函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法

鐘志波

【摘 要】函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)最重要的分析性質(zhì)之一，它與函數(shù)的連續(xù)性既有區(qū)別又有聯(lián)系，本文從教材出發(fā)，在已有的研究成果上結(jié)合例子，對(duì)不同區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法加以總結(jié)并作一定的推廣。本文對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的判別提供一個(gè)系統(tǒng)、完整的總結(jié)，具有一定的參考價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】函數(shù);連續(xù);一致連續(xù);有界;收斂

1.引言

1.1函數(shù)的一致連續(xù)的定義及其否定敘述

定義1.1設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對(duì)任何x′，x″∈I只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

1.2函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性和一致連續(xù)性的區(qū)別與聯(lián)系

連續(xù)是逐點(diǎn)考察的性質(zhì)，一致連續(xù)是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)。也就是說(shuō)，從極限的角度考察連續(xù)，發(fā)現(xiàn)整個(gè)函數(shù)可以用同樣的方式來(lái)趨近，稱為“一致連續(xù)”。下面給出函數(shù)連續(xù)性的定義：

定義1.2設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)任給的ε>0，存在δ>0，使得對(duì)任何x，x0∈I且|x-x0|<δ時(shí)，有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù).

比較函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性和一致連續(xù)性定義可知：前者的δ不僅與ε有關(guān)，而且還與點(diǎn)x0有關(guān)，即對(duì)于不同的x0，一般來(lái)說(shuō)δ是不同的，這表明只要函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)的話，則函數(shù)在區(qū)間上連續(xù);后者的δ僅與ε有關(guān)，與x無(wú)關(guān)，即對(duì)不同的x，δ是相同的，這表明函數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)性，不僅要求函數(shù)在這區(qū)間的每一點(diǎn)連續(xù)，而且要求函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)是“一致”的。

在區(qū)間I一致連續(xù)的函數(shù)在這區(qū)間一定連續(xù)，事實(shí)上，由一致連續(xù)性的定義將x1固定，令x2變化，即知函數(shù)f（x）在x1連續(xù)，又x1是I的任意一點(diǎn)，從而函數(shù)f（x）在I連續(xù)。但在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)在這區(qū)間上不一定一致連續(xù)，如f（x）= 在區(qū)間（0，1）連續(xù)但不一致連續(xù)。

總之，函數(shù)連續(xù)性反映了函數(shù)局部的性質(zhì)，而函數(shù)的一致連續(xù)性則反映函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的整體性質(zhì)，二者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。

1.3相關(guān)的定理：

定理1（一致連續(xù)性定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上一致連續(xù)。

定理2函數(shù)f（x）在（a，b）上一致連續(xù)的充分必要條件是f（x）在（a，b）上連續(xù)且 f（x）與 f（x）都存在。

定理3函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)且 f（x）和 f（x）都存在，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

定理4函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，g（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)， |f（x）-g（x）|=0， |f（x）-g（x）|=0，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

2.不同類型區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法

在許多教材中，函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性和一致連續(xù)性關(guān)系的敘述主要是一致連續(xù)性定理，即有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定一致連續(xù).但是當(dāng)我們考慮的區(qū)間不是有界閉區(qū)間，而是開(kāi)區(qū)間或者是無(wú)界區(qū)間時(shí)，區(qū)間連續(xù)性就不一定能轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間的一致連續(xù)性，這種轉(zhuǎn)變需要一定的條件。這里主要探討這種轉(zhuǎn)變條件，從而更加深刻地理解在不同類型的區(qū)間上連續(xù)性和一致連續(xù)性的關(guān)系，同時(shí)也按不同類型區(qū)間總結(jié)判斷函數(shù)一致連續(xù)性的一些方法。

2.1閉區(qū)間的情形

一般判別方法：在區(qū)間內(nèi)取兩點(diǎn)，將其函數(shù)值作差，并取其絕對(duì)值，即可根據(jù)以下原則判斷，若存在任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得滿足|x1-x2|<δ的x1，x2，均可得出|f（x1）-f（x2）|<ε，即f（x）在該閉區(qū)間一致連續(xù)，反之則不一致連續(xù)。

例1 證明f（x）= （-1≤x≤1）的一致連續(xù)性

證明：|f（x1）-f（x2）|=| - |= |（x1-x2）|

由于| |< = <1，

故對(duì)于任給的ε>0，

取δ=ε，則

對(duì)滿足|x1-x2|<δ的x1，x2（x1，x2屬于[-1，1]值，均有|f（x1）-

f（x2）|<ε

因而f（x）在區(qū)間[-1，1]上一致連續(xù)。

推論1設(shè)f（x）是[a，b]上的增函數(shù)，其值域?yàn)閇f（a），f（b）]，則f（x）在[a，b]上一致連續(xù)

2.2有限非閉區(qū)間的情形

一般判別方法：把函數(shù)與其一階導(dǎo)數(shù)作差并取其絕對(duì)值，然后即可根據(jù)以下原則判斷，若存在任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得當(dāng)n> 時(shí)，總有|xn-x′n|<δ，且|f（x）-f（x′n）|>ε，即f（x）在該區(qū)間上一致連續(xù)，反之則不一致連續(xù)。

例2 證明f（x）=excos 在（0，1）上非一致連續(xù).

