數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)突破應(yīng)彰顯知識(shí)的本質(zhì)特征

汪志華

突破難點(diǎn)是影響課堂教學(xué)有效性的關(guān)鍵因素之一。所謂難點(diǎn)，是指對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說不易理解的知識(shí)或不易掌握的技能技巧。產(chǎn)生難點(diǎn)的原因通常有兩個(gè)方面：一是由于教材的邏輯起點(diǎn)較高或比較抽象，學(xué)生理解起來比較困難；二是由于學(xué)生缺乏相應(yīng)生活經(jīng)驗(yàn)，或已有生活經(jīng)驗(yàn)存在片面甚或錯(cuò)誤認(rèn)知，影響學(xué)生正確理解相關(guān)知識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只有吃透教材、明了學(xué)情，準(zhǔn)確把握教學(xué)難點(diǎn)的“癥結(jié)”所在，并選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，彰顯本質(zhì)特征，做到“對(duì)癥下藥”，才可能突破教學(xué)難點(diǎn)，取得好的教學(xué)效果。下面，筆者結(jié)合蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“圓的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)談?wù)勼w會(huì)。

一、 選擇典型實(shí)物圖片，彰顯本質(zhì)特征

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常要列舉一些實(shí)物或者利用掛圖、課件出示一些實(shí)物圖，讓學(xué)生通過觀察，形象直觀地感知相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。教師所選擇的實(shí)物或?qū)嵨飯D應(yīng)能夠彰顯所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征，盡可能減少實(shí)物或?qū)嵨飯D所蘊(yùn)含知識(shí)的非本質(zhì)特征，從而，讓學(xué)生在準(zhǔn)確感知中深化理解，突破教學(xué)難點(diǎn)。比如：在教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，課始，教師所出示的生活中的“圓”分別是鐵環(huán)、玉鐲、鑰匙圈等“空心圓”實(shí)物，而出示的實(shí)物圖則是方向盤、碗口、茶杯口和自行車車輪鋼圈等“空心圓”實(shí)物圖。這樣，就有了如下教學(xué)片段：

師：在我們生活中，隨處可見圓形的物體，比如：鐵環(huán)、玉鐲和鑰匙圈（教師依次出示實(shí)物）。

生1：圓形的鐵環(huán)。

生2：圓形的玉鐲。

生3：圓形的鑰匙圈。

師：除了這些圓形的實(shí)物，老師還準(zhǔn)備了一些圓形物體的實(shí)物圖，比如（教師用課件出示實(shí)物圖）：方向盤、碗口、茶杯口和自行車車輪鋼圈。

生1：圓形的方向盤。

生2：圓形的碗口。

生3：圓形的茶杯口。

生4：圓形的自行車鋼圈。

師：剛才，我們一起觀察了圓形的實(shí)物或?qū)嵨飯D。大家能再舉一些生活中圓形的例子嗎？

生1：1元硬幣的外圈是圓。

生2：5角、1角硬幣的外圈都是圓。

生3：透明膠帶的內(nèi)圈、外圈都是圓。

“圓的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)概念教學(xué)課，最重要的就是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)圓的本質(zhì)屬性。圓的本質(zhì)屬性有兩個(gè)：圓是平面內(nèi)的一條封閉的曲線；圓上任何一點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等。而要使學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)“圓是平面內(nèi)的一條封閉的曲線”這一本質(zhì)屬性，教師所選擇的實(shí)物、實(shí)物圖起著至關(guān)重要的作用。在以往的教學(xué)中，教師往往選擇硬幣、圓形紙片、圓柱體物品底面等“實(shí)心圓”實(shí)物、實(shí)物圖教學(xué)。其結(jié)果就是，學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為：“圓就是這樣的一個(gè)面”。學(xué)生自己舉例子時(shí)，也就錯(cuò)誤的說：硬幣是圓、瓶蓋是圓、車輪是圓等等。在上述教學(xué)片段中，正是因?yàn)榻處熅倪x擇了“空心圓”的實(shí)物、實(shí)物圖，彰顯“圓”的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生準(zhǔn)確感知圓是一條封閉的曲線這一本質(zhì)特征，再讓學(xué)生自己舉例子時(shí)，學(xué)生都會(huì)準(zhǔn)確地說：“一元錢硬幣的外圈是圓”、“5角錢、1角錢硬幣的外圈都是圓”、“透明膠帶的內(nèi)圈、外圈都是圓”等。因此，教師在選擇教學(xué)用的實(shí)物、實(shí)物圖時(shí)，一定要深入研究教材，明了知識(shí)本質(zhì)屬性，選擇典型的實(shí)物或?qū)嵨飯D，彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征，讓學(xué)生準(zhǔn)確感知，從而，有效突破教學(xué)難點(diǎn)。

