基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升工科數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的研究

吳松林　陳體英　伍度志　肖光強(qiáng)

摘要：把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入工科數(shù)學(xué)的課堂中，會(huì)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念、基本知識(shí)的理解和掌握，會(huì)提高學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力，會(huì)促進(jìn)學(xué)生思考，探索新問題。因此，把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入到工科數(shù)學(xué)的課堂中，會(huì)提升課堂的教學(xué)效果，提高人才培養(yǎng)的質(zhì)量。本文在這些方面進(jìn)行了探索，并舉例進(jìn)行了驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 工科數(shù)學(xué)課堂 教學(xué)質(zhì)量 MATLAB

近年來，隨著數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的改革研究，特別是將其成果融入到數(shù)學(xué)主干課程中去探索實(shí)踐，獲得了巨大的成功，編著了許多經(jīng)典的教材，撰寫了許多應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題的范例，提供了提高學(xué)生解決問題能力的途徑。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方面，就取得了如下的共識(shí)：實(shí)驗(yàn)教學(xué)對(duì)學(xué)生掌握科學(xué)研究的方法、培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度、實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神有著其他教育方式不可替代的作用。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芗由顚W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論和方法的理解和掌握；構(gòu)建數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的橋梁；培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際實(shí)踐技能；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新潛能，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)；提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。

但是，如何將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有效融入課堂，將其改革成果惠及所有學(xué)生，提高課堂授課藝術(shù)，激發(fā)學(xué)生思維，對(duì)提升課堂教學(xué)質(zhì)量方面研究還有待深入，還需要不斷實(shí)踐、總結(jié)。

一、在工科數(shù)學(xué)課堂中融入實(shí)驗(yàn)?zāi)苡行椭鷮W(xué)員理解基本概念

在線性代數(shù)中，線性變換是一個(gè)抽象的概念，學(xué)生難以掌握。為了能在課堂上幫助學(xué)員理解變換的概念，設(shè)計(jì)如下的實(shí)驗(yàn)：對(duì)正方形進(jìn)行一系列線性變換，包括旋轉(zhuǎn)變換、伸縮變換、以及任意一個(gè)線性變換。假設(shè)初始狀況下正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)為P1（-1，-1），P2（1，-1），P3（1，1），P4（-1，1），令正方形圍繞其中心旋轉(zhuǎn)且放大，得到一組正方形，使得每個(gè)后面的正方形都包含前一個(gè)正方形，并觀察變換結(jié)果。

對(duì)正方形進(jìn)行變換，實(shí)際上只需要對(duì)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行變換，且將四個(gè)頂點(diǎn)的象按順序連接即可。設(shè)第i個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是Pi（xi，yi），則其象的坐標(biāo)是（xi'，yi'）=（xi，yi）A。取不同的變換矩陣A，就可實(shí)現(xiàn)不同的變換。

1.對(duì)正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

取A=cosα-sinαsinαcosα，α=π6，將正方形連續(xù)旋轉(zhuǎn)6次，程序略，結(jié)果如下圖所示：

2.對(duì)正方形進(jìn)行任意線性變換

取A=1.2i231.2i，i=1，2，…，20，對(duì)正方形進(jìn)行20次變換，程序略。

3.對(duì)正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和伸縮變換

取矩陣A1=cosα-sinαsinαcosα，A2=s00s，A=A1A2，要使每個(gè)后繼正方形正好包含前一個(gè)，經(jīng)推導(dǎo)知，應(yīng)取伸縮系數(shù)s=cosα+sinα，取α=π30，共變換20次，程序略，結(jié)果如下圖所示

通過這樣的操作，學(xué)生對(duì)線性變換就有了直觀的認(rèn)識(shí)。

二、在工科數(shù)學(xué)課堂中融入實(shí)驗(yàn)?zāi)苡行椭鷮W(xué)員理解基礎(chǔ)知識(shí)

在概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，中心極限定理（獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的和的極限分布服從正態(tài)分布）在隨機(jī)數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中具有重要的地位，但是，初學(xué)者要掌握好中心極限定理往往很困難，如果能在課堂上直接借助于數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬，將會(huì)給學(xué)生留下非常深刻的影響，容易理解、掌握好該定理。

譬如通過產(chǎn)生容量為m組poiss分布和指數(shù)分布的樣本，研究其和的漸近分布。采取步驟：（1）產(chǎn)生容量為n的獨(dú)立同分布的隨機(jī)數(shù)，得均值和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）將和標(biāo)準(zhǔn)化；（3）驗(yàn)證所得的m組標(biāo)準(zhǔn)化和的數(shù)據(jù)是否服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)。

