分?jǐn)?shù)意義教學(xué)的著力處

于蓉

在一次擔(dān)任課堂教學(xué)競(jìng)賽評(píng)委時(shí)，偶然聽(tīng)了4位選手執(zhí)教蘇教版三年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”，2位選手執(zhí)教五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”，當(dāng)教材中分布在兩個(gè)年級(jí)的內(nèi)容連續(xù)在課堂上演繹時(shí)，不同的選手教學(xué)中相同的設(shè)計(jì)就將一些平時(shí)未關(guān)注到的現(xiàn)象突現(xiàn)出來(lái)，引發(fā)思考。首先，這兩課都應(yīng)把通過(guò)活動(dòng)體驗(yàn)部分與整體的關(guān)系作為核心嗎？?jī)晒?jié)不同年級(jí)的課，都設(shè)計(jì)了相同的活動(dòng)，如涂一涂，在每個(gè)圖里（每個(gè)圈里有2個(gè)、4個(gè)、6個(gè)○不等）涂色表示出二分之一，追問(wèn)：為何都是二分之一，涂出的個(gè)數(shù)卻不一樣？重筆墨體驗(yàn)整體與部分關(guān)系的活動(dòng)都是兩節(jié)課的核心。其次，分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)就是單位“1”的教學(xué)嗎？執(zhí)教分?jǐn)?shù)意義的兩位教師都引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)圖形、許多物體組成的一個(gè)整體概括為單位“1”的過(guò)程，一般用時(shí)15分鐘，其中無(wú)任何促進(jìn)思考的問(wèn)題。單位“1”便于表述的同時(shí)，也為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義增加了一道坎：必須先理解什么是單位“1”。課后，調(diào)查訪問(wèn)學(xué)生什么是分?jǐn)?shù)，學(xué)生能準(zhǔn)確說(shuō)出：將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。這是分?jǐn)?shù)的意義嗎？將分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)局限在單位“1”的理解上，也就狹隘了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用?！爆F(xiàn)象促使筆者追問(wèn)：分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)，我們?cè)撛诤翁幹?，發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的價(jià)值？

一、 在分?jǐn)?shù)與整數(shù)的特別之處著力

從外在形態(tài)上看，分?jǐn)?shù)與整數(shù)最大的不同是分?jǐn)?shù)是借助于整數(shù)，用兩個(gè)整數(shù)和一個(gè)分?jǐn)?shù)線組成了一個(gè)新的數(shù)；從實(shí)際意義上分析，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)與整數(shù)本質(zhì)差別是計(jì)數(shù)單位的不同。盡管分?jǐn)?shù)單位同整數(shù)的計(jì)數(shù)單位本質(zhì)相同，但整數(shù)的計(jì)數(shù)單位是固定不變的：個(gè)、十、百、千……，而分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是變化的，隨著平均分的份數(shù)的變化而變化。我們應(yīng)創(chuàng)設(shè)活動(dòng)讓學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是源于度量，能夠解決物體不可度量屬性的可比性，感受到將分?jǐn)?shù)單位累加就會(huì)得到一個(gè)新的數(shù)。

如“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)中我們常出示一個(gè)平面圖形（圖1），讓學(xué)生判斷可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示。

學(xué)生一般會(huì)想到，不再會(huì)想到其他的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)中，我們可以改變圖形出示的方式（見(jiàn)圖2）引導(dǎo)學(xué)生思考：長(zhǎng)方形和這個(gè)正方形的大小有怎樣的關(guān)系，可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示？要解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生首先要進(jìn)行分，將長(zhǎng)方形平均分成6份后，恰好其中的一份與正方形的大小相同。正方形的大小是長(zhǎng)方形的■，6個(gè)■是1?！胺帧笔钦J(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的第一個(gè)動(dòng)作，只有等分，才能關(guān)注分?jǐn)?shù)單位。再遇到類似圖形時(shí)（如圖3），學(xué)生就不會(huì)輕易否定不能用分?jǐn)?shù)表示，而是分一分，找到合適的單位后再來(lái)確定部分與整體的關(guān)系。

