解題研究三例研出三個(gè)性質(zhì)

解題研究是提高數(shù)學(xué)教師解題能力、解題教學(xué)水平、專業(yè)素質(zhì)的一種好方法，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長的階梯，是提高數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)的必經(jīng)歷程.優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的成長過程離不開不斷的解題研究.最近，筆者在研究以下典型試題時(shí)，發(fā)現(xiàn)以下試題可以引申、推廣得到方程f（f（x））=x的實(shí)根情況的性質(zhì).

題1（2013年高考四川卷·文10）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+x-a（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是（）.

A.[1，e]B.[1，1+e]

C.[e，1+e]D.[0，1]

解析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ex+x-a在其定義域上是增函數(shù)，且f（x）≥0，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，只能有f（x）=x（若不然，（1）f（x）>x，則f（f（x））>f（x）>x，與條件f（f（x））=x矛盾；（2）若f（x）

解答完此題后，筆者試想，有一般性結(jié)論嗎？經(jīng)過探究，有如下性質(zhì)1.

圖1性質(zhì)1若由連續(xù)函數(shù)y=f（x）構(gòu)造的方程f（f（x））=x有實(shí)根，則方程f（x）=x有實(shí)根.

證明因?yàn)榉匠?/p>

f（f（x））=x有實(shí)根，所以設(shè)x0為其實(shí)根，即f（f（x0））=x0.

令t0=f（x0），于是f（t0）=x0.從而，函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)P（x0，t0）與Q（t0，x0）.又因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線y=x對(duì)稱，如圖1，且函數(shù)y=f（x）連續(xù)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有交點(diǎn)，故方程f（x）=x有實(shí)根.

題2（2008年上海交通大學(xué)自主招生考試題）已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（x）=x沒有實(shí)數(shù)根.問：f（f（x））=x是否有實(shí)數(shù)根？并證明你的結(jié)論.

解析此問題的解法較多，我們提供以下三種解法.

解法1先介紹一個(gè)引理.

引理若M={x|f（x）=x}，N={x|f（f（x））=x}，則MN.

引理的證明x0∈M，有f（x0）=x0，故f（f（x0））=f（x0）=x0x0∈N，由x0的任意性知MN.

回到原題.f（f（x））=x即af2（x）+bf（x）+c=x，這是一個(gè)4次方程，由上述引理知，f（f（x））-x一定可以分解出f（x）-x這樣一個(gè)因式.

af2（x）+bf（x）+c-x=0af2（x）+bf（x）+（ax2+bx+c）-ax2-bx-x=0，

即a（f2（x）-x2）+b（f（x）-x）+f（x）-x=0

a（f（x）+x）（f（x）-x）+b（f（x）-x）+f（x）-x=0（f（x）-x）[a（f（x）+x）+b+1]=0.

由于f（x）-x=0無實(shí)根，下面只要求出方程a（f（x）+x）+b+1=0是否有實(shí)根即可.

a（f（x）+x）+b+1=a2x2+（ab+a）x+ac+b+1，其判別式Δ=（ab+a）2-4a2（ac+b+1）=a2（b2-2b+1-4ac-4）=a2[（b-1）2-4ac-4].

又f（x）-x=0無實(shí)根，故判別式Δ′=（b-1）2-4ac<0.由此可知Δ<0.所以方程a（f（x）+x）+b+1=0亦無實(shí)根.

綜上，f（f（x））=x也無實(shí)根.

解法2數(shù)形結(jié)合法.

若a>0，由于f（x）=x無實(shí)根，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）>x，從而f（f（x））>f（x）>x，故f（f（x））=x無實(shí)根，如圖2.

圖2圖3同理，若a<0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）

解法3反證法.

若存在f（f（x0））=x0，令f（x0）=t，則f（t）=x0，即（t，x0）是y=f（x）圖象上的點(diǎn)；又f（x0）=t，即（x0，t）也是y=f（x）圖象上的點(diǎn).顯然這兩點(diǎn)不重合，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.而y=f（x）=ax2+bx+c是連續(xù)函數(shù)，故y=f（x）=ax2+bx+c與y=x必有交點(diǎn)，從而f（x）=x有實(shí)數(shù)解，矛盾！

從解法3可以看出，此題的結(jié)論不只針對(duì)二次函數(shù)f（x）是對(duì)的，對(duì)一般的連續(xù)函數(shù)都有一樣的結(jié)論.那么一般性結(jié)論是什么呢？經(jīng)過反復(fù)思考，發(fā)現(xiàn)根據(jù)原命題與逆否命題同真假這一性質(zhì)，由上述性質(zhì)1有如下性質(zhì)2.

性質(zhì)2若方程f（x）=x沒有實(shí)根，則方程f（f（x））=x沒有實(shí)根.

題3（2010年浙江大學(xué)自主招生考試題）設(shè)集合M={x|f（x）=x}，N={x|f（f（x））=x}.

（1）求證：MN；

（2）若f（x）是一個(gè)在R上單調(diào)遞增的函數(shù)，是否有M=N？若是，請(qǐng)證明.

解析（1）若M=，顯然MN成立；若M≠，任取x0∈M，即有f（x0）=x0，則f（f（x0））=f（x0）=x0，即x0∈N，故MN.

（2）結(jié)論是M=N.下證NM.

若N=，顯然結(jié)論成立；若N≠，任取x0∈N，即有f（f（x0））=x0，下證f（x0）=x0.若f（x0）≠x0，不妨先設(shè)f（x0）>x0，由于f（x）是一個(gè)在R上單調(diào)遞增的函數(shù)，故f（f（x0））>f（x0）>x0，與f（f（x0））=x0矛盾！同理，f（x0）

結(jié)合（1），證得N=M.

本題的第（2）問中用的是反證法，值得細(xì)細(xì)體會(huì).

由此題的解答過程可以看出有如下性質(zhì)3.

性質(zhì)3如果連續(xù)函數(shù)f（x）是其定義域上的單調(diào)函數(shù)，那么

（1）方程f（f（x））=x沒有實(shí)根方程f（x）=x沒有實(shí)根.

（2）方程f（f（x））=x有實(shí)根方程f（x）=x有實(shí)根.

作者簡介武增明，男，1965年年生，云南省玉溪市易門縣人，中學(xué)高級(jí)教師，玉溪市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，玉溪市勞模.在省級(jí)及以上數(shù)學(xué)專業(yè)刊物上發(fā)表教育教學(xué)論文130余篇.主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)及其研究.