基于Garch模型的半?yún)?shù)風(fēng)險(xiǎn)度量及Eviews的實(shí)現(xiàn)

李會(huì)華

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，浙江 杭州 310018)

1.前言

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VAR作為一種度量金融風(fēng)險(xiǎn)的工具，由J.PI Morgan公司于1994首先提出，1995年4月巴塞爾銀行監(jiān)管委員會(huì)同意具備條件的銀行以內(nèi)部VaR模型為基礎(chǔ)計(jì)算市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的資本金要求。VAR通過(guò)引入概率分布而將風(fēng)險(xiǎn)數(shù)值化，也可根據(jù)不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好，不同的部門風(fēng)險(xiǎn)控制要求，設(shè)定不同的置信水平來(lái)調(diào)整VAR值，便于理解比較，因此應(yīng)用廣泛。傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度量方法主要包括三個(gè):靈敏度分析方法，波動(dòng)性方法和VaR方法。靈敏度分析方法隱含金融資產(chǎn)的變化和市場(chǎng)因子的影響呈線性關(guān)系的前提，脫離實(shí)際。波動(dòng)性方法將風(fēng)險(xiǎn)定義為收益相對(duì)平均值的偏離程度，但這種波動(dòng)性將正偏離與負(fù)偏離同等看待，而實(shí)際上，負(fù)的沖擊往往比正的沖擊對(duì)波動(dòng)性影響更大，我們關(guān)注的也只是代表?yè)p失的負(fù)偏離，在金融時(shí)間序列里，收益率的分布常存在著尖峰厚尾及有偏特征，收益率波動(dòng)還存在有杠桿效應(yīng)，能否準(zhǔn)確刻畫收益率分布及波動(dòng)性特征，直接關(guān)系到VAR計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。很多研究集中于對(duì)收益率分布尖峰厚尾的準(zhǔn)確刻畫及對(duì)收益率波動(dòng)性的諸如時(shí)變性、集聚性、不對(duì)稱性及相關(guān)性等特征分析，并致力于不斷的模型改進(jìn)。Allen(1994)首先對(duì)VaR模型進(jìn)行了研究，比較分析了方差一協(xié)方差方法和歷史模擬方法;Nelson(1991)［1］提出EGARCH模型，認(rèn)為其能夠捕獲條件異方差性，還能描述杠桿效應(yīng)，因此，EGARCH模型能更準(zhǔn)確地描述金融資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)情況;Kupiec(1995)［2］提出了檢驗(yàn) VaR計(jì)算的方法－返回檢驗(yàn)法，并給出了不同持有期的置信區(qū)間;為克服VaR 的 缺 陷，R.Tyrrell Rockafellar和 Stanislav Uryasev(1999)［3］在對(duì)VAR修正基礎(chǔ)上提出CVaR的概念并給出了CVaR的計(jì)算方法，彌補(bǔ)了VAR不滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量條件的問(wèn)題;林輝、何建敏(2003)［4］首先討論了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR在投資組合應(yīng)用中存在的兩大缺陷，然后介紹了CVaR對(duì)VaR模型的改進(jìn);張留祿、王楚明［5］(2010)通過(guò)建立滿足收益率分布的EGARCH－t模型，分析并計(jì)算了我國(guó)上證指數(shù)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值—VaR值，并且度量了該時(shí)段不同階段上證指數(shù)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)情況，

本文利用garch－N模型及最簡(jiǎn)單的歷史模擬法對(duì)深圳創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的VAR、CVAR風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量，通過(guò)對(duì)結(jié)果的比較分析，更深入地了解其計(jì)算原理、本質(zhì)區(qū)別及各自的不足之處。

2.理論綜述

2.1 VaR的計(jì)算原理

VAR度量的是一定置信度下，資產(chǎn)組合在持有期內(nèi)的最大可能損失，也可以理解為正常波動(dòng)下，預(yù)期價(jià)值與一定置信度下的最低價(jià)值之差。

數(shù)學(xué)表達(dá)式:Prob(ΔP≤－VaR)=1－c

其中:ΔP=P(t+Δt)－P(t)，表示持有期Δt內(nèi)的損失

c:置信度

由上述表達(dá)式可知，只要知道損益的概率密度函數(shù)，就很容易反推出相應(yīng)VAR，一般用收益率的概率分布來(lái)考察損益變化，而收益率的概率分布很難準(zhǔn)確確定，而為了計(jì)算方便，一般都假定其服從正態(tài)分布。此外根據(jù)組合價(jià)值變化的確定方式，VAR值有絕對(duì)和相對(duì)之分，