分?jǐn)?shù)與整數(shù)相比，關(guān)注整體又是一個(gè)重點(diǎn)，在三年級(jí)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了將一些物體看成一個(gè)整體的專門訓(xùn)練，本節(jié)課中我們直接借助圖形，幫助學(xué)生理解整體的變化引起表示結(jié)果的變化。

小長(zhǎng)方形代表的是幾分之一，為什么？

現(xiàn)在小長(zhǎng)方形代表的是幾分之一，為什么？

開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生調(diào)動(dòng)已有經(jīng)驗(yàn)尋找用分?jǐn)?shù)表示的可能。圖4中學(xué)生可以找到、，圖5中可以找到、、、，答案的不同源自學(xué)生選擇的是怎樣的整體，在思辨的過(guò)程中學(xué)生體會(huì)到選擇整體的重要性。

在分?jǐn)?shù)與整數(shù)的聯(lián)系處、異同處著力，既順應(yīng)學(xué)生已有的關(guān)于數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，延續(xù)了自然數(shù)的認(rèn)識(shí)，又可以幫助學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)原理，分?jǐn)?shù)特殊的形態(tài)就有理可循，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和運(yùn)算打下基礎(chǔ)。

二、 在分?jǐn)?shù)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想上著力

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，也是數(shù)學(xué)內(nèi)容價(jià)值的核心體現(xiàn)，可以幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。教學(xué)中我們可以在學(xué)生已初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上滲透分?jǐn)?shù)概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，感悟分?jǐn)?shù)的價(jià)值。

首先，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。教學(xué)中教師常用的是面積模型表示分?jǐn)?shù)，我們還可以借助數(shù)軸讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義。

與面積模型和實(shí)物相比，線段模型更抽象，但在數(shù)軸中，數(shù)形結(jié)合可以形象、直觀地顯示分?jǐn)?shù)可以表示關(guān)系，也具有測(cè)量的意義，同時(shí)在數(shù)的體系里為分?jǐn)?shù)找到它的位置，便于學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)的稠密性以及與整數(shù)、小數(shù)之間的關(guān)系。

其次，滲透等價(jià)類思想。如我們可以設(shè)計(jì)按要求擺紅藍(lán)兩種圓片的活動(dòng)。同桌兩人分別擺出紅色圓片是藍(lán)色圓片的，在學(xué)生多樣擺法的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么用的圓片個(gè)數(shù)不一樣，卻依然用表示？還可以表示怎樣的擺法？在操作、比較的過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)到同一個(gè)分?jǐn)?shù)可以將不同事物聯(lián)系起來(lái)。

第三，滲透轉(zhuǎn)化思想。分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中我們可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形語(yǔ)言與分?jǐn)?shù)符號(hào)表示之間的轉(zhuǎn)化，也需要讓學(xué)生經(jīng)歷將幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位聚成1個(gè)分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)也可以看成幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位聚集結(jié)果的轉(zhuǎn)化過(guò)程。如分?jǐn)?shù)墻的制作，我們可以引導(dǎo)學(xué)生自己用分?jǐn)?shù)條制作分?jǐn)?shù)墻，在擺一擺、比一比中發(fā)現(xiàn)不同的分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系，不同分?jǐn)?shù)單位與整體之間的關(guān)系，學(xué)生借助于形發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，并能自由地進(jìn)行分?jǐn)?shù)單位間的轉(zhuǎn)換。

數(shù)的概念中除了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和等價(jià)類思想，還蘊(yùn)含著公理化思想、函數(shù)思想，教師未必要講給學(xué)生，但引導(dǎo)學(xué)生思考時(shí)應(yīng)有這樣的意識(shí)，將教學(xué)目標(biāo)從知識(shí)技能的掌握伸向能力的培養(yǎng)、思維方式的提升，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、 在展現(xiàn)分?jǐn)?shù)的豐富內(nèi)涵上著力

