(shè)計(jì)可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生意識(shí)到研究逆矩陣的必要性和可能性. 同時(shí)可以讓學(xué)生聯(lián)系對(duì)比之前學(xué)習(xí)和研究“逆”問(wèn)題的方法，可以加深對(duì)已學(xué)知識(shí)的理解. 從方法論角度，可以培養(yǎng)學(xué)生研究問(wèn)題的方法，從“逆”的視角重新認(rèn)識(shí)問(wèn)題，深化對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，提高思維的深刻性.

活動(dòng)二：建構(gòu)數(shù)學(xué)

問(wèn)題：對(duì)于下列給出的變換矩陣M，是否存在變換矩陣N，使得連續(xù)進(jìn)行兩次變換（先TM后TN）的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同？

（1）以x軸為反射軸的反射變換；

（2）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)做旋轉(zhuǎn)變換；

（3）橫坐標(biāo)不變，沿y軸方向?qū)⒖v坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的倍做伸壓變換；

（4）沿y軸方向，向x軸做投影變換.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)四道問(wèn)題，一是讓學(xué)生回顧第二大節(jié)學(xué)習(xí)幾種常見(jiàn)變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，二是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)逆矩陣的存在性，在前面學(xué)習(xí)的幾種矩陣中哪些有逆矩陣，哪些沒(méi)有逆矩陣，只讓學(xué)生從幾何變換的角度加以說(shuō)明，不讓學(xué)生加以嚴(yán)格的論證；然后讓學(xué)生思考如何給出逆矩陣的符號(hào)；最后提出一個(gè)思考問(wèn)題，為什么有些矩陣有逆矩陣，有些沒(méi)有逆矩陣，原因到底是什么？為下面進(jìn)一步研究做鋪墊.

思考：用幾何的觀點(diǎn)判斷下列矩陣是否存在逆矩陣，若存在，則把它求出來(lái)；若不存在，說(shuō)明理由.

活動(dòng)三：數(shù)學(xué)應(yīng)用

探究二階可逆矩陣的逆矩陣

一般結(jié)論：

設(shè)計(jì)意圖：通常情況是會(huì)給出幾道例題，讓學(xué)生嘗試求解，但對(duì)活動(dòng)教學(xué)，要敢于讓學(xué)生提出問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上，自己解決問(wèn)題，然后自己總結(jié)，自己獲得知識(shí). 所以這里筆者并沒(méi)有給出具體題目，而是讓兩位學(xué)生在黑板上寫(xiě)出兩個(gè)二階矩陣，其他學(xué)生選擇做其中一道. 通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和激情，發(fā)揮學(xué)生的主體地位和主動(dòng)性，同時(shí)也為教師的發(fā)揮留下廣闊的空間.

[?] 教學(xué)實(shí)錄

1. 活動(dòng)一的教學(xué)中，學(xué)生舉出許多實(shí)際生活、其他學(xué)科、本學(xué)科的例子，盡管有些例子不是十分精準(zhǔn)，但是都能很好地體現(xiàn)“逆”的思維. 印象最深刻的是有位學(xué)生說(shuō)：化學(xué)中的可逆反應(yīng)，很精確地體現(xiàn)逆的存在性.

2. 活動(dòng)二教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)四道題，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)哪些矩陣有逆矩陣，哪些沒(méi)有逆矩陣. 對(duì)于有逆矩陣的矩陣，學(xué)生通過(guò)建構(gòu)的過(guò)程發(fā)現(xiàn)了逆矩陣與原矩陣之間的關(guān)系，兩個(gè)矩陣的相乘為單位矩陣，即恒等變換. 筆者當(dāng)時(shí)提出的一個(gè)問(wèn)題以及學(xué)生的回答如下.

教師：存在逆矩陣的矩陣A，A的逆矩陣如何表示呢？

學(xué)生1：表示成.

教師：為什么？

學(xué)生1：因?yàn)閤y=1，y=.

教師：非常好.

學(xué)生已經(jīng)把矩陣的問(wèn)題類比到實(shí)數(shù)問(wèn)題，不僅領(lǐng)會(huì)了“逆”的思維，而且運(yùn)用了類比研究的方法和表示方法. 當(dāng)時(shí)在課堂上是意外的驚喜.

3. 活動(dòng)三教學(xué)是本節(jié)的重點(diǎn)，通常情況：教師給出題目——學(xué)生嘗試解決——教師點(diǎn)評(píng)提升，總結(jié)——學(xué)生整理，領(lǐng)悟. 筆者打破常規(guī)做法，結(jié)合活動(dòng)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，做了如下嘗試：學(xué)生自己出題——學(xué)生自主解題——學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)——學(xué)生交流做題、發(fā)現(xiàn)體驗(yàn)——學(xué)生自己提煉、總結(jié). 這里筆者將重點(diǎn)闡述上課前的課堂預(yù)設(shè)，以及如何巧妙地處理課堂的意外生成.

學(xué)生自己出題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一些情況，第一種情形：兩道題都存在逆矩陣，學(xué)生可以按照定義求出逆矩陣，但這里就隱藏著一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解決，什么矩陣有逆矩陣，什么矩陣沒(méi)有逆矩陣. 第二種情形：兩道題都不存在逆矩陣，就會(huì)弱化重點(diǎn)內(nèi)容，如何求逆矩陣，當(dāng)然學(xué)生可以在筆者的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)不存在逆矩陣的根源，進(jìn)而轉(zhuǎn)到求逆矩陣的一般方法. 第三種情形，兩道題中一道存在逆矩陣，一道不存在逆矩陣，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)矩陣存在逆矩陣的條件. 筆者課堂上出現(xiàn)的是第一種情形，只不過(guò)學(xué)生出的數(shù)據(jù)比較大，比較難算. 筆者過(guò)渡到對(duì)于給定存在逆矩陣的矩陣，如何求出逆矩陣呢？讓學(xué)生通過(guò)求解的一般過(guò)程發(fā)現(xiàn)矩陣存在逆矩陣的條件，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上，給出一道題（不存在逆矩陣的）讓學(xué)生深化認(rèn)識(shí).