其中，絕對(duì)VAR是以初始值為基點(diǎn)考察價(jià)值變化，即:

相對(duì)VAR是以預(yù)期收益為基點(diǎn)進(jìn)行考察，即:

以絕對(duì)var為例，由(1)式反推絕對(duì)VAR值，設(shè)收益率的分布函數(shù)f(r)，可得

如果假設(shè) r－N(u，σ2)，則由(2)式可得:

即 VaR=P0［Φ－1(c)σ － u］

同理，可得相對(duì)VAR值

同理，基于garch模型的VAR的預(yù)測(cè):

其中Zα:置信水平為1－c下對(duì)應(yīng)誤差分布的分位數(shù)

σt+i:GARCH模型預(yù)測(cè)的條件方差平方根

2.2 VAR的似然比率LR檢驗(yàn)

假設(shè):α:給定的置信度

T:實(shí)際考察天數(shù)

N:實(shí)際損失超過(guò)VaR的天數(shù)，即為失敗天數(shù)，

則失敗概率P=N/T，給定置信度下，失敗的期望概率P*=1－α，如果假定vaR估計(jì)具有時(shí)間獨(dú)立性，則失敗觀察的二項(xiàng)式結(jié)果代表了一系列獨(dú)立的貝努里試驗(yàn)，N次失敗在T個(gè)樣本中發(fā)生的概率為:(1－P)T－NPN可進(jìn)行原假設(shè)H0∶P=P*的假設(shè)檢驗(yàn)。

Kupiec檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

在零假設(shè)下，統(tǒng)計(jì)量LR服從χ2(1)。根據(jù)給定的置信水平，在卡方檢驗(yàn)臨界值表上查得臨界值，如果LR＞臨界值，我們拒絕本模型。在置信水平0.1時(shí)，模型接受域?yàn)長(zhǎng)R≤2.706;在置信水平0.05時(shí)，模型接受域?yàn)?LR≤3.84，在置信水平0.01時(shí)，模型接受域?yàn)?LR≤6.635

2.3 CVAR

CVaR在理論上是表示超過(guò) VaR的均值，度量了超過(guò)VaR的罕見的極端波動(dòng)所導(dǎo)致的預(yù)期損失，尤其是在置信度較高的情況下，能比var更準(zhǔn)確地度量風(fēng)險(xiǎn)，即

同理可得:

2.4 CVAR的LE檢驗(yàn)

其中，LE:損失的期望值與CVaR的期望值之差的絕對(duì)值

Xi:超過(guò)VaR的實(shí)際損失

n:超過(guò)VaR的個(gè)數(shù)

2.5 Garch族相關(guān)模型

基于GARCH模型的VAR值計(jì)算與普通方法的關(guān)鍵區(qū)別在于，它考慮的是具有時(shí)變性的方差，能很好刻畫收益率尖峰厚尾及波動(dòng)性的時(shí)變、集聚性，本文簡(jiǎn)單介紹幾種常用的Garch族相關(guān)模型。

(1)GARCH(p，q)模型:

其中，αi，βj:待估參數(shù)，αi≥0，βj≥0，i=0，1…，q，j=1，…，p

q:ARCH項(xiàng)的階數(shù)

p:GARCH項(xiàng)的階數(shù)

一般情況下，股市中會(huì)存在的杠桿效應(yīng)，即市場(chǎng)承受同等程度的正負(fù)沖擊對(duì)波動(dòng)的影響并不相同，即波動(dòng)具有不對(duì)稱性，而上述模型對(duì)參差符號(hào)變化并不敏感，因此不能很好刻畫波動(dòng)的不對(duì)稱性，對(duì)此 Nelson等人提出了非對(duì)稱GARCH模型，其本質(zhì)區(qū)別，在于對(duì)條件方差的模型設(shè)定不同，具體有APARCH模型、EGARCH模型、QGARCH模型及GJR模型。

(2)APARCH模型:

其中，γi:描述不對(duì)稱的參數(shù)，如果γi≠0，則存在不對(duì)稱性，－1 ＜γ1＜1，i=1，…，q

δ:評(píng)價(jià)沖擊對(duì)條件方差的影響幅度

(3)EGARCH模型:

如果γi≠0，則存在不對(duì)稱性。

(4)TGARCH(p，q，r)模型:

即表示負(fù)的沖擊會(huì)比正的沖擊引起更大的波動(dòng)。

(5)二次GARCH模型(即QGARCH模型):

