多元離散-連續(xù)比例選擇模型的構(gòu)建

王 芯，呂曉玲

（中國人民大學(xué)a.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)研究中心；b.統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100872）

0 引言

傳統(tǒng)的離散選擇模型是指在很多個(gè)備選方案中選擇其中的一種[1]，而離散-連續(xù)選擇模型是傳統(tǒng)的擴(kuò)展，不僅僅考慮選擇幾個(gè)備選方案，還要考慮每個(gè)選擇的取值。離散-連續(xù)選擇模型可以應(yīng)用在商品消費(fèi)，時(shí)間分配等問題中?！半x散”指從選擇集里面選擇哪些元素（商品、活動等），“連續(xù)”是指選擇的元素取值是多少。Kim等2002年提出的KAR模型以及Bhat 2005年提出的MDCEV模型在消費(fèi)者行為和時(shí)間分配的研究中有著廣泛的應(yīng)用[2,3]。這兩個(gè)模型在形式上比較接近，都是基于Wales和Woodland 1983年提出的Kuhn-Tucker模型[4]，只是對誤差項(xiàng)的假設(shè)有所不同。KAR和MDCEV模型的形式容易理解，模型滿足經(jīng)濟(jì)學(xué)中對效用和邊際效用的定義，并且參數(shù)有比較直接的意義，但是這兩個(gè)模型都是以絕對時(shí)間或者數(shù)量為研究對象，如果應(yīng)用在比例數(shù)據(jù)中效果會比較差。而傳統(tǒng)的研究比例數(shù)據(jù)的Amemyia-Tobin模型[5]在參數(shù)估計(jì)過程中需要用到高維的積分，估計(jì)起來比較困難。本文基于KAR和MDCEV模型的建立模式，提出適合比例數(shù)據(jù)的效用函數(shù)，建立新的適合比例數(shù)據(jù)的模型。模型形式比較簡單，具有經(jīng)濟(jì)學(xué)上的意義，并且估計(jì)起來比較簡單。

1 模型回顧

KAR模型是在消費(fèi)者行為研究背景下提出的，假設(shè)有M個(gè)商品，則購買商品的總效用是：

其中xj對商品的購買數(shù)量，并且滿足預(yù)算限制p′x=E,p 是商品的價(jià)格,E 是總預(yù)算。 ψj，αj，γj是參數(shù)。γj使得模型可以存在角解，也就是通過無差異曲線和預(yù)算線得到的最優(yōu)解中某些商品的取值可以為0。ψj＞0稱為基準(zhǔn)效用參數(shù)，該值越大，表明消費(fèi)者越傾向于購買這個(gè)商品。0＜αj＜1稱作飽和度參數(shù)，當(dāng)αj比較小的時(shí)候，該商品的邊際效用就會減小的比較快，那么消費(fèi)者就會傾向于較少的購買該商品。相反，如果αj接近于1，那么邊際效用就會減小的比較慢，消費(fèi)這就會傾向于較多的購買該商品。

在KAR模型中，為了保證邊際效用為正，在邊際效用中引入了對數(shù)正態(tài)分布作為誤差項(xiàng)，如下所示：

為了考慮消費(fèi)者的異質(zhì)性，可在基準(zhǔn)效用參數(shù)中引入?yún)f(xié)變量x，即假定ψj(x)=exp(β′x)。

MDCEV是在時(shí)間分配的背景下提出來的，這時(shí)條件限制中的權(quán)重都是相等的，即p1=…=pM。該模型的效用函數(shù)與KAR模型類似，只是假定誤差項(xiàng)的分布是標(biāo)準(zhǔn)極值分布，則似然函數(shù)為：

其中xj表示的是第 j個(gè)活動的屬性。

2 比例模型

2.1 效用函數(shù)形式

在消費(fèi)者行為研究中，比例數(shù)據(jù)Pk(k=1,…K)是每個(gè)商品消費(fèi)金額占總金額的比例；在時(shí)間分配問題中，是指每個(gè)活動的時(shí)間占總時(shí)間的比例，這時(shí)可以簡單的考慮總效用是各個(gè)比例的函數(shù)。簡單的使用KAR模型或者M(jìn)DCEV模型去分析這個(gè)問題是存在問題的，所以在這里提出了新的比例模型。本文在時(shí)間分配的背景下去討論模型的相關(guān)問題，模型很容易可以拓展到商品消費(fèi)的情況。新的效用函數(shù)如下：

第k活動的邊際效用是ψk(1-pk)αk，ψk表示的基準(zhǔn)邊際效用。當(dāng) pk等于0時(shí)，邊際效用是ψk，是邊際效用最大的時(shí)候。對于兩個(gè)活動i和 j，如果活動i所對應(yīng)的參數(shù)ψi大于活動 j所對應(yīng)的參數(shù)ψj，那么活動i的角點(diǎn)解會比活動 j的少。參數(shù)αk的作用是隨著第k個(gè)活動的增加減少邊際效用，使得邊際效用滿足邊際遞減的規(guī)律。如果活動i所對應(yīng)的參數(shù)αi大于活動 j所對應(yīng)的參數(shù)αj，那么活動i的平均時(shí)間比例會小于活動 j的平均時(shí)間比例。