通過某一隨機(jī)模擬，得到正態(tài)檢驗(yàn)圖：

從正態(tài)檢驗(yàn)圖可以看出，所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。另外，容易修改成其它分布，也可得相似的結(jié)論。故得出結(jié)論：不論隨機(jī)變量的分布是什么，在大樣本情況下，其和的漸近分布都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此正態(tài)分布可作為隨機(jī)變量和的近似分布。

又如，在學(xué)習(xí)微分方程中，為了說明初值對(duì)微分方程的重要影響。理解什么是“蝴蝶效應(yīng)”，在課堂上設(shè)計(jì)了解微分方程數(shù)值解的實(shí)驗(yàn)。求微分方程dxdt=-βx+yzdydt=-σ（y-z）dzdt=-xy+ρy-z 取β=8/3，σ=10，ρ=28，初始條件x（0）=0，y（0）=0，z（0）=0.01。t∈[0，80]的數(shù)值解。記向量[y1，y2，y3]=[x，y，z]，創(chuàng)建MATLAB函數(shù)文件如下：

通過上面的圖形和教員的講解，以及更改初始條件，得到相應(yīng)的其它結(jié)果，學(xué)生對(duì)“蝴蝶效應(yīng)”應(yīng)該記憶非常深刻。

三、在工科數(shù)學(xué)課堂中融入實(shí)驗(yàn)?zāi)苡行囵B(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)

在課堂的講授中，很多事實(shí)難以給學(xué)生解釋清楚，如果讓學(xué)生自己去做、去發(fā)現(xiàn)真相、探索結(jié)果，也會(huì)給他們留下深刻的影響。譬如，在講級(jí)數(shù)的概念時(shí)，給學(xué)生作koch雪花的圖像，讓學(xué)生去計(jì)算該圖像的周長(zhǎng)和面積，得到結(jié)果一定會(huì)讓學(xué)生驚訝，因?yàn)檠┗ǖ膱D像令人神奇不說，它的面積有限，但周長(zhǎng)卻是無限的，學(xué)生幾乎沒有遇到過這樣的分形圖像。

還譬如作函數(shù)y=sin（1/x）的圖形，考察在x=0附近函數(shù)的振蕩現(xiàn)象，探索該函數(shù)的其它特性。

首先，作出函數(shù)y=sin（1/x）在區(qū)間[-π，π]的函數(shù)圖形，在區(qū)間[-0.5，0.5]上函數(shù)振蕩得特別厲害，看不清楚曲線的軌跡。進(jìn)而又在區(qū)間[-0.1，0.1]上放大。 考察x取0為極限的數(shù)列時(shí)，y=sin（1/x）有無變化規(guī)律。取x=1/n， y=sin（n），其中n為自然數(shù)。作出這些離散點(diǎn)（xn，yn）的圖像。從圖中可以得到有規(guī)律變化的離散曲線，每一條離散曲線是由哪些離散點(diǎn)形成的呢？讓學(xué)生去思考，一定會(huì)激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索精神。對(duì)有興趣的學(xué)生，還可以進(jìn)一步給他們介紹非線性科學(xué)，特別是混沌的科學(xué)知識(shí)。

四、課堂中融入實(shí)驗(yàn)?zāi)苡行囵B(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力

近年來，在高等數(shù)學(xué)的每次課堂教學(xué)中，基本上都形成了以問題為驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式，即通過問題引出數(shù)學(xué)知識(shí)，通過知識(shí)傳授，再回來應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題。形成了問題到知識(shí)，再?gòu)闹R(shí)到問題的循環(huán)過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題緊密相關(guān)，數(shù)學(xué)知識(shí)就是用來解決實(shí)際問題的。久而久之，就增加了學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的許多范例。當(dāng)遇到新的問題，課堂上對(duì)問題的分析思路，解決問題的辦法等會(huì)起到潛移默化的作用。他們不自覺就會(huì)動(dòng)手、利用計(jì)算機(jī)、利用軟件等去解決問題，這就是把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入到課堂上應(yīng)該起到的效果。這樣的范例太多，不再一一列舉。

總之，在近幾年的教學(xué)改革中，特別是在授課質(zhì)量的評(píng)比中，把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入到工科數(shù)學(xué)的課堂中，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)概念、基本知識(shí)的理解；提高了學(xué)生分析、解決問題的能力；更重要的是學(xué)生會(huì)思考了，會(huì)想問題了，會(huì)動(dòng)手解決問題了。通過把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入到工科數(shù)學(xué)的課堂中，大大提升了課堂的教學(xué)效果，提高了人才培養(yǎng)的質(zhì)量。

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