從一道“希望杯”賽題談?wù)勅绾伪容^大小

●藍(lán)云波(興寧市第一中學(xué)廣東興寧514500)

從一道“希望杯”賽題談?wù)勅绾伪容^大小

●藍(lán)云波(興寧市第一中學(xué)廣東興寧514500)

題目已知，則x，y 的大小關(guān)系是______.

(第11屆“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽高二試題)

比較大小是數(shù)學(xué)中極為常見和重要的核心內(nèi)容.試題考查了在根式形式下數(shù)值大小的比較，形式優(yōu)美，立意強(qiáng)，解法多姿多彩.雖是一道小題，卻蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想與方法，是一道值得研究的好題.筆者通過從不同視角分析、研究，得出多種解法，現(xiàn)分析如下.

視角1作差

比較大小中，最直接的方式是直接比較，而作差是最常用的方法之一，因而最易想到.如何作差化簡及放縮是關(guān)鍵.

解法1因?yàn)?/p>

視角2作商

比較大小中，另一種直接的方式是作商比較.通過觀察發(fā)現(xiàn)，分子、分母的被開方數(shù)之差都是a，故可利用平方差公式化簡求解.

視角3先化簡再比較

若直接比較大小比較麻煩，先化簡再比較大小也是相當(dāng)不錯(cuò)的策略.

解法3因?yàn)?/p>

視角4構(gòu)造向量

向量是數(shù)學(xué)中的重要工具，兼具形和數(shù)的特點(diǎn)，故可考慮構(gòu)造合適的向量解決.通過觀察，不難構(gòu)造出適合解題的2個(gè)向量，然后利用向量的重要性質(zhì)，解決問題.

視角5利用數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合直觀明了，是解決數(shù)學(xué)問題的一大法寶.構(gòu)造輔助函數(shù)之后，結(jié)果呼之欲出.

解法5如圖1，在函數(shù)的圖像上取不同的點(diǎn)，，.由圖像可知kBC＜kAB，即

圖1

視角6利用主元思想

此題有2個(gè)字母，若以某個(gè)字母為主，另一個(gè)字母為參數(shù)，則可利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決.導(dǎo)數(shù)是研究問題的重要方法之一.

解法6設(shè)，則

因?yàn)?＜a＜b，所以

從而f'(a)＜0，故f(a)在(－∞，b)上單調(diào)遞減.

又因?yàn)閍＞0，所以f(a)＞f(0)=0，即

通過一道小題的多視角分析，打通了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)散了數(shù)學(xué)思維，使知識(shí)與方法融會(huì)貫通，提高了分析問題和解決問題的能力.