德國(guó)科學(xué)家克羅內(nèi)克認(rèn)為，上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他都是人的作品。從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)說(shuō)，分?jǐn)?shù)是第一個(gè)由人規(guī)定的數(shù)。由于人為規(guī)定性，分?jǐn)?shù)的抽象性、分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的豐富性都給學(xué)生認(rèn)知分?jǐn)?shù)帶來(lái)了困難。大部分教師都選擇在一節(jié)課中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的一部分，讓學(xué)生透徹地理解。但實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，教材在三年級(jí)上冊(cè)和下冊(cè)讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，再到五年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，六年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系，用很長(zhǎng)的戰(zhàn)線讓學(xué)生逐漸接納、理解分?jǐn)?shù)，這樣安排有利的同時(shí)也有弊，學(xué)生建立的分?jǐn)?shù)概念是支離破碎的，直至在六年級(jí)學(xué)生遇到1÷3時(shí)，還會(huì)糾結(jié)除不盡怎么辦。所以，在分?jǐn)?shù)意義第一課時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們需要留有時(shí)間，讓學(xué)生知道分?jǐn)?shù)是怎么產(chǎn)生的，整體展現(xiàn)分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，看到分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的生長(zhǎng)，感受生長(zhǎng)過(guò)程中人類創(chuàng)造的智慧。結(jié)合小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，可以用講故事的方式讓學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)背景下分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。

首先，理解測(cè)量的含義。用一根繩子測(cè)量一個(gè)木箱的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)木箱的長(zhǎng)還不足一根繩子的長(zhǎng)。怎么辦呢？分一分，找到合適的單位再量。將繩子分一分，得到一個(gè)新的測(cè)量單位，然后用分得的“單位”量一量木箱的長(zhǎng)。測(cè)量的結(jié)果就是有幾個(gè)這樣的測(cè)量單位，也就得到了一個(gè)分?jǐn)?shù)。

其次，理解商的含義。講述200多年前，人們找不到一個(gè)合適的數(shù)表示把7米長(zhǎng)的繩子分成3等份，每一份的長(zhǎng)度是多少，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉指出，如果我們把它分成三等份，每份是■米，這樣新的數(shù)就產(chǎn)生了。追問(wèn)：2÷3的商是多少，你是怎么想的？

第三，理解比的含義。出示黃花（ ）朵，紅花（ ）朵，黃花的朵數(shù)是紅花的（ ），變換括號(hào)中的數(shù)值，學(xué)生自然經(jīng)歷了從黃花朵數(shù)是紅花的幾倍逐漸到了黃花朵數(shù)是紅花的幾分之幾的過(guò)程，再組織學(xué)生交流，你現(xiàn)在眼中的分?jǐn)?shù)是怎樣的？為什么要有分?jǐn)?shù)呢？它還可以怎樣？

盡管我們只能用很短的時(shí)間展示，沒(méi)有讓學(xué)生在具體情境中探究分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，但可以避免學(xué)生看到分?jǐn)?shù)的一部分就以為是全部，意識(shí)到這只是分?jǐn)?shù)意義的一部分，隨著社會(huì)的發(fā)展以及數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，它的內(nèi)涵也許會(huì)更加豐富。

在豐富分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的過(guò)程上著力，可以讓學(xué)生感受分?jǐn)?shù)的生長(zhǎng)性和數(shù)學(xué)發(fā)展中人類的創(chuàng)造與智慧，同時(shí)用這樣的精神影響學(xué)生的思維與興趣，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造的欲望。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉加霞.通過(guò)“分”與“數(shù)”，分?jǐn)?shù)是個(gè)“數(shù)（shù）”？人民教育[J]，2011（6）.

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】