帶交易費(fèi)用和負(fù)債的均值—方差投資策略選擇

楊鵬　劉琦　王獻(xiàn)鋒

摘 要 研究了均值-方差準(zhǔn)則下，帶交易費(fèi)用和負(fù)債的投資組合選擇問(wèn)題.研究目標(biāo)是，在終值財(cái)富的均值等于d的限制下，使終值財(cái)富的方差最小，即均值-方差組合選擇問(wèn)題.通過(guò)使用線(xiàn)性二次控制的理論解決了該問(wèn)題，獲得了最優(yōu)的投資策略和有效邊界的顯式解.并通過(guò)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步分析及實(shí)例，在經(jīng)濟(jì)上給出了合理的解釋.通過(guò)本文的研究，可以指導(dǎo)投資者在具有負(fù)債時(shí)選擇恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略，使自身獲得一定的財(cái)富而面臨的風(fēng)險(xiǎn)最小.

關(guān)鍵詞 均值-方差準(zhǔn)則； 線(xiàn)性二次控制；交易費(fèi)用；最優(yōu)策略；有效邊界

中圖分類(lèi)號(hào) F830，O211.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1000-2537（2014）06-0073-06

Abstract Investment portfolio selection problem with transaction costs and liability is considered under mean-variance criterion. The main goal is to minimize the variance of the terminal wealth under the constraint that terminal wealth is equivalent to d， namely， the mean-variance portfolio selection problem. Applying linear-quadratic theory， optimal investment strategies as well as the mean-variance valid frontier are then analytically derived. Meanwhile， according to the further analysis and practical example， an explanation in economy is given. This research could be adopted by investors with liability to select the appropriate investment strategy for more wealth while minimizing the risk.

Key words mean-variance criterion； linear-quadratic control； transaction costs； optimal strategies； efficient frontier

自從文獻(xiàn)[1]對(duì)于單時(shí)期均值-方差的有效投資組合開(kāi)展研究以來(lái)，許多學(xué)者都研究了該問(wèn)題.均值-方差問(wèn)題的目標(biāo)是，在終值財(cái)富的均值給定時(shí)使其方差最小.近年來(lái)，由于人們對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的持續(xù)關(guān)注，均值-方差投資組合選擇問(wèn)題已成為數(shù)理金融研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.文獻(xiàn)[2]研究了動(dòng)態(tài)多個(gè)時(shí)代的均值-方差組合問(wèn)題， 文獻(xiàn)[3]在隨機(jī)LQ的框架下研究了連續(xù)時(shí)間均值-方差組合問(wèn)題，通過(guò)隨機(jī)LQ得到了最優(yōu)策略和有效邊界.文獻(xiàn)[4]研究了馬爾可夫調(diào)制市場(chǎng)上具有資產(chǎn)負(fù)債的均值-方差組合問(wèn)題，獲得了最優(yōu)策略和有效邊界.文獻(xiàn)[5]研究了基于養(yǎng)老金的最優(yōu)投資的均值-方差問(wèn)題，應(yīng)用隨機(jī)控制理論求得了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解.類(lèi)似的文獻(xiàn)[6]也應(yīng)用隨機(jī)控制論研究了養(yǎng)老金投資問(wèn)題.另外，隨機(jī)控制理論也被廣泛用來(lái)研究最優(yōu)投資問(wèn)題[7-11].

我們知道交易是需要費(fèi)用的，尤其是頻繁交易時(shí)，交易費(fèi)用更大.因此在風(fēng)險(xiǎn)投資時(shí)，應(yīng)考慮交易費(fèi)用，考慮交易費(fèi)用才更符合實(shí)際情況.文獻(xiàn)[12]在保險(xiǎn)市場(chǎng)上進(jìn)行投資時(shí)，假設(shè)交易時(shí)帶有交易費(fèi)用.他們通過(guò)使用文獻(xiàn)[13]中的結(jié)論，使用HJB方程的方法把問(wèn)題適當(dāng)轉(zhuǎn)化，得到了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解.

基于上述文獻(xiàn)的工作，本文致力于研究具有交易費(fèi)用的均值-方差投資組合選擇問(wèn)題.本文考慮交易費(fèi)用的形式和文獻(xiàn)[12]一樣，但是得到最優(yōu)投資策略的方法不再使用HJB方程的方法，而是使用了線(xiàn)性二次控制，這一解決均值-方差組合選擇問(wèn)題的通用方法.另外，在研究中本文還考慮了投資者具有負(fù)債，最終得到了最優(yōu)的投資策略和有效邊界的顯式解，并通過(guò)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步分析及實(shí)例，在經(jīng)濟(jì)上給出了合理的解釋.同時(shí)分析了負(fù)債對(duì)最優(yōu)投資策略和有效邊界的影響.通過(guò)本文的研究，可以指導(dǎo)投資者在具有負(fù)債時(shí)選擇恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略，使自身獲得一定的財(cái)富而面臨的風(fēng)險(xiǎn)最小.

1 模型和均值-方差組合選擇問(wèn)題

1.1 模型

為了使數(shù)學(xué)上更為嚴(yán)格，假設(shè)所有的隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)變量都定義在完備的概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上，并且有一滿(mǎn)足通常條件的σ-流{Ft，t≥0}，即Ft右連續(xù)且P完備.考慮一個(gè)金融市場(chǎng)，由n+1個(gè)金融資產(chǎn)組成，其中一個(gè)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（債券），時(shí)刻t的價(jià)格{Bt，t≥0}滿(mǎn)足下面的方程

4 數(shù)值計(jì)算及經(jīng)濟(jì)分析

為了解釋本文所得結(jié)論，本節(jié)給出一個(gè)數(shù)值計(jì)算的實(shí)例計(jì)算上一節(jié)得到的最優(yōu)投資策略和有效邊界，并分析負(fù)債對(duì)最優(yōu)投資策略和有效邊界影響.

實(shí)例 假設(shè)現(xiàn)有一投資者初始時(shí)刻有資金x0=10元，此人欲投資于一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和兩種股票，期限T=2年.假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05，兩種股票的利率為r1=0.09，r2=0.12，波動(dòng)率矩陣為D=1001，買(mǎi)股票的交易費(fèi)用為θb1=0.02，θb2=0.04，賣(mài)股票的交易費(fèi)用為θs1=0.1，θs2=0.11，t=1年時(shí)該投資者的財(cái)富x=10元.投資過(guò)程中存在負(fù)債與股票價(jià)格的相關(guān)系數(shù)為ρ1=12，ρ2=13，終值財(cái)富X*2 的均值EX*2=12.2.把上述數(shù)值代入（13）、（14）、（15）式，分下面兩種情況計(jì)算最優(yōu)投資策略和有效邊界.

結(jié)果分析：從表1 可以看出，最優(yōu)投資策略π*b，π*s是關(guān)于參數(shù)u的單調(diào)遞增函數(shù)；有效邊界Var X*T是關(guān)于參數(shù)u的單調(diào)遞增函數(shù).

從表2可以看出，最優(yōu)投資策略π*b，π*s是關(guān)于參數(shù)v的單調(diào)遞減函數(shù)；有效邊界Var X*T是關(guān)于參數(shù)v的單調(diào)遞減函數(shù).

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（編輯 胡文杰）