即如果εt－1為負(fù)值，則γ取正值比取負(fù)值對(duì)的影響大。

(6)GJR模型:

2.6 歷史模擬法

歷史模擬法是一種非參方法，不用假定市場(chǎng)因子的統(tǒng)計(jì)分布，基本思想:在“歷史會(huì)重演”的假設(shè)前提下，假定未來(lái)的收益率分布依然服從歷史收益率的分布情況，用歷史樣本數(shù)據(jù)的損益分布“復(fù)制”組合未來(lái)?yè)p益分布，可以較好的處理非對(duì)稱和厚尾問(wèn)題，避免了模型風(fēng)險(xiǎn)，但歷史難以復(fù)制，有歷史數(shù)據(jù)得出的結(jié)論可能與實(shí)際不符。

分析步驟:

1)根據(jù)歷史樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算損益;

2)將損益數(shù)據(jù)從小到大排列;

3)按所給置信度a找到相應(yīng)分位數(shù)，進(jìn)而得var。

2.7 半?yún)?shù)方法

由上述VAR的計(jì)算公式可知，度量VAR值關(guān)鍵在于兩點(diǎn)，分位數(shù)和波動(dòng)率。分位數(shù)的確定，與收益率的概率分布函數(shù)有關(guān)，也可以用如歷史模擬法的非參方法進(jìn)行估計(jì);波動(dòng)率的估計(jì)，則一般采用garch族的相關(guān)參數(shù)方法，因?yàn)樗芸坍嫴▌?dòng)率的很多特征，綜上所述，半?yún)?shù)方法就是在估計(jì)分位數(shù)和波動(dòng)率時(shí)，一個(gè)采用參數(shù)法估計(jì)，一個(gè)用非參數(shù)法估計(jì)，以期中和單一使用的弊端。結(jié)合上式(3)(4)，利用歷史模擬法計(jì)算出給定置信度下的var值，用式(3)反求出分位數(shù)Φ－1(c)，替代式(4)中的Zα，即分位數(shù)不再由事先設(shè)定的分布決定，而是由歷史數(shù)據(jù)確定，一定程度上減少了模型的設(shè)定誤差。

3.實(shí)證分析

本文選擇深圳創(chuàng)業(yè)板指數(shù)2010.6.2—2015共計(jì)1218個(gè)收盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù)，并采用對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行分析(rt=lnPt－lnPt－1)，其中前1112個(gè)用于模型的參數(shù)估計(jì)，后106個(gè)用于模型的回測(cè)檢驗(yàn)，此外考慮到本文用于回測(cè)的樣本量較少，在較高置信度下各分析方法的結(jié)果差異較小，不利于比較分析，因此實(shí)證部分只在90%、95%的置信度下進(jìn)行。

3.1 基于GARCH的風(fēng)險(xiǎn)度量

對(duì)收益率序列統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析，結(jié)果如下:

由上圖可知:序列不對(duì)稱，偏度為－0.408046＜0，相比正態(tài)分布，表現(xiàn)為左偏;峰度為3.901532＞3，相比峰度為3的正態(tài)分布，表現(xiàn)為尖峰厚尾特征;此外，JB統(tǒng)計(jì)量分析中給出的概率值0明顯小于通常所給的顯著性水平(一般設(shè)為0.01，0.05，0.1)，故應(yīng)拒絕原假設(shè)，所以，該序列不服從正態(tài)分布，所以傳統(tǒng)基于正態(tài)假設(shè)的做法并不合理。

收益率在零處上下頻繁波動(dòng)，并且在較大的波動(dòng)后面跟隨著較大的波動(dòng)，

較小的波動(dòng)后面緊跟著較小的波動(dòng)，表明收益率序列波動(dòng)性具有明顯的集聚性特征。

步驟1:運(yùn)用ADF和PP檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性，結(jié)果顯示，統(tǒng)計(jì)量的值均小于所給的檢驗(yàn)臨界值，則序列是平穩(wěn)的

步驟2:通過(guò)對(duì)序列m階自相關(guān)和偏自相關(guān)圖的相關(guān)分析，如果統(tǒng)計(jì)量Q對(duì)應(yīng)的概率均大于顯著性水平0.05，故在95%的水平下認(rèn)為序列是不相關(guān)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，序列存在二階自相關(guān)

