淺談初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想

張文偉

【摘 要】分類討論思想是現(xiàn)代各學(xué)科教學(xué)中一種重要的解決問(wèn)題的方法和思路，也是現(xiàn)代科學(xué)研究處理復(fù)雜問(wèn)題的有效途徑之一。因此，提高分類討論思想的引導(dǎo)，讓學(xué)生盡早掌握分類討論思想的運(yùn)用技巧和優(yōu)勢(shì)，對(duì)于培養(yǎng)高素質(zhì)人才有著重要意義。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分類討論；思想方法

分類討論思想是現(xiàn)代各學(xué)科教學(xué)中一種重要的解決問(wèn)題的方法和思路，也是現(xiàn)代科學(xué)研究和應(yīng)用中解決各類復(fù)雜問(wèn)題的有效途徑之一。初中數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，由初中開(kāi)始，正式引入代數(shù)的名稱，并且將數(shù)學(xué)中的數(shù)值種類進(jìn)一步的擴(kuò)大，使得數(shù)學(xué)包含的內(nèi)容大大豐富起來(lái)，是轉(zhuǎn)入近代數(shù)學(xué)的起始階段，也是進(jìn)行分類討論思想教學(xué)的最好時(shí)期。

一、分類討論思想概述

分類討論思想是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，當(dāng)問(wèn)題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解決，這種思想在簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展思維方面起著重要作用。

二、常見(jiàn)分類思想運(yùn)用領(lǐng)域

（一）從數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理以及公式的限制條件進(jìn)行討論

在初中的數(shù)學(xué)課程中，有許多數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的，比如實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是否大于本身，所以應(yīng)用此類概念進(jìn)行解題時(shí)，就需要進(jìn)行分類討論。同時(shí)，一些定理、公式等數(shù)學(xué)內(nèi)容也有分情況予以表述的，或者有特定德適用范圍，在運(yùn)用此類定理、公式解題時(shí)，一定要注意分類進(jìn)行討論，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)定理、公式的適用范圍。

例：化簡(jiǎn)︳X-Y︳+X-Y

解：分類，（1）當(dāng)X>Y時(shí)，原式=X-Y+X-Y=2X-2Y，（2）當(dāng)X=Y時(shí)，原式=0+0=0，（3）當(dāng)X

（二）由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如偶次方根非負(fù)、不等式兩邊同乘以實(shí)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響等等；

例：求解不等式ax+4﹥2x+a+1

解析通過(guò)把不等式移項(xiàng)變號(hào)變形為（a-2）x﹥a-3，然后根據(jù)不等式性質(zhì)可分為：a-2﹥0，a-2=0和a-2﹤0三種情況分別求解不等式。

（三）由幾何圖形中點(diǎn)、線、面的相對(duì)位置不確定引起的分類討論

例：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm、6cm，求三角形的周長(zhǎng)。

解析：本題等腰三角形的腰和底不確定，所以要分4cm是腰、6cm是底和6cm是腰、4cm是底進(jìn)行討論求解。

解：（1）當(dāng)4cm是腰、6cm是底時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為4+4+6=14（cm），（2）當(dāng)6cm是底、4cm是腰時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為4+6+6=16（cm）

例：已知⊙O1和的⊙O2半分別是方程x2-4x+3=0的兩根，且圓心距O1O2=t+2，若這兩個(gè)圓相切，則t=_________。

解析：因兩圓相切分內(nèi)切和外切兩種情況，所以本題需分類討論。

解：解方程x2-4x+3=0得方程的兩根分別為1、3，故⊙O1和的⊙O2半分別是1和3。

（1）當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，O1O2=3-1=2，即t+2=2，t=0；

（2）當(dāng)兩圓外切時(shí)，O1O2=3+1=4，即t+2=4，t=2。

綜上所述，t=2或4。

（四）由函數(shù)的性質(zhì)引發(fā)的分類

例：一次函數(shù)y=kx-k與反比例函數(shù)y=k/x在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖像大致是（ ）

A.B.

C.D.

解析：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像分布是由系數(shù)的符號(hào)決定的，所以本題應(yīng)分k>0和k>0兩種情況進(jìn)行討論。

解：（1）當(dāng)k>0時(shí)，一次函數(shù)y=kx-k的圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，從左向右上升，反比例函數(shù)y=k/x的圖像位于第一、三象限；（2）當(dāng)k>0時(shí)，一次函數(shù)y=kx-k的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，從左向右下降，反比例函數(shù)y=k/x的圖像位于第二、四象限。綜上所述，應(yīng)該選擇C答案。

三、培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想的路徑

分類討論思想貫穿中學(xué)整個(gè)數(shù)學(xué)課程的始末，充分發(fā)揮分類討論思想的優(yōu)勢(shì)，可以將復(fù)雜的問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，不僅有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還有助于培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維能力。

（一）概念、定理、公式講解全面透徹

要做到全面、合理的分類討論，擁有扎實(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備是必不可少的，因此，教師一定要對(duì)存在變化的數(shù)學(xué)概念、定理、公式進(jìn)行全面的講解，把各種情況透徹的傳達(dá)給學(xué)生。

（二）頭腦風(fēng)暴活動(dòng)

數(shù)學(xué)中分類討論也是一種高強(qiáng)度的腦力活動(dòng)，需要學(xué)生調(diào)動(dòng)所有的可能情況，并根據(jù)實(shí)際的條件一一印證。而現(xiàn)代腦力開(kāi)發(fā)訓(xùn)練的頭腦風(fēng)暴活動(dòng)正是培養(yǎng)學(xué)生短時(shí)間調(diào)動(dòng)所學(xué)所有知識(shí)的最有效方法，因此，通過(guò)教師制定一些存在變化的數(shù)學(xué)題目，開(kāi)展一場(chǎng)師生間的頭腦風(fēng)暴活動(dòng)，對(duì)于提高分類討論思想的應(yīng)用有著很大的促進(jìn)作用。

總之，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練時(shí)，應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生用新方法、新思路，拓寬思維領(lǐng)域，以克服思維的呆板性，促進(jìn)靈活性，培養(yǎng)學(xué)生多角度、全方位思維的習(xí)慣，加快思維速度，以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。通過(guò)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對(duì)學(xué)生的未來(lái)必將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。