含時間約束的配送中心選址和能力規(guī)劃的魯棒優(yōu)化

韋憶立，高詠玲

（中央財經(jīng)大學(xué) 商學(xué)院，北京 100081）

0 引言

配送中心是企業(yè)物流網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點，其選址問題是物流系統(tǒng)中具有戰(zhàn)略意義的投資決策問題。配送中心需要耗費較長的時間建設(shè)，期間決策環(huán)境的快速變化或是歷史數(shù)據(jù)的缺乏等因素往往導(dǎo)致參數(shù)發(fā)生擾動。這種擾動將使傳統(tǒng)的確定環(huán)境下的最優(yōu)解變成次優(yōu)解或不可行。針對這一情況，學(xué)者們?nèi)鏚ouvelis等（1992）和Mulvey等（1995）提出了戰(zhàn)略決策層次的魯棒優(yōu)化模型，它因能保證最優(yōu)解對于噪聲數(shù)據(jù)或是不完全的數(shù)據(jù)具有一定的免疫能力而備受關(guān)注。

魯棒優(yōu)化模型主要包括絕對魯棒優(yōu)化、相對魯棒優(yōu)化和偏差魯棒優(yōu)化等，采用的決策準(zhǔn)則有最小化最大值、設(shè)定偏差范圍等。遺憾值模型是相對魯棒優(yōu)化的一種，它通過限定各情景下目標(biāo)函數(shù)值與最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的偏差范圍來保證最優(yōu)解的穩(wěn)健性，在設(shè)施選址領(lǐng)域應(yīng)用最廣。在現(xiàn)實中，企業(yè)配送網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化不僅需要考慮新建配送中心的情況，還需權(quán)衡對現(xiàn)有配送中心的能力調(diào)整。在這一領(lǐng)域，Elson（1972）建立了確定性需求環(huán)境下的混合整數(shù)規(guī)劃模型，用于分析新建、擴建和關(guān)閉設(shè)施的優(yōu)化問題，Aghezzaf（2005）建立了隨機期望規(guī)劃模型，研究了需求不確定環(huán)境下倉庫選址和能力規(guī)劃的問題，然而隨機規(guī)劃難以保證在所有可能的參數(shù)擾動下尤其是最壞情況下優(yōu)化結(jié)果帶來的效益都是可接受的。

近年來，我國土地價格的變化、原材料與勞動力成本的增加使得配送中心投資成本的不確定性增強。與此同時，市場競爭的日趨激烈和消費者需求的日益?zhèn)€性化，不僅增加了精確預(yù)測配送中心客戶需求的難度，而且對于配送商品的時效性提出了更高的要求。例如電子商務(wù)、冷鏈物流、食品和藥品等企業(yè)在進行選址決策時，不僅需要考慮投資成本和需求不確定性的影響，還要考慮配送時間的要求。在此背景下，本文對不確定環(huán)境下配送中心的位置、數(shù)量和規(guī)模決策問題進行研究，旨在降低物流網(wǎng)絡(luò)的運行成本、有效地響應(yīng)客戶需求。

1 問題描述和模型的構(gòu)建

本文采用情景分析法來描述不確定因素，分別用已知概率的情景集合S和S′來描述顧客需求和投資成本的不確定性，情景發(fā)生的概率分別用 ps和Ps′表示。

模型采用的假設(shè)如下：

（1）配送中心的運營會帶來固定的運營成本，其取值與配送中心的規(guī)模無關(guān)。配送中心的可變運營成本與其處理的產(chǎn)品數(shù)量呈正比。

（2）兩點間的單位運輸成本和運輸時間在各個情景下保持不變。

（3）配送中心規(guī)模代表著其處理能力。無論是擴建現(xiàn)有配送中心，還是新建配送中心，都設(shè)定了最小的擴建規(guī)模，一旦決定擴建，至少要達到該規(guī)模，以保證規(guī)模經(jīng)濟效應(yīng)。可以在最小擴建規(guī)模的基礎(chǔ)上進行額外擴建，額外擴建成本與擴建規(guī)模成正比例關(guān)系，但總建設(shè)規(guī)模有上限。

（4）僅考慮產(chǎn)品的在途運輸時間，不考慮產(chǎn)品在配送中心的滯留和處理時間。

（5）供求平衡或供大于求，所有的客戶需求都能在一定成本下滿足。

1.1 參數(shù)與變量定義

1.1.1 標(biāo)號與集合

i工廠的標(biāo)號，i∈M.

j配送中心的標(biāo)號，j∈N ；N=N′∪N″.

N′是原有配送中心的集合，N″是待建配送中心的集合。

k需求地的標(biāo)號，k∈Q.

s′投資情景的標(biāo)號，s′∈S′.

s需求情景的標(biāo)號，s∈S.

1.1.2 主要參數(shù)

CSij產(chǎn)品從工廠i到配送中心 j的單位運費，i∈M ，j∈N.

