關(guān)于對(duì)整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域內(nèi)不可約問題的研究①

孫 慧

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130000)

0 引 言

文獻(xiàn)［1］中給出了整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域內(nèi)不可約的一種判別方法—Eisenstein 判別法，此判別法僅是判別整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的充分條件，而非必要條件.本文主要研究了一類整系數(shù)多項(xiàng)式雖然所給的具體形式無法應(yīng)用Eisenstein 判別法，但將其進(jìn)行變量替換后，則可轉(zhuǎn)化成Eisenstein 判別法的應(yīng)用范圍.此外，還借鑒了Eisenstein 判別法的研究思路，給出了一類整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的判別方法.

1 預(yù)備知識(shí)

定理1［1］(Eisenstein 判別法) 設(shè)f(x)=anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式.如果有一個(gè)素?cái)?shù)p，使得1a0;3，那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.

2 主要結(jié)果

定理2 設(shè)f(x)為一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式，g(x)為任意次數(shù)大于等于1 有理系數(shù)多項(xiàng)式，則f(x)在有理數(shù)域上可約的充分必要條件是f(g(x))在有理數(shù)域上可約.

證 充分性

若f(x)在有理數(shù)域上可約，則f(x)在有理數(shù)域上可以分解為兩個(gè)次數(shù)較低的多項(xiàng)式的乘積.即f(x)= f1(x)f2(x)其中?(f(x))＞ ?(f1(x))，?(f2(x))，將 x 換 成 g(x)可 得 f(g(x))=f1(g(x))f2(g(x))， 易 知 ?(f(g(x))) ＞?(f1(g(x)))，?(f2(g(x)))，且由于g(x)為有理系數(shù)多項(xiàng)式，故f1(g(x))，f2(g(x))均為有理系數(shù)多項(xiàng)式.綜上，可知f(g(x))在有理數(shù)域上可約.

必要性

若f(g(x))在有理數(shù)域上可約，則f(g(x))在有理數(shù)域上可以分解為兩個(gè)次數(shù)較低的多項(xiàng)式的乘積.即f(g(x))=f1(g(x))f2(g(x))，其中.

?(f(g(x)))＞?(f1(g(x)))，?(f2(g(x)))

由于g(x)為任意次數(shù)大于等于1 有理系數(shù)多項(xiàng)式，取g(x)=x，從而有f(x)=f1(x)f2(x)，易知?(f(x))＞?(f1(x))，?(f2(x)).綜上，f(x)在有理數(shù)域上可約.

推論2.1 設(shè)f(x)為一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式，g(x)為任意次數(shù)大于等于1 有理系數(shù)多項(xiàng)式，則f(x)在有理數(shù)域上不可約的充分必要條件是f(g(x))在有理數(shù)域上不可約.

證 推論1 為定理1 的逆否命題.

推論2.2 設(shè)f(x)為一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式，g(x)=ax+b，(a，b 均為有理數(shù)且a ≠0)，則f(x)在有理數(shù)域上不可約的充分必要條件是f(ax+b)在有理數(shù)域上不可約.

借鑒Eisenstein 判別法的研究思路，給出一類整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約的判別方法.

定理3 設(shè)f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式.且f(x)沒有有理根，如果b，c，d 均為奇數(shù)，那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.

證 假設(shè)f(x)在有理數(shù)域上是可約的，由已知f(x)沒有有理根，故f(x)沒有一次有理因式，從而f(x)在有理數(shù)域上可分解為兩個(gè)二次整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.設(shè)

比較上面式子中x2，x 的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)有

因?yàn)閐 為奇數(shù)，則n1，n2也為奇數(shù)，從而n1+n2為偶數(shù).因?yàn)閎 為奇數(shù)，由(1)可知m1m2=b－(n1+n2)為奇數(shù)，可得m1，m2也為奇數(shù)，從而m1n2+n1m2為偶數(shù)，這與c=m1n2+n1m2是奇數(shù)矛盾，從而f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.

3 舉 例

例1 證明:整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=xp+px+1(p 是奇素?cái)?shù))在有理數(shù)域上不可約.

證明 顯然此題不能直接應(yīng)用Eisenstein 判別法.令x=y－1，代入f(x)=xp+px+1，由于p是奇素?cái)?shù)，可得

例2 證明:整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=x4+kx3+17x2+11+1(k 為奇數(shù))在有理數(shù)域上是不可約多項(xiàng)式.

證明 整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上可能的有理根為1.易知

［1］ 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2003:33－34.