在學(xué)生提煉這一部分，筆者注重讓學(xué)生觀察逆矩陣公式的特征，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)與原矩陣差異和特征比較，概括出分母、分子的特征，使學(xué)生進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)逆矩陣的求法，本質(zhì)就是待定系數(shù)法，解二元一次方程組.

[?] 教學(xué)反思

從本節(jié)課，學(xué)生的課堂反應(yīng)，學(xué)習(xí)的效果以及與專家的反饋交流中，引發(fā)筆者從活動(dòng)單的設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)、活動(dòng)教學(xué)三個(gè)方面進(jìn)行思考.

1. 活動(dòng)單的設(shè)計(jì)的思考

活動(dòng)單通常由三大部分構(gòu)成：學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)過(guò)程、課堂反饋. 其中學(xué)習(xí)過(guò)程中通常由三至四個(gè)活動(dòng)組成. 與傳統(tǒng)的導(dǎo)學(xué)案最大的區(qū)別是在活動(dòng)單的設(shè)計(jì)過(guò)程中，處處體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的第一要素，比如導(dǎo)學(xué)案中的教學(xué)目標(biāo)變成活動(dòng)單中的學(xué)習(xí)目標(biāo)，從學(xué)生的角度出發(fā)，本節(jié)課要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，傳統(tǒng)的做法是學(xué)生先做例題，然后教師點(diǎn)評(píng)；而活動(dòng)單在設(shè)計(jì)時(shí)，就給學(xué)生、教師留下廣闊的空間，是通過(guò)學(xué)生自主的思考，交流合作，探究問(wèn)題的，自己獲取知識(shí). 在本活動(dòng)單中，體現(xiàn)也比較明顯. 激發(fā)筆者進(jìn)一步思考的是，如何把活動(dòng)單命制更加精致，如何更能切合學(xué)生認(rèn)知需求，如何更能貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，如何設(shè)計(jì)活動(dòng)讓學(xué)生更易操作和交流等等. 筆者以為，教師在命制活動(dòng)單時(shí)，應(yīng)該站在系統(tǒng)的高度、全局的高度，來(lái)審視知識(shí)，審視知識(shí)在整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)的地位和作用，來(lái)審視知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全過(guò)程. 本節(jié)知識(shí)之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，對(duì)本節(jié)課知識(shí)起到什么作用. 本節(jié)主要使學(xué)生認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)到該知識(shí)哪些方面，需要達(dá)到什么要求. 只有這樣，在命制活動(dòng)單時(shí)，才能有的放矢. 而對(duì)于具體的活動(dòng)設(shè)計(jì)，采用什么方式呈現(xiàn)，更多依賴于知識(shí)本身生長(zhǎng)的規(guī)律. 比如，筆者在設(shè)計(jì)活動(dòng)單第二部分第三個(gè)活動(dòng)時(shí)，思考這樣幾個(gè)問(wèn)題，本活動(dòng)要達(dá)到的目標(biāo)是讓學(xué)生會(huì)求矩陣的逆矩陣，同時(shí)知道如何判定哪些矩陣沒(méi)有逆矩陣. 圍繞這兩個(gè)目標(biāo)，以及充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，讓學(xué)生在活動(dòng)中成長(zhǎng)，自我關(guān)注. 初稿設(shè)計(jì)時(shí)，如果直接給出兩個(gè)矩陣，讓學(xué)生求逆矩陣，這里就不能挖掘問(wèn)題，與傳統(tǒng)導(dǎo)學(xué)案授課沒(méi)有區(qū)別，不能讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的歷程. 進(jìn)而筆者把該部分留白，讓學(xué)生自己出題目，自己解決，自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后小組交流，得到共識(shí). 這樣能充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣. 更重要的是，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，提出問(wèn)題的能力.

2. 課堂教學(xué)的思考

本節(jié)課學(xué)生整個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程是順暢、清晰的，筆者在注重知識(shí)生成的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生參與活動(dòng)，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，同時(shí)也體會(huì)學(xué)生意外生成給筆者帶來(lái)的驚喜. 但在兩個(gè)細(xì)節(jié)處理上，還值得反思. 在學(xué)生給出矩陣逆矩陣符號(hào)時(shí)，沒(méi)有進(jìn)一步追問(wèn)，其他學(xué)生有沒(méi)有另外的思考，以及沒(méi)有讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)、領(lǐng)悟在數(shù)學(xué)內(nèi)部其他模塊知識(shí)同樣體現(xiàn)著這種逆的思維. 還有一個(gè)細(xì)節(jié)：假如一個(gè)矩陣存在逆矩陣，那么它的逆矩陣是否唯一. 課本上給出了嚴(yán)格的證明，但筆者在這里處理時(shí)，只是通過(guò)讓學(xué)生舉例，來(lái)體會(huì)逆矩陣的唯一性，筆者思考，這里還是應(yīng)該讓學(xué)生體驗(yàn)這種證明的思維方式，或者讓小組合作來(lái)體驗(yàn)，否則就削弱了這種證明思想的價(jià)值. 因?yàn)檫@種方法只在這里有體現(xiàn)，同時(shí)該方法是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、群論中一種重要的證明方法，有點(diǎn)小小的遺憾！