CDjk產(chǎn)品從配送中心 j到需求地k的單位運費，j∈N ，k∈Q.

TSij產(chǎn)品從工廠i到配送中心 j的運輸時間，i∈M ，j∈N.

TDjk產(chǎn)品從配送中心 j到需求地k的運輸時間，j∈N ，k∈Q.

Tk需求地k對配送時間的限制，k∈Q.

CFj配送中心 j的固定運營成本，j∈N.

CVj配送中心 j的單位可變運營成本，j∈N.

R0相對遺憾限定系數(shù)（以下簡稱：遺憾系數(shù)），是對實際總成本超過最低總成本的百分比的限制。

1.1.3 決策變量

（1）選址與能力規(guī)劃決策變量

1.2 約束條件

1.2.1 能力約束和選址約束

流入或流出配送中心的產(chǎn)品總量必須小于或等于其擴建或關(guān)閉后的最終處理能力。

1.2.2 流量約束

1.2.3 配送時間約束

在構(gòu)造時間約束時，可要求任一“生產(chǎn)地—配送中心—需求地”組合的總運輸時間均滿足配送時間約束。這種處理方法在構(gòu)建新的配送網(wǎng)絡(luò)時能夠較好地滿足時效性的要求，但在本文考慮對現(xiàn)有配送中心的調(diào)整的條件下會使求解的總成本急劇增加，而且在決策之前難以保證存在滿足時間要求的可行解。文獻[5]研究單源、p個中轉(zhuǎn)點的配送系統(tǒng)，用一個0-1變量考慮了從中轉(zhuǎn)點到需求地的時間約束，本文在此基礎(chǔ)上引入兩個0-1變量，分別表示是否選擇某一“工廠—配送中心”或“配送中心—需求地”供應(yīng)組合。這兩個組合的總配送時間應(yīng)滿足需求地的配送時間要求，關(guān)系如下：

1.3 目標(biāo)函數(shù)

1.4 魯棒優(yōu)化模型

1.5 算法設(shè)計

本文所建立的模型求解步驟如下：

（4）求解魯棒優(yōu)化模型Mr。與單個投資情景下的模型Ms相比，模型Mr增加了相對遺憾值約束，其中遺憾系數(shù)R0應(yīng)大于R0LB，否則模型Mr無可行解。

本文所建立的魯棒優(yōu)化模型可運用優(yōu)化軟件Lingo求解。

2 算例分析

本文的數(shù)值計算實驗將圍繞以下三個方面展開：（1）分析遺憾系數(shù)對魯棒優(yōu)化模型解的影響；（2）分析時間約束對投資決策和成本的影響；（3）測試優(yōu)化軟件Lingo求解模型的效率。

已知某企業(yè)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，目前設(shè)有3個大型工廠，經(jīng)過配送中心中轉(zhuǎn)，向5個需求地供應(yīng)產(chǎn)品。該企業(yè)已有3個配送中心，還將在7個備選地選擇若干地建設(shè)新的配送中心。配送中心的投資成本分為下降、正常和上漲三種情況。顧客需求分為蕭條、正常、繁榮三種情況。需求數(shù)據(jù)和投資成本數(shù)據(jù)如表1和表2所示。

表1 各需求情景下的需求 （單位：萬元）

配送中心的處理能力和運營成本數(shù)據(jù)如表3所示，單位運費和運輸時間數(shù)據(jù)如表4和表5所示。

2.1 遺憾系數(shù)對魯棒解的影響

最優(yōu)總成本R*和最大相對遺憾值ξ*隨R0的變化情況如圖1所示。R0較小時，ξ*較小而R*較大；隨著R0的增大，R*迅速降低，但ξ*也迅速上升，這表明中長期決策后最壞情況發(fā)生帶來的損失較大。R0增大到一定程度后，相對遺憾值約束成為冗余，最優(yōu)總成本保持不變，其值等于一般隨機優(yōu)化中的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。由此可見，遺憾系數(shù)取較小值時，模型的魯棒性較好，不確定情況下實際總成本對最優(yōu)總成本的最大偏離程度不會太大，但是為了保持這一性能需要支付更高的成本。

表2 各投資情景下的投資成本

表3 配送中心的處理能力和運營成本 （單位：萬件）

表4 單位運費 （單位：元/件）

表5 運輸時間 （單位：小時）

綜上所述，遺憾系數(shù)R0控制了魯棒模型的魯棒性，較小的R0可保持較高的魯棒性，但需要付出較高的成本，決策時要根據(jù)需要進行權(quán)衡，選擇合適的遺憾系數(shù)，使模型的魯棒性能和總成本都在可接受的范圍內(nèi)。

圖1 最優(yōu)總成本和最大相對遺憾值隨遺憾系數(shù)的變化情況

2.2 時間約束對投資決策和成本的影響

為檢驗時間約束對于求解結(jié)果的影響，分析在無時間約束、寬松的時間約束、嚴(yán)格的時間約束三種情況下投資決策和最優(yōu)成本的變化。各個需求點對配送時間的要求如表6所示。

