分?jǐn)?shù)階非線性方程精確解的新方法

閆立梅，劉艷芹

德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 德州 253023

1 引言

目前，分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)廣泛地應(yīng)用到流體力學(xué)、生物醫(yī)藥、固態(tài)物理等工程領(lǐng)域[1-4]。尋找分?jǐn)?shù)階非線性發(fā)展方程的解析解或者精確解一直以來(lái)是數(shù)學(xué)工作者的重要研究課題，得到了一些求解分?jǐn)?shù)階非線性方程的解析和數(shù)值方法，其中包括分?jǐn)?shù)階微分變換法[5-6]，分?jǐn)?shù)階Adomian分解方法[7]，分?jǐn)?shù)階同倫擾動(dòng)法[8-10]，迭代Laplace變換方法[11-12]，分?jǐn)?shù)階子方程方法[13-14]等。但這些方法大多是求解分?jǐn)?shù)階非線性方程的近似解，而且存在著各自的缺點(diǎn)。本文將分?jǐn)?shù)階復(fù)變換方法[15]與(G′/G)方法[16]相結(jié)合，得到了求解分?jǐn)?shù)階非線性方程精確解的一種輔助方程新方法，該方法簡(jiǎn)單有效。文中的分?jǐn)?shù)階微分算子是Jumarie的修正Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)[17]。

其中，Γ(·)為Gamma函數(shù)，定義為：

Jumarie的修正Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)具有如下性質(zhì)：

2 方法簡(jiǎn)介

考慮如下時(shí)空分?jǐn)?shù)階微分方程

作分?jǐn)?shù)階復(fù)變換：

其中c為常數(shù)，當(dāng)α=β=1時(shí)式（5）就是通常的行波變換。在式（5）的作用下，式（4）變?yōu)椋?/p>

假設(shè)式（6）的解u可以表示為G′/G的形式：

其中G=G(ξ)滿足方程

am，…，a0是待定的常數(shù)，am≠0。正整數(shù)m通過(guò)式（6）中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)來(lái)確定。

將式（7）及式（8）帶入式（6），比較G′/G的系數(shù)，得到一組關(guān)于am，…，a0的代數(shù)方程，借助于軟件Mathematica的符號(hào)計(jì)算功能及式（8）的解，得到原方程式（4）的解。

式（8）的解如下[16]：

情形1 若λ2-4μ＞0，則

情形2 若λ2-4μ＜0，則

情形3 若λ2-4μ=0，則

3 數(shù)值例子

考慮如下時(shí)空分?jǐn)?shù)階Calogero KDV方程：

對(duì)式（12）作復(fù)變換式（5），得到

平衡式（13）中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)，假設(shè)式（13）的解為：

將式（14）及式（8）帶入式（13），比較G′/G的系數(shù)，得到一組關(guān)于a0，a1，a2的方程，借助于 Mathematica的計(jì)算功能，得到a0，a1，a2的兩組解：

這樣，得到時(shí)空分?jǐn)?shù)階Calogero KDV方程各種情形下的解：

（I）

情形1 當(dāng)λ2-4μ＞0時(shí)

情形2 當(dāng)λ2-4μ＜0時(shí)

情形3 當(dāng)λ2-4μ=0時(shí)

類(lèi)似地，可以得到（II）時(shí)方程（12）的各種解，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不再贅述。

4 結(jié)果和討論

將分?jǐn)?shù)階復(fù)變換方法和G′/G方法相結(jié)合，得到了求解分?jǐn)?shù)階非線性方程精確解的一種新方法。當(dāng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α=β=1時(shí)，所得到的精確解就是通常的行波解。數(shù)值例子表明，該方法簡(jiǎn)單有效，能夠用來(lái)求解一般的分?jǐn)?shù)階非線性方程。

[1]Sabatier J，Agrawal O P，Tenreiro Machado J A.Advances in fractional calculus：theoretical developments and applications in physics and engineering[M].[S.l.]：Springer，2007.

[2]Baleanu D，Diethelm K，Scalas E，et al.Fractional calculus models and numerical methods in series on complexity，nonlinearity and chaos[C].World Scientific，Singapore，2012.

[3]Liu Y Q，Xin B G.Numerical solutions of a fractional predator-prey system[J].Advances in Difference Equations，2011，190475.

[4]Ma J H，Liu Y Q.Exact solutions for a generalized nonlinear fractional Fokker-Planck equation[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（1）：515-521.

[5]Liu J C，Hou G L.Numerical solutions of the space-and time-fractional coupled Burgers equations by generalized differential transform method[J].Applied Mathematics and Computation，2011，217（16）：7001-7008.

[6]Erturk V S，Yildirim A，Momanic S.The differential transform method and Pade approximants for a fractional population growth model[J].International Journal of Numerical Methods for Heat&Fluid Flow，2012，22（6/7）：791-802.

[7]劉艷芹.一類(lèi)分?jǐn)?shù)階非線性振子方程的特性研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2012，48（16）：30-32.

[8]He J H.Homotopy perturbation method：a new nonlinear analytical technique[J].Applied Mathematics and Computation，2003，135（1）：73-79.

[9]Yildirim A.Application of the homotopy perturbation method for the Fokker-Planck equation[J].International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering，2010，26（9）：1144-1154.

[10]劉艷芹.同倫擾動(dòng)法求解分?jǐn)?shù)階非線性擴(kuò)散方程近似解[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2012，48（6）：28-29.

[11]Jafari H，Nazari M，Baleanu D，et al.A new approach for solving a system of fractional partial differential equations[J].Computers and Mathematics with Applications，2013，66（5）：838-843.

[12]Yan L M.Numerical solutions of fractional Fokker-Planck equations using iterative Laplace transform method[J].Abstract and Applied Analysis，2013，465160.

[13]Liu Y Q，Yan L M.Solutions of fractional Konopelchenko-Dubrovsky and Nizhnik-Novikov-Veselov equations using a generalized fractional sub-equation method[J].Abstract and Applied Analysis，2013，839613.

[14]EI-Sayed A M，Rida S I，Arafa A A.Exact solutions of fractional-order biological population model[J].Communications in Theoretical Physics，2009，52（6）：992-996.

[15]Li Z B，He J H.Fractional complex transform for fractional differential equations[J].Mathematical and Computational Applications，2010，15（5）：970-973.

[16]Wang M L，Li X Z，Zhang J L.TheG′/G-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics[J].Physics Letters A，2008，37（4）：417-423.

[17]Jumarie G.Modified riemann—liouville derivative and fractional Taylor series of non-differentiable functions further results[J].Computers and Mathematics with Applications，2006，51（9/10）：1367-1376.