關(guān)于高中數(shù)學(xué)立體幾何問題的解析方法研究

【摘 要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不可避免的接觸到立體幾何的學(xué)習(xí)，立體幾何作為高中階段重要的一門課程知識，不僅僅和三角運算有著緊密的聯(lián)系，同時也是高考的重點難點之一。對于如何做好高中數(shù)學(xué)立體幾何問題的解析方法教學(xué)始終是高中數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域研究的熱點之一。本文主要從函數(shù)思想對高中數(shù)學(xué)立體幾何問題的解析方法作了主要的研究。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);立體幾何;問題解析方法;研究

對于高中數(shù)學(xué)立體幾何而言，如何對立體幾何問題有效的解析始終是學(xué)生和教師關(guān)注的問題。立體幾何問題作為一種抽象化的問題，其核心主要是距離、垂直、平行以及夾角之間的關(guān)系，并依據(jù)于相關(guān)的定理和概念，對各種幾何圖形的不同分割加以使用，進(jìn)而做好立體幾何問題的解析。

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)思想對立體幾何問題的解析

函數(shù)思想對立體幾何問題進(jìn)行解析的過程中，更加注重函數(shù)關(guān)系的構(gòu)造，實現(xiàn)化難為易的目的，并借助于函數(shù)的性質(zhì)和證明不等式等，做好立體幾何問題的解答。如高中數(shù)學(xué)中這一例題而言：如圖1所示，PA和圓O所在的平面垂直，同時圓O的直徑是AB，C是圓周上的一點，若∠BAC=α，同時PA=AB=2r，對異面直線PB和AC之間的距離進(jìn)行求解。

圖1

在求解的過程中，首先就要對直線AC和PB之間距離進(jìn)行分析，盡可能的將直線PB上任何一點到直線AC之間距離的最小值求出，并對變量進(jìn)行設(shè)定對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行建立，進(jìn)而將目標(biāo)函數(shù)的最小值求出。首先就要在PB上將任意一點M取出，并保證MD和AC垂直于D，同時MH和AB垂直于H。假設(shè)MH=x，同時MH和平面ABC垂直，同時AC和HD垂直。

MD2=x2+[（2r-x）sinα]2

=（sin2α+1）x2-4rsin2αx+4r2sin2α

=（sin2α+1）[x-2rsin2α/1+sin2α]2+4r2sin2α/1+sin2α

MD值最小的時候，只有x=2rsin2α/1+sin2α，兩異面直線的距離也即是MD的最小值。該題型在解答的過程中，主要是將兩條異面直線的距離向異面直線上兩點之間的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而對其最小值進(jìn)行求解。這種解析方法主要是對函數(shù)的性質(zhì)加以利用，進(jìn)而對立體幾何做的一種解答。

二、高中數(shù)學(xué)空間幾何思想解決立體幾何中垂直和平行問題

高中數(shù)學(xué)立體幾何問題解答的過程中，更要對立體幾何的相關(guān)知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的分析，并對線和面之間的知識以及面與面平行的相關(guān)知識進(jìn)行全面的分析，盡可能將其向向量之間的平行和向量共面之間的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而實現(xiàn)一種化難為易的解答。

假設(shè)某一平面π的法向量是 ，同時直線L的方向向量為 ，而兩條直線Lm和Ln的方向向量為 m和 n，其平面π1和平面π2的法向量為 1和 2，在對上述問題進(jìn)行分析時，可以借助于向量之間的關(guān)系進(jìn)行表示：

Lm∥Ln？圳 m∥ n？圳 n=k m，k∈R ?（線線平行）

L∥π？圳 ⊥ ？圳 · =0 ?（線面平行）

π1∥π2？圳 1∥ 2？圳m2=k 1，k∈R ?（面面平行）

對于空間幾何圖形的垂直關(guān)系而言，不僅僅有線與線之間的垂直，同時也存在線與面的垂直和面與面的垂直。這種向量之間的轉(zhuǎn)化，主要如下所示：

線線垂直主要表現(xiàn)為Lm⊥Ln？圳 m⊥ n？圳 m· n=0

線面垂直主要表現(xiàn)為L⊥π？圳 ∥ ？圳 =k ，k∈R，（同時 和π內(nèi)的兩個相交直線的方向向量相互垂直）

面面垂直主要表現(xiàn)為π1⊥π2？圳 1⊥ 2？圳 1· 2=0

三、高中數(shù)學(xué)空間立體幾何問題距離和夾角的利用解析

在高中數(shù)學(xué)空間立體幾何問題求解的過程中，就要借助于距離和夾角的一些條件，進(jìn)而運用向量的運算，做好高中數(shù)學(xué)空間立體幾何問題的求解。

點到平面的距離：點P為平面外一點，點A為平面內(nèi)的任一點，平面的法向量為 ，過點P做平面π的垂線PO，記∠OPA=θ，則點P到平面的距離

d= = cosθ= ?=

假設(shè)兩條直線Lm和Ln的方向向量 m和 n，設(shè)θ為兩條直線之間的夾角，則cosθ=cos< m， n>= 進(jìn)行確定。

假設(shè)直線L和平面上π上的投影夾角用θ表示，平面π的法向量是 ，同時直線l的方向向量為 ，則sinθ=cos< ， >= 。

同時設(shè)兩平面的夾角為θ，而平面π1和平面π2的法向量為 1和 2，一旦0≤（ 1， 2）≤ ，兩個平面之間的夾角為< 1， 2>，同時當(dāng)（ 1， 2）> ，兩個平面的夾角為π-< 1， 2>，因此也即是cosθ=cos< 1， 2>= 。

總而言之高中數(shù)學(xué)空間立體幾何問題距離和夾角的利用解析的過程中，主要是借助于平面外一點到平面的距離的合理計算，并對異面直線間的距離進(jìn)行計算，進(jìn)而獲得的一種新的求解。在對高中數(shù)學(xué)立體幾何中動態(tài)問題進(jìn)行解析的過程中，主要是借助于函數(shù)的思想進(jìn)行解決，一旦遇到立體幾何角度問題時，就要本著動態(tài)的眼光，進(jìn)而對空間幾何思想加以借助向量，進(jìn)而使得立體幾何中相對復(fù)雜的問題逐漸的簡單化。

四、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)立體幾何問題作為高中教學(xué)中的重點和難點，在實際的解析中，更要借助于向量和函數(shù)之間的關(guān)系，并對幾何圖形中幾種常見的關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)的分析，對合適的空間直角坐標(biāo)系加以建立，對當(dāng)前我們所學(xué)的立體幾何圖形中的一些向量關(guān)系，進(jìn)而在立體幾何中將線與線和線與面之間的關(guān)系找出，最后就要正確合理的運用向量之間的關(guān)系，將相應(yīng)的立體幾何問題進(jìn)行全面的解析。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉軍.無幾何不數(shù)學(xué)——談高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)[J].課程教育研究，2014，（19）：151-151，152

[2]劉先祥.談中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)[J].南北橋，2014，（5）：162-162

【作者簡介】

趙偉婕（1971，10）浙江省寧?？h，浙江省寧?？h正學(xué)中學(xué)，一級教師，任教高中數(shù)學(xué)（人教版）

（作者單位：浙江省寧海縣正學(xué)中學(xué)）