證明：取ε=1令xn=

x′n= ?（n為正整數(shù)）

則xn及x′n均屬于（0，1），對(duì)任意給定的δ>0，

當(dāng)n> 時(shí)，

總有|xn-x′n|= < <δ

但是|f（x）-f（x′n）|=e cos（nπ+ ）-e cosnπ=e >1=ε0

因此，f（x）=excos 在（0，1）上非一致連續(xù)。

推論2函數(shù)f（x）在（a，b）上連續(xù)有界，則f（x）在（a，b）上一致連續(xù)。

推論3函數(shù)f（x）定義在有限區(qū)間（a，b）上，若對(duì)（a，b）上的任意收斂數(shù)列{xn}， f（xn）都存在，則f（x）在（a，b）上一致連續(xù)。

2.3無(wú)窮區(qū)間的情形

一般判別方法：取一簡(jiǎn)單函數(shù)g（x）使其滿足在區(qū)間上一致連續(xù)，然后則只需要根據(jù)定義，證明g（x）在區(qū)間上一致連續(xù)即可。

例3證明f（x）=xln（e+ ）在[1，+∞）上一致連續(xù)。

證明：取g（x）=x+ ，則g（x）在[1，+∞）上一致連續(xù)，

因?yàn)?|f（x）-g（x）|=0，

由定理4可知 f（x）=xln（e+ ）在[1，+∞）上一致連續(xù)。

這證法雖在尋求g（x）上有一定的困難，但大大避免了用定義證明的繁瑣。

推論4函數(shù)f（x）在（a，+∞）上一致連續(xù)的充分條件是f（x）在（a，+∞）上連續(xù)， f（x）和 f（x）都存在。

推論5函數(shù)f（x）在（-∞，b）上一致連續(xù)的充分條件是f（x）在（-∞，b）上連續(xù)，且 f（x）和 f（x）都存在。

注1：上述無(wú)限區(qū)間1中的定理及推論中 f（x）的存在是非必要的，如f（x）=ax+b（a≠0）在（-∞，+∞）上 f（x）不存在，但f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

2.4組合區(qū)間的情形

一般判別方法：由于f（x）在兩個(gè)分區(qū)間上都一致連續(xù)，即在兩個(gè)區(qū)間上分別都滿足一致連續(xù)的定義，則不妨求出δ（ε）的最小值，可知當(dāng)x1，x2∈（-∞，+∞），|x1-x2|<δ（ε）時(shí)，x1與x2必同時(shí)屬于兩個(gè)分區(qū)間中的其中一個(gè)，即f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

例4已知f（x）=arctgx在區(qū)間（-∞，1][0，+∞）上一致連續(xù)，判斷其是否在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

解：已知f（x）=arctgx在區(qū)間（-∞，1][0，+∞）上均一致連續(xù)

于是，對(duì)于所給的ε>0，存在δ1（ε）>0，

當(dāng)x1，x2∈（-∞，1]，|x1-x2|<δ1（ε）時(shí)，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

又存在δ2（ε）>0，當(dāng)x1，x2∈（0，+∞），|x1-x2|<δ2（ε）時(shí)，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

今取δ（ε）=min{1，δ1（ε），δ2（ε）}則當(dāng)x1，x2∈（-∞，+∞），|x1-x2|<δ（ε）時(shí)，x1與x2必或同時(shí)屬于（-∞，1]，或同時(shí)屬于[0，+∞），故恒有|f（x1）-f（x2）|<ε成立，

即f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

2.5任意區(qū)間的情形

一般判別方法：把函數(shù)一階導(dǎo)和二階導(dǎo)作差并取其絕對(duì)值，若對(duì)任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對(duì)任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

例5 證明：無(wú)界函數(shù)f（x）=x+sinx在全軸-∞<x<+∞是一致連續(xù)的。

證明：因?yàn)閨f（x′）-f（x″）|=|（x′-x″）+（sinx′-sinx″）|≤|x′-x″|+|sinx′-sinx″|≤2|x′-x″|

對(duì)于任給的ε>0，

取δ= >0，則當(dāng)x′，x″∈（-∞，+∞），且|x′-x″|<δ時(shí)，

恒有|f（x′）-f（x″）|<ε

故f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

推論6函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間I上可導(dǎo)，|f′（x）|≥|g′（x）|>0，若f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)，則g（x）在I上一致連續(xù);若g（x）在區(qū)間I上非一致連續(xù)，則f（x）在I上也非一致連續(xù)。

注3：推論6的f′（x）有界對(duì)于不同的區(qū)間是非必要的，如函數(shù)f（x）=xx在區(qū)間（0，1）上一致連續(xù)，但f′（x）=exlnx（lnx+1）→-∞（x→0+）.若區(qū)間為無(wú)限區(qū)間，則f′（x）有界則是必要的.例如f（x）=sinx2在（-∞，+∞）上不一致連續(xù).因?yàn)閒′（x）=2xcosx2在（-∞，+∞）上無(wú)界，故f（x）=sinx2在（-∞，+∞）上不一致連續(xù)。

3.結(jié)束語(yǔ)

本文章從課本出發(fā)，在前人的成果上，按不同的區(qū)間對(duì)判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法進(jìn)行分類，并舉出相應(yīng)的例子以及作了一定的推廣，對(duì)于判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法給出了系統(tǒng)、完整的總結(jié)，具有一定的參考價(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]陳惠汝，何春羚.再探函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的一致連續(xù)性[J].春學(xué)院學(xué)報(bào).2006，（2）：45-46

（作者單位：廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學(xué)院）