2.2 帶誤差項(xiàng)的效用函數(shù)

在式（7）的基礎(chǔ)上可以在效用模型上加上隨機(jī)誤差項(xiàng)，則總效用函數(shù)為：

其中 hj=V1-Vj，vj=εj-ε1，j=2，…，，M,φ(·)是多元正態(tài)分布的密度函數(shù)，Ω是協(xié)方差矩陣。J是雅克比行列式。

對于誤差項(xiàng)分布的假設(shè)，可以首先嘗試兩種誤差項(xiàng)分布的假設(shè)，然后選擇似然函數(shù)值比較大的做為參數(shù)估計(jì)的結(jié)果。

在實(shí)際數(shù)據(jù)分析中，該模型有一個(gè)局限，就是只能分析至少選擇了兩個(gè)活動的數(shù)據(jù)。

2.3 異質(zhì)性

在參數(shù)中加入社會人口學(xué)變量，將參數(shù)再參數(shù)化，進(jìn)而分析不同變量對時(shí)間分配的影響?；鶞?zhǔn)邊際效用參數(shù)和飽和參數(shù)的再參數(shù)化如下所示：

其中 x 是個(gè)體的社會人口學(xué)變量，β0k，βk，η0k，ηk是對活動k的參數(shù)。在實(shí)際的估計(jì)中，會有參數(shù)可識別的問題（Train,2009），所以需要在參數(shù)估計(jì)時(shí)做出假定。本文在不考慮異質(zhì)性時(shí)假設(shè)ψ1=1，在考慮異質(zhì)性時(shí)假設(shè)β01=β′k=0。

3 實(shí)際數(shù)據(jù)分析

實(shí)際數(shù)據(jù)是在北京和香港地區(qū)進(jìn)行的關(guān)于筆記本購買情況的調(diào)查數(shù)據(jù)。通過電話調(diào)查的方式對北京和香港的居民進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查的對象是曾經(jīng)購買過筆記本的人群。主要了解被調(diào)查者在購買筆記本的過程中，信息搜索的時(shí)間分配情況，調(diào)查的信息搜索渠道包括：網(wǎng)絡(luò)、實(shí)體店、廣告和親友。考慮的協(xié)變量包括性別、年齡、教育程度、每天平均上網(wǎng)時(shí)間、是否為第一次購買筆記本這些變量、居住地。由于模型的局限，此處只考慮至少選擇了兩個(gè)途徑的那部分受訪者，有效樣本量為233，用MAD[6]方法剔除異常值，樣本量為214，其中北京為109個(gè)，香港為105個(gè)。四個(gè)途徑的基本描述分析如表1所示。

表1 北京和香港地區(qū)消費(fèi)者購買筆記本信息搜索各渠道時(shí)間分配數(shù)據(jù)的描述分析

從表1可以看出實(shí)體店、網(wǎng)絡(luò)和親友被選擇的次數(shù)較多。絕對時(shí)間和比例時(shí)間呈現(xiàn)出不同的特點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)的絕對時(shí)間是最大的，而實(shí)體店的時(shí)間比例是最大的。親友的絕對時(shí)間離散程度比較大，但是時(shí)間比例的離散程度不是很大。

本文對比例數(shù)據(jù)和絕對時(shí)間數(shù)據(jù)同時(shí)進(jìn)行了分析。分別嘗試了誤差項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)極值分布的形式，此處僅給出擬合效果較好的標(biāo)準(zhǔn)極值分布的結(jié)果。分別將基準(zhǔn)邊際效用參數(shù)和飽和參數(shù)加入?yún)f(xié)變量，使用向后選擇變量的方法，剔除不顯著的變量，具體參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2所示。

從表2可以看出，比例數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果和絕對時(shí)間很相似，這是因?yàn)閮蓚€(gè)模型中對基準(zhǔn)邊際效用都是反應(yīng)每個(gè)途徑被選擇的次數(shù)大小的。在協(xié)變量相同的條件下，實(shí)體店（ψ2）被選擇的次數(shù)會比網(wǎng)絡(luò)的多，而廣告（ψ3）被選擇的次數(shù)比較小。年齡比較大的人會更加傾向于不選擇網(wǎng)絡(luò)。教育程度比較高的人會相對比較少的選擇親友。平均上網(wǎng)時(shí)間比較長的人會較少的選擇實(shí)體店和親友（ψ4），較多的選擇網(wǎng)絡(luò)。第一次購買的人會比不是第一次購買的人更傾向于選擇親友獲取信息。而居住地在香港的人會比居住地在北京人較少的使用實(shí)體店這個(gè)渠道進(jìn)行信息搜索。從飽和參數(shù)的估計(jì)結(jié)果來看，網(wǎng)絡(luò)（α1）和實(shí)體店（α2）的平均時(shí)間比例比廣告（α3）和親友（α4）大。