表6 配送時間要求 （單位：小時）

表7顯示了三種類型的時間約束對應(yīng)的選址和能力規(guī)劃決策以及各部分成本的情況。在無時間約束和寬松的時間約束下選址和能力規(guī)劃的決策結(jié)果相同，投資成本相同。但加入時間約束后，舍棄了不能滿足配送時間要求的路線，取而代之的是成本更高的路線，導(dǎo)致運輸成本有所提高，從而總成本提高。

當(dāng)采用嚴(yán)格的時間約束時，與無時間約束和寬松的時間約束的求解結(jié)果相比，選址和能力規(guī)劃的決策結(jié)果發(fā)生了改變，投資成本、配送中心運營成本以及運輸成本都有所增加，導(dǎo)致總成本進一步提高。

表7 時間約束對投資決策和成本的影響 （單位：萬元）

上述三種不同程度的時間約束及其優(yōu)化結(jié)果反映了配送成本、投資成本、配送中心運營成本與配送時間之間的效益悖反。企業(yè)可利用此類情景分析來量化滿足配送時間所需的投資，為解決配送時間和成本之間的權(quán)衡問題提供決策依據(jù)。

2.3 運算效率分析

運用優(yōu)化軟件Lingo 11求解本文所建立的模型并對運算效率進行分析。以3個投資情景和3個需求情景為基礎(chǔ)，比較有時間約束和無時間約束情況下Lingo 11的程序的求解時間。求解時間由單個投資情景下最優(yōu)值求解時間、遺憾系數(shù)下限的求解時間和魯棒優(yōu)化模型的求解時間組成。

求解時間隨著配送中心數(shù)量的增加而遞增，且耗時增速越來越快，如圖2所示。無時間約束情況下總求解時間比有時間約束情況下的總求解時間少，且耗時增加的速度也比有時間約束情況下慢。這是因為時間約束采用大量0-1整數(shù)變量來選擇特定的“工廠—配送中心”或“配送中心—需求地”線路組合，隨著網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)量增大，0-1變量數(shù)量呈指數(shù)級增長，從而增加運用Lingo求解的難度。

圖2 Lingo優(yōu)化程序的求解時間

經(jīng)過測試，在無時間約束的情況下，Lingo能很好地滿足運算需要，大規(guī)模算例也能在較短的時間內(nèi)求得全局最優(yōu)解。在有時間約束的情況下，在5個工廠、40個配送中心（其中待選配送中心30個）、10個需求地的情況下，總求解時間不超過3分鐘。這已經(jīng)能夠較好地滿足企業(yè)的決策需要。

3 結(jié)束語

經(jīng)濟環(huán)境的日趨復(fù)雜使得物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計所面臨的源自投資成本和市場需求的不確定性大幅增加。選址戰(zhàn)略的實施能否取得預(yù)期的效果在很大程度上取決于能否有效地應(yīng)對這些不確定性。在這一背景下，本文建立了配送中心的選址和能力規(guī)劃的魯棒優(yōu)化模型，運用相對遺憾值約束來保證在這些不確定因素的擾動下優(yōu)化結(jié)果仍在決策者接受的范圍之內(nèi)。該模型不僅考慮了新建配送中心和對現(xiàn)有配送中心的能力調(diào)整，還反映了各需求點對配送時間的要求，為實現(xiàn)降低成本兼顧客戶服務(wù)水平提供了輔助決策支持。算例分析揭示了保證求解結(jié)果的魯棒性的代價，探討了配送時間約束的影響。雖然本文驗證了運用Lingo求解所建立的魯棒優(yōu)化模型的可行性和適用性，但在如何求解更大規(guī)模的設(shè)施選址和能力規(guī)劃的魯棒優(yōu)化問題以及將選址決策與庫存決策相結(jié)合等方面仍有待于進一步研究。

[1]Kouvelis P,Kurawarwala A A,Gutiérrez G J.Algorithms for Robust Single and Multiple Period Layout Planning for Manufacturing Systems[J].European Journal of Operational Research,1992,63(2).

[2]Mulvey J M,Vanderbei R J,Zenios S A,Robust Optimization of Large-Scale Systems[J].Operations Research,1995,43(2).

[3]田俊峰，楊梅，岳勁峰.具有遺憾值約束的魯棒供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計模型研究[J].管理工程學(xué)報，2012，26(1).

[4]李延暉，馬士華，劉黎明.基于時間約束的配送系統(tǒng)模型及一種啟發(fā)式算法[J].系統(tǒng)工程，2003，21（7）.

[5]李延暉，馬士華.基于時間約束的單源/p個中轉(zhuǎn)點配送系統(tǒng)的MINLP模型[J].中國管理科學(xué)，2004，12（6）.