步驟3:建立AR(2)回歸模型并對(duì)其殘差平方進(jìn)行相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)殘差平方序列具有相關(guān)性，即波動(dòng)率具有arch效應(yīng)，于是引入garch(1，1)模型對(duì)原模型重新估計(jì)并再次對(duì)新回歸模型的殘差平方進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)Arch效應(yīng)消失，即可用garch(1，1)模型進(jìn)行估計(jì)。

3.2 以garch(1，1)模型為例，說(shuō)明Eviews的實(shí)現(xiàn)方式

假設(shè)隨機(jī)變量名為x，則通過(guò)quick—Estimate Equation，由前面的相關(guān)圖分析可知，均值方程是二階自相關(guān)的，即均值方程的形式為 xt=α0+ αxt－1+ βxt－2+ εt，故在窗口輸入 x c ar(1)ar(2)，估計(jì)方法選擇ARCH，在新彈出的窗口分別根據(jù)需要設(shè)置GARCH項(xiàng)、ARCH項(xiàng)的階數(shù)并選擇殘差的分布形式，即可得估計(jì)參數(shù)估計(jì)值，在Equation窗口的forcast選項(xiàng)可得向前估計(jì)值及其條件方差的平方根，這里得到的結(jié)果將用于 var值的計(jì)算。由于不對(duì)稱分布形式很多，如Tgarch，pgarch，Qgarch，Egarch 等，本文僅選擇 Egarch 作為代表進(jìn)行分析，分別基于GARCH－N，GARCH－T，GARCHGED，ENGARCH －N，ENGARCH －T，ENGARCH －GED 對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)，整理估計(jì)過(guò)程中的極大似然值、AIC值及SC值，如下:

GARCH EGARCH正態(tài)分布2880.384－5.179070－5.151978 2880.614－5.179484－5.152392 Stu－t分布2886.428－5.188158－5.156550 2886.884－5.188980－5.157372 GED 2885.901－5.187209－5.155601 2886.129－5.187621－5.156013

由上表不難看出，基于Stu－t分布的估計(jì)效果最好，因?yàn)樗淖畲笏迫恢递^其他最大，AIC及 SC值較其他最小。但基于正態(tài)分布的良好統(tǒng)計(jì)特征，本文選擇在GARCH－N模型基礎(chǔ)上進(jìn)行半?yún)?shù)方法的分析。

3.3 基于歷史模擬法的var度量

按照歷史模擬法的操作步驟可得如下結(jié)果:(限于篇幅，僅截取部分?jǐn)?shù)據(jù))

將1112個(gè)歷史樣本收益率從小到大排序

1－0.08635 2－0.07857 3－0.06384 4－0.06268 5－0.05884 6－0.05867 7－0.05428 8－0.05411 9－0.05261 10 －0.05208 11 －0.0508 12 －0.04964 13 －0.04926－0.0487 14. . .. . .

在99%的置信度下，其對(duì)應(yīng)分位數(shù)為第1112×(1－99%)=11.12個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的值，即第11、12個(gè)數(shù)的平均值，即－0.05022，同理可得95%置信度下對(duì)應(yīng)var值－0.03208;90%置信度下對(duì)應(yīng)var值 －0.0227，在GARCH－半?yún)?shù)法中，只需將歷史模擬法得到的分分位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，替代式(3)中的分位數(shù)，即可得基于歷史模擬的半?yún)?shù)法估計(jì)的VAR值。

3.4 估計(jì)結(jié)果分析

由上圖分析可知，在90%、95%的置信度下，兩種方法的估計(jì)結(jié)果差別不大，90%置信度下回測(cè)分析的失敗次數(shù)均為8，95%置信度下，失敗次數(shù)均為5，說(shuō)明，在降低置信度下，半?yún)?shù)法并沒有很好地改善單純GARCH－N的結(jié)果;但在99%的置信度下，基于正態(tài)分布假設(shè)的GARCH－N模型的風(fēng)險(xiǎn)低估問(wèn)題顯現(xiàn)出來(lái)，表現(xiàn)為該置信度下的兩次回測(cè)失敗，但半?yún)?shù)法在該置信度下有效改善了單純GARCH－N的風(fēng)險(xiǎn)低估問(wèn)題，在上圖中可以也看出半?yún)?shù)法在99%置信度下，回測(cè)沒有失敗，所以在實(shí)證分析中，如果風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較高，一般選擇較高置信度，可以考慮使用半?yún)?shù)法估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。(VAR代表GARCH－N估計(jì)結(jié)果，VARC代表GARCH－N的半?yún)?shù)法估計(jì)結(jié)果)

