對一道意料之外的高考難題的研究

●梅磊(黃陂區(qū)第六中學湖北武漢430300)

對一道意料之外的高考難題的研究

●梅磊(黃陂區(qū)第六中學湖北武漢430300)

1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

此題是該高考卷解答題的第1題，命題者的本意是設計一道相對簡單的試題，使文科考生易于得分，從而增加繼續(xù)考試的信心.但出乎命題人意料的是，此題滿分12分，平均得分為4.73分，實測難度系數(shù)為0.39，成為難題.在133 069名文科考生中，有49 799人得0分.

1 試題的立意研究

本題主要考查兩角和與差的正弦、余弦公式，倍角公式，函數(shù)的對稱性、周期性和值域等基礎知識，同時考查推理論證能力和運算求解能力.

作為考查三角知識的解答題，力求較全面地體現(xiàn)三角函數(shù)的對稱性、周期性、單調性等基本知識和三角變換常用的變角、變名、降次等基本技能，在此基礎上對考生“如何預測變換目標、如何選擇變換公式、如何設計變換途經(jīng)”等方面進行考查.

作為解答題的第1題，試題由文科考生相對熟悉的形式給出，給考生一種似曾相識的感覺，使考生易于得分，從而增加繼續(xù)考試的信心.

2 試題的背景研究

問渠那得清如許，為有源頭活水來!可以看出試題是由人教版課本必修4的多個習題綜合、改編而成的.

題源1已知函數(shù)f(x)=cos4x－2sinxcosxsin4x.

1)求f(x)的最小正周期;

(人教版教材第147頁A組第10題)

題源2容易知道，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心.除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎?如果有，對稱中心的坐標是什么?另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎?如果是，對稱軸的方程是什么?

(人教版教材第46頁A組第11題)

你能用已經(jīng)學過的正弦函數(shù)性質解釋上述現(xiàn)象嗎?對余弦函數(shù)和正切函數(shù)，討論上述同樣的問題.

題源3若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，求常數(shù)m的值及當x∈R時f(x)的最小值，并求相應x的取值集合.

(人教版教材第147頁B組第6題)

不難看出，原題設計的函數(shù)與題源1類似，其三角變換方法也與之完全相同，原題的第1)小題與題源1的第1)小題也一樣，原題“圖像關于直線x=π對稱”的條件正是題源2研究的問題，原題第2)小題利用“圖像經(jīng)過點”求出λ，進而求出函數(shù)的值域，與題源3的利用“f(x)在區(qū)間上的最大值為6求出m，進而求出當x∈R時f(x)的最小值及相應x的取值集合”設計類似.

事實上，課本是高考試題的重要來源.課本，一課之本，是教師的上課之本，是學生的學習之本，更是高考的命題之本!

此外，原題設計的形式是一個文科考生相對熟知的形式，在2006年、2008年和2010年的湖北省數(shù)學高考文科試卷中多次出現(xiàn)，因此原題也可以看成是由以下3道高考題自然發(fā)展而成的.

題源4設向量a=(sinx，cosx)，b=(cosx，cosx)，其中x∈R，函數(shù)f(x)=a·(a+b).

1)求函數(shù)f(x)的最大值與最小正周期;

(2006年湖北省數(shù)學高考文科試題第16題)

題源5已知函數(shù)

1)求函數(shù)f(x)化簡成Asin(ωx+φ)+B(其中A＞0，ω＞0，φ∈［0，2π))的形式，并指出f(x)的周期;

(2008年湖北省數(shù)學高考文科試題第16題)

題源6已知函數(shù)，.

1)函數(shù)f(x)的圖像可由函數(shù)g(x)的圖像經(jīng)過怎樣的變化得出?

2)求函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合.

(2010年湖北省數(shù)學高考文科試題第16題)

不難看出，原題函數(shù)給出的方式與題源5相同，原題函數(shù)三角變換目標形式就是題源2第1)小題的形式，原題第2)小題求函數(shù)在定義域上的值域問題，與題源6第2)小題類似.

事實上，往屆高考試題是新高考試題的重要來源.高考命題強調穩(wěn)定，也就是承認命題是一種自然的發(fā)展，不會有突變，不能割斷歷史.

3 試題的解法研究

思路第1)小題首先根據(jù)三角函數(shù)的表達式進行三角變換，然后利用“圖像關于直線x=π對稱”求出ω，進而求出函數(shù)的周期.第2)小題利用“圖像經(jīng)過點”求出λ，進而求出函數(shù)的值域.

解1)因為

4 試題的錯解剖析

盡管原題源于課本，且在湖北省數(shù)學高考中多次考查，是文科考生相對熟知的形式，但實測難度系數(shù)僅為0.39，意外成為難題.考生思維受阻與典型錯誤主要反映在以下3個方面:

1)在進行三角變換時出錯，或不清楚三角變換的目標形式，或記錯公式(如將正負號弄錯)，或系數(shù)弄丟，或遺漏λ，導致后續(xù)解題出錯;

2)對三角函數(shù)的對稱性等基本性質未掌握，不能將題干“圖像關于直線x=π對稱”轉化為正確的代數(shù)式，誤認為當x=π時，f(x)取最大值;

從上面的分析可以看出，考生出現(xiàn)問題最多的地方都是由于對基礎知識理解不透、掌握不牢、運用不當造成的，因此數(shù)學學習和復習的重點應放在理解課本上.高考數(shù)學考什么?考的是對數(shù)學課本的熟悉、對數(shù)學知識的理解、對數(shù)學能力的強化、對數(shù)學思想的領會、對數(shù)學方法的掌握.

5 試題的價值研究

一個問題的價值并不在于它的深奧，而在于它的示范作用;一道試題的編制并不在于它的精巧，而在于它的檢測功能.原題的價值是什么?要回答這個問題，首先要搞清楚三角變換的實質和學習三角變換的目的.

人教A版教材必修4“三角恒等變換”一章的引言告訴我們:三角變換是只變其形不變其質的，它可以揭示某些外形不同但實質相同的三角函數(shù)式之間的內在聯(lián)系，幫助我們簡化三角函數(shù)式，從而使研究更加方便、有效.三角變換包括變換的對象、變換的目標、以及變換的依據(jù)和方法等要素.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式就是三角變換的基本依據(jù).通過對這些公式的探求，以及利用這些公式進行三角變換，在“怎樣預測變換目標，怎樣選擇變換公式，怎樣設計變換途經(jīng)”等方面作出思考，這些都將幫助我們進一步提高推理能力和運算能力.