一類含混合時(shí)滯非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性①

徐至晨，陳愛珍，周宗福

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601)

故系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的.定理2 證畢.

0 引 言

在過去的幾十年里，已經(jīng)注意到非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)在越來越多的領(lǐng)域得到應(yīng)用，如影像信號(hào)傳輸、圖像識(shí)別等.關(guān)于非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的研究成果也層出不窮(見文獻(xiàn)［1 ～4］).文獻(xiàn)［4］討論了一類混合時(shí)滯非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性，利用Lyapunov－Krasovskii 泛函和黎卡提方程等分析方法，給出了這類系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.在文獻(xiàn)［4］所研究的系統(tǒng)中，引入了新的控制函數(shù)，研究了更為一般的含混合時(shí)滯的非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，獲得這一新系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性的若干結(jié)論.

本文討論如下非自治神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng):

其中x(t)∈Rn，A(t)∈Rn×n，W0(t)，W1(t)，W2(t)∈Rn×n，這里B(t)∈Rn×m為控制輸入矩陣，f，g，c，F(xiàn):Rn→Rn，且

假設(shè):(D1)0 ≤h(t)≤h0，˙h(t)≤u(u ＜1)，0 ≤k(t)≤k0，?t ≥0;(D2)0 ≤h(t)≤h0，0 ≤k(t)≤k0，?t ≥0

在系統(tǒng)(1)中，初始函數(shù)φ(t)∈C(［－d，0］，Rn)，其中，d=max{h0，hk}.

1 有關(guān)定義及引理

假定:

(H1)矩陣函數(shù)A(t)，W0(t)，W1(t)，W2(t)，B(t)在［0，+∞)上是連續(xù)的;

(H2)存在非負(fù)常數(shù)ai，bi，ci，di(i =1，2，3，…，n)，使得:

(H3)令Y(t)=A(t)+AT(t)+λB(t)BT(t)，，使得，其中，λmin(Y(t))表示Y(t)的最小特征值.

定義1 設(shè)α ＞0，稱系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制函數(shù)u(t)使得系統(tǒng)(1)的 解 x(t，φ)滿 足 ‖x(t，φ)‖ ≤β‖φ‖e－αt，(t ≥0)，其中β ＞0 為常數(shù).

引理1 (Cauchy 矩陣不等式)對(duì)于x，y ∈Rn及正定陣N ∈Rn×n，有

引理2 (Jesen－based interal 不等式)對(duì)于任一給定的正定陣M，v ∈R，且v ＞0，向量函數(shù)w:［0，v］→Rn，有下列不等式成立:

2 主要結(jié)果

引入下列符號(hào):

對(duì)于α ＞0，P(t)為［0，+∞)上的半正定矩陣，令:

定理1 假設(shè)(H1)～(H3)，(D1)成立且存在α ＞0 及半正定陣P(t)，滿足黎卡提方程

且設(shè):u(t)=K1(t)x(t)+K2(t)x(t－h(huán)(t))，其中連續(xù)，則系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的.

證明: 作Lyapunov 泛函

其中，

易知:

由引理1 和引理2 可以得到:

同樣地，對(duì)V2(t，xt)，V3(t，xt)關(guān)于t 求導(dǎo)得到:

由(5)～(7)得到:

由假設(shè)條件，得:

從而，V(t，xt)≤V(0，x0)e－2αt，?t ≥0，又由于:

結(jié)合(3)即得:‖x(t，φ)‖≤β‖φ‖e－αt，?t≥0，其中，

所以，系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的.定理1 證畢.

設(shè)P(t)為有界半正定矩陣，λ ＞0，ε ＞0 引入記號(hào):

定理2 在(H1)～(H3)以及(D2)成立的條件下，若存在一個(gè)半正定的有界矩陣P(t)，滿足黎卡提方程:

且設(shè)

證明: 構(gòu)造V 函數(shù)如下:

則

由泛函微分方程的Razumihkin 定理的假設(shè)條件，并利用引理1 和引理2 可得:

當(dāng)V(t+s，x(t+s))＜qV(t，x(t))，q ＞1，?s∈［－d，0］，q=1+ε，t ＞0 時(shí)，

即有

由Razumihkin 定理可知系統(tǒng)(1)的零解是一致漸近穩(wěn)定的.

再由(8)和(10)可知:

故

綜合前面可得:

故系統(tǒng)(1)是α－指數(shù)穩(wěn)定的.定理2 證畢.

［1］ L.O.Chua，L.Yang.Cellular Neuralnet Works:theory［J］.IEEE Trans.Circ.Syst，1998，10:1257－1272.

［2］ W.Chen，Q.Ma，G.Miao et al.Stability Analysis of Stochastic Neural Networks with Markovian Jump Parameters Using Delay－Partitioning Approach［J］.Neurocomputing，2013，103:22－28.

［3］ X.Lou，B.Cui，On Robust Stabilization of a Class of Neural Networks with Time－Varying Delays［J］.Proc.IEEE Int.Conf.Comput.Intel.Security，2006:437－440.

［4］ M.V.Thuan et al.Exponential Stabilization of Non－Autonomous Delayed Neural Networks Via Raccati Equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2014，246:533－545.