二、 展示定義發(fā)生過程，彰顯概念“拔節(jié)”

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，用得比較多的是屬加種差的定義方式，圓的半徑、直徑定義都是屬加種差這種方式定義的。在“圓的認(rèn)識(shí)”一節(jié)中（教材第86頁），圓的半徑定義為：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段是半徑。圓的直徑定義為：通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑。要讓學(xué)生理解這樣的定義，關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷半徑、直徑定義的發(fā)生過程。在實(shí)際教學(xué)中，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生觀察教師畫半徑、直徑的過程，然后讓學(xué)生自主畫出半徑、直徑，繼而引領(lǐng)學(xué)生交流、討論畫出的是怎樣的線段，進(jìn)而水到渠成地引領(lǐng)學(xué)生自主給出半徑、直徑的定義。于是，就有了如下教學(xué)片段：

師：隨手在圓外、圓內(nèi)、圓上分別點(diǎn)一點(diǎn)并標(biāo)上字母A、B、C，然后提問：這三個(gè)點(diǎn)分別在圓的哪兒？

生1：點(diǎn)A在圓的外部。

生2：點(diǎn)B在圓的內(nèi)部。

生3：點(diǎn)C剛好在圓上。

師：對(duì)！現(xiàn)在，看看老師連接的是哪兩個(gè)點(diǎn)呢（教師連接圓心和圓上一點(diǎn)）？

生：連接圓心和圓上的一點(diǎn)。

師：這樣的線段有個(gè)名稱叫什么呢？

生：叫半徑，用字母r表示。

師：你怎么知道的呢？

生：我在課前看過書。

師：好！課前預(yù)習(xí)是很好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這條線段叫半徑，用字母r表示。請(qǐng)你們?cè)趧偛女嫷膱A中也畫一條半徑并標(biāo)上字母r。

學(xué)生畫半徑，標(biāo)上字母r。

師：誰能說說半徑是一條怎樣的線段？

生：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段是半徑。

師：看看我又畫了一條怎樣的線段（教師示范畫直徑）？

生1：這是一條直徑。

生2：這條線段通過圓心并且兩端都在圓上，它叫直徑。

……

教師依次在圓外、圓內(nèi)、圓上點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、討論、抽象和概括，對(duì)圓外、圓內(nèi)、圓上的點(diǎn)有清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓的半徑、直徑的概念做好鋪墊。繼而，教師通過連點(diǎn)成線，讓學(xué)生用語言加以描述，直觀展示定義的發(fā)生過程，從而準(zhǔn)確揭示圓的半徑、直徑的概念。此時(shí)，半徑、直徑概念的獲得過程是學(xué)生自主建構(gòu)概念的思維過程，半徑、直徑概念的“誕生”過程更加生動(dòng)鮮活，半徑、直徑概念的本質(zhì)特征更加外顯，抽象的半徑、直徑概念變得形象具體，學(xué)生對(duì)半徑、直徑概念的理解則更為深刻，學(xué)生的觀察、思維能力得到很好的發(fā)展。而這一精彩片段是教師在準(zhǔn)確把握教材、明了學(xué)情基礎(chǔ)上的精心預(yù)設(shè)，充分展示定義發(fā)生過程，有效引領(lǐng)學(xué)生觀察、操作、概括后的應(yīng)然生成，教學(xué)難點(diǎn)即被輕松突破。

三、 反思圓規(guī)畫圓要領(lǐng)，彰顯內(nèi)在規(guī)律

“圓的認(rèn)識(shí)”一課例2（教材第86頁）為：在同一個(gè)圓內(nèi)，有多少條半徑，多少條直徑？直徑的長度和半徑的長度有什么關(guān)系？

教材還設(shè)計(jì)了提示語：任意畫一個(gè)圓，折一折，畫一畫，比一比，說說你的發(fā)現(xiàn)。

顯然，教材編寫者的意圖是：讓學(xué)生通過“畫一畫”，感知同一圓里有無數(shù)條半徑、直徑；通過“比一比”，感知同一圓里半徑長度都相等，直徑長度也都相等，直徑是半徑的2倍……