表2 假定基準(zhǔn)效用參數(shù)具有異質(zhì)性的模型估計(jì)結(jié)果

在飽和參數(shù)中加入?yún)f(xié)變量，基準(zhǔn)邊際效用參數(shù)中不加入?yún)f(xié)變量，結(jié)果如表3所示?？梢钥闯瞿挲g和是否為第一次購買會對比例數(shù)據(jù)的飽和參數(shù)有影響。在選擇途徑數(shù)大于1個(gè)的人群中，年齡在36歲及以上的人使用網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間比例會比36歲以下的人少，而使用實(shí)體店的時(shí)間比例則比其他年齡段的人群大。對于廣告來說，年齡越大的人，使用的時(shí)間比例會越大。而咨詢親友的時(shí)間比例在各個(gè)年齡段沒有顯著的差別。除此之外，第一次購買的人會分配相對來說更多的時(shí)間比例咨詢親友。而對絕對數(shù)據(jù)的飽和參數(shù)有顯著影響的變量包括年齡和居住地，這和比例模型中的結(jié)果有所不同。年齡在36歲以上的人花費(fèi)在網(wǎng)絡(luò)上的絕對時(shí)間比36歲以下的人要少，而年齡越大的人會傾向于花費(fèi)較多的時(shí)間在廣告上面，這與比例模型中的估計(jì)結(jié)果是一致的。但是在比例模型中36歲以上的人在獲取信息的過程中，實(shí)體店的時(shí)間比例會比其他年齡段的人大，而在絕對時(shí)間里面沒有體現(xiàn)這一特點(diǎn)。除此之外，是否第一次購買對時(shí)間比例的分配有影響，但是對絕對時(shí)間的分配沒有影響，也就是說無論是否為第一次購買，如果咨詢親友的意見，他們花費(fèi)的絕對時(shí)間是類似的，但是第一次購買的人咨詢親友的時(shí)間占全部時(shí)間的比例會更大一些。還有居住地對時(shí)間比例沒有影響，但是對絕對時(shí)間有所影響，香港居民會傾向于花費(fèi)較少的時(shí)間通過實(shí)體店進(jìn)行信息搜索。

表3 假定飽和度參數(shù)具有異質(zhì)性的模型估計(jì)結(jié)果

4 結(jié)論

本文提出了適合比例數(shù)據(jù)的離散-連續(xù)選擇模型。模型的構(gòu)建過程參考了KAR模型和MDCEV模型的效用函數(shù)形式，新的效用函數(shù)是仍然是非線性、可加的形式，可以保證邊際效用為正。在所有活動的比例和為1的限制條件下，利用K-T條件得到似然函數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。本文同時(shí)使用比例模型以及MDCEV模型分析了北京和香港兩的消費(fèi)者購買筆記本時(shí)在各渠道信息搜索的時(shí)間分配數(shù)據(jù)，從兩個(gè)不同的角度看出人群的不同特點(diǎn)。

該比例模型有一個(gè)局限就是只能應(yīng)用于至少選擇了兩個(gè)活動或者商品的數(shù)據(jù)中。在今后的研究中，會基于現(xiàn)有的比例模型的思想，構(gòu)建可以包含只進(jìn)行一個(gè)活動這種數(shù)據(jù)的效用函數(shù)形式。或者考慮混合模型，用新的效用函數(shù)表示未包含進(jìn)去的這部分?jǐn)?shù)據(jù)，進(jìn)而可以分析全部人的行為特點(diǎn)。

[1]Train K E.Discrete Choice Methods with Simulation(2ndEdition).[M].New York：Cambridge University Press,2009.

[2]Kim J,Allenby G M,Rossi P E.Modeling Consumer Demand for Variety[J].Marketing Science,2002,21(3).

[3]Bhat C R.A Multiple Discrete-continuous Extreme Value Model：Formulation and Application to Discretionary Time-use Decisions[J].Transportation Research Part B,2005,39(8).

[4]Wales T J,Woodland A D.Estimation of Consumer Demand Systems with Binding Non-negativity Constraints[J].Journal of Econometrics,1983,21(3).

[5]Yen S T,Lin B H,Smallwood D M.Quasi-and Simulated-Likelihood Approaches to Censored Demand Systems：Food Consumption by Food Stamp Recipients in the United States[J].American Journal of Agricultural Economics,2003,85(2).

[6]Hampel F R.The Breakdown Points of the Mean Combined with Some Rejection Rules[J].Technometrics,1985,27(2).