通過(guò)比較基于GARCH－N模型估計(jì)的VAR、CVAR的結(jié)果可知，相同置信度下，CVAR＞VAR，說(shuō)明CVAR對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)覆蓋度更高，上圖中，90%置信度下，VAR回測(cè)失敗8次，CVAR只失敗5次;95%的置信度下，VAR回測(cè)失敗5次，CVAR失敗3次;99%的置信度下，VAR回測(cè)失敗2次，CVAR失敗次數(shù)為0，說(shuō)明，在相同置信度下，CVAR對(duì)尾部極端值的覆蓋程度更高，風(fēng)險(xiǎn)度量較VAR更穩(wěn)健。

3.5 回測(cè)檢驗(yàn)

分別用GARCH－N法，歷史模擬法與GARCH－N結(jié)合的半?yún)?shù)法，計(jì)算不同置信度下的VAR值、CVAR值并進(jìn)行回測(cè)檢驗(yàn)，整理結(jié)果如下:

由上述回測(cè)結(jié)果可知，GARCH－N、GARCH－N的半?yún)?shù)法的回測(cè)失敗次數(shù)絕大部分落在由Kupiec檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量估計(jì)的合理范圍之內(nèi)，通過(guò)了似然比檢驗(yàn)，說(shuō)明用該方法度量風(fēng)險(xiǎn)是可行的;由上表知，90%置信度下，基于GARCH－N半?yún)?shù)法的回測(cè)失敗次數(shù)為0，并不在Kupiec檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在相應(yīng)置信度下估計(jì)的合理范圍［6，16］之內(nèi)，說(shuō)明CVAR一定程度上高估了風(fēng)險(xiǎn)，99%置信度下也是同樣結(jié)果，這可能是受歷史數(shù)據(jù)的左偏特征的影響;

4.結(jié)論與不足

通過(guò)上述分析可知，不同風(fēng)險(xiǎn)度量的方法主要區(qū)別于以下幾點(diǎn):在對(duì)序列進(jìn)行GARCH模型回歸時(shí)，基于殘差序列分布的不同假設(shè)，形成了GARCH－N，GARCH－T，GARCHGED;基于序列波動(dòng)性的集聚性、不對(duì)稱性等特征，不斷對(duì)條件方差方程進(jìn)行改進(jìn)和補(bǔ)充，形成了諸如 EGARCH、PGARCH及QGARCH等模型;根據(jù)計(jì)算VAR值的公式中分位數(shù)的確定方式不同，可以分為參數(shù)方法和非參數(shù)方法，具體而言，分位數(shù)可以通過(guò)模擬場(chǎng)景得到，比如歷史模擬法，也可以直接假定序列服從某一分布，然后估計(jì)參數(shù)，進(jìn)而得出分位數(shù)，前者可統(tǒng)稱為非參數(shù)法，后者則為參數(shù)法，兩種方法各有利弊，比如，歷史樣本法無(wú)法反應(yīng)比歷史樣本更壞的情形，但能有效處理厚尾和非線性，參數(shù)法應(yīng)用靈活，也要注意減少模型誤設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)。

本文試圖通過(guò)GARCH－N的半?yún)?shù)法估計(jì)CVAR值，即利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)分位數(shù)并將其標(biāo)準(zhǔn)化，再利用CVAR公式進(jìn)行運(yùn)算，但發(fā)現(xiàn)本文歷史樣本數(shù)據(jù)并不支持這種做法，從基于正態(tài)分布的CVAR計(jì)算公式可知，如果基于歷史數(shù)據(jù)，與1－c不能同程度變化，則該歷史樣本不適合用基于歷史模擬法的半?yún)?shù)方法計(jì)算CVAR，本文歷史數(shù)據(jù)得到的標(biāo)準(zhǔn)化后的分位數(shù)為－1.23187(90%)，－1.72886(95%)。

［1］Nelson D.B.Conditional Heteroscedasticity in Asset Returns:A New Approach.Econometrica，1991，(2):347 －370.

［2］Kupiec，Paul H.Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models ［J］.Journal of Derivatives，1995，3(2):73 －84.

［3］RockafellerT，Uryasev S.Optimization of conditional value－ at－ risk［J］.Journal of Risk，2000，2(3):21 －42.

［4］林輝，何建敏.VaR在投資組合應(yīng)用中存在的缺陷與CVaR 模型［J］.財(cái)貿(mào)經(jīng)濟(jì)，2003，(12)

［5］ 張留祿，王楚明.上證指數(shù)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量問(wèn)題研究［N］.華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010.6.15.