在實(shí)際教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生探索“半徑”“直徑”的長度關(guān)系時(shí)，往往是通過“比一比”操作認(rèn)知的。這里的“比一比”更多的是用折疊比較的方法，但折疊比較的方法不便操作。因?yàn)?，學(xué)生將畫有半徑的圓形紙片對(duì)折后，要么難以看清“面對(duì)面”的半徑是否重合，要么難以將“背對(duì)背”的半徑重合，學(xué)生操作感知的效果并不理想。顯然，當(dāng)教師想當(dāng)然地引導(dǎo)學(xué)生，試圖通過“畫出半徑——折疊比較”的方法發(fā)現(xiàn)半徑、直徑特征時(shí)，實(shí)質(zhì)是教師人為制造“教學(xué)難點(diǎn)”。其實(shí)，同一圓中半徑的長度關(guān)系完全可以由學(xué)生根據(jù)用圓規(guī)畫圓的操作要領(lǐng)思考、推理得出，而學(xué)生自主思考、推理得出的結(jié)論更易于理解、掌握。把握了這一實(shí)際情況后，筆者又設(shè)計(jì)了如下教學(xué)片段：

師：在一個(gè)圓中能畫多少條半徑？這些半徑長度有怎樣關(guān)系？

生：圓中有無數(shù)條半徑，這些半徑都相等。

師：怎樣做才能知道它們是否相等呢？

生1：看上去就相等。

生2：畫幾條半徑，再量一量就知道了。

生3：畫幾條半徑，折疊一下，比一比長短就知道是否相等了……

師：僅僅憑眼睛看還不能證明，測(cè)量、折疊比較都是好方法。老師以前教的班級(jí)中有一位同學(xué)脾氣特別的犟，他在證明圓的半徑相等時(shí)，也是用“畫出半徑——測(cè)量比較”的方法。他在圓中大約畫了20條半徑，測(cè)量、折疊后發(fā)現(xiàn)長度都相等。因而，他不無感慨的說：“我算服了，看來圓的半徑真的都相等?！彼耐佬χ此麥y(cè)量、折疊，就是不動(dòng)手操作。老師就問：“你笑什么？不測(cè)量、不折疊能證明圓的半徑相等嗎？”那位同桌說：“我才不用這兩種笨方法呢！畫圓時(shí)，圓規(guī)的兩個(gè)腳尖距離沒變……”他真是“太有才”啦！你們猜猜看：那位“太有才”的學(xué)生是怎樣證明同一圓中的半徑長度都相等的呢？

生1：我知道了！畫圓時(shí)要“定長”，就是圓規(guī)兩腳尖的距離不變，要是腳尖距離變了就畫不好圓。這個(gè)“定長”就是圓的半徑，所以圓的半徑都相等。

生2：畫圓時(shí)，圓規(guī)兩腳尖的距離沒變，就是圓的半徑?jīng)]變。所以說在同一個(gè)圓中圓的半徑都相等。但要是在兩個(gè)圓中，就不一定相等了。

生3：對(duì)，應(yīng)該是在同一個(gè)圓中，所有的半徑都相等。

師：好！深刻。同一個(gè)圓中，半徑都相等。直徑呢？這些直徑與半徑又有怎樣關(guān)系？

生：圓中有無數(shù)條直徑，這些直徑都相等，直徑的長度是半徑的2倍。

……

教師對(duì)同一圓中半徑長度關(guān)系的證明可謂匠心獨(dú)具，“太有才”的故事看似隨意編撰，實(shí)質(zhì)是教師知曉“測(cè)量比較”和“折疊比較”兩種方法都不利于學(xué)生操作這一實(shí)際情況后的精心設(shè)計(jì)。教師一句“怎樣做才能知道它是否相等”的提示語，自然將學(xué)生的思維引向“畫出半徑——測(cè)量比較”或“畫出半徑——折疊比較”的方法，但當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生“畫出半徑——測(cè)量比較”或“畫出半徑——折疊比較”的想法并予以實(shí)施時(shí)，教師再以“太有才”故事將學(xué)生的思維引向反思畫圓時(shí)“定長”的意義，彰顯圓規(guī)畫圓“定長”的內(nèi)在規(guī)律。從而，讓學(xué)生根據(jù)畫圓時(shí)的操作要領(lǐng)思考、推理得出“同一圓中，所有的半徑都相等，所有直徑也都相等，直徑是半徑的2倍”的結(jié)論。

由此可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師惟有吃透教材、掌握學(xué)情，準(zhǔn)確把握教學(xué)難點(diǎn)的“癥結(jié)”，并在此基礎(chǔ)上選擇典型實(shí)物、實(shí)物圖，彰顯知識(shí)的本質(zhì)特征，展示定義的發(fā)生過程，呈現(xiàn)知識(shí)生長節(jié)律，引導(dǎo)學(xué)生反思操作要領(lǐng)，彰顯內(nèi)在規(guī)律，做到“對(duì)癥下藥”，教學(xué)難點(diǎn)才會(huì)被輕松而富有智慧地突破。

【責(zé)任編輯：陳國慶】