一類(lèi)數(shù)列與導(dǎo)數(shù)壓軸試題命題手法揭秘

●楊蒼洲(泉州市第五中學(xué)福建泉州362000)

一類(lèi)數(shù)列與導(dǎo)數(shù)壓軸試題命題手法揭秘

●楊蒼洲(泉州市第五中學(xué)福建泉州362000)

再次研究2011年湖南省數(shù)學(xué)高考理科壓軸試題，解完該試題，一直感覺(jué)意猶未盡.筆者思考:此類(lèi)試題是如何命制的呢?洞悉命題手法是否有助于解題呢?借助此命題手法，是否可以依法炮制出相同類(lèi)型的試題呢?

1 命題手法探究

例1已知函數(shù)f(x)=x3，

1)求函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由;

2)設(shè)數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿(mǎn)足a1=a(其中a＞0)，f(an+1)=g(an)，證明:存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的n∈N*，都有an≤M.

(2011年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題)

讓我們結(jié)合函數(shù)的圖像來(lái)探究問(wèn)題的本原.

首先作出函數(shù)f(x)=x3，的圖像(如圖1所示).從圖1我們可以看出，當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)有2個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)橫坐標(biāo)為0，另一個(gè)記為x0.因此，h(x)=f(x)－g(x)的零點(diǎn)有2個(gè)，其中一個(gè)為0，另一個(gè)為x0.

問(wèn)題1)的編制正是基于上述事實(shí).

圖1

圖2

如圖2，當(dāng)a1=a∈(0，x0)，過(guò)點(diǎn)A1(a1，g(a1))作y軸的垂線(xiàn)，交函數(shù)f(x)的圖像于點(diǎn)B1(a2，f(a2))，顯然g(a1)=f(a2);過(guò)點(diǎn)B1作x軸的垂線(xiàn)，交函數(shù)g(x)的圖像于點(diǎn)A2(a2，g(a2))，再過(guò)點(diǎn)A2作y軸的垂線(xiàn)，交函數(shù)f(x)的圖像于點(diǎn)B2(a3，f(a3))，顯然g(a2)=f(a3)……按照此規(guī)律依次作圖，從圖2可以看出，滿(mǎn)足條件f(an+1)=g(an)的數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且an∈(0，x0).同理，當(dāng)a1=a∈［x0，+∞)時(shí)，可結(jié)合圖像構(gòu)造出滿(mǎn)足條件f(an+1)=g(an)的數(shù)列{an}，且{an}單調(diào)遞減，an∈(x0，a］.因此，存在常數(shù)M= max{x0，a}，使得對(duì)于任意的n∈N*，都有an≤M.

問(wèn)題2)的編制源于上述圖像所呈現(xiàn)的數(shù)列規(guī)律.

2 命題手法對(duì)解題的啟示

在問(wèn)題1)的求解過(guò)程中，大部分解題者采用了下述方法:

當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，h″(x)＞0，因此h'(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則h'(x)在(0，+∞)內(nèi)至多只有1個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)閔'(1)＞0，，則內(nèi)有零點(diǎn)，所以h'(x)在(0，+∞)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).記此零點(diǎn)為x1，則當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，h'(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，而h(0)=0，從而h(x)在(0，x1］內(nèi)無(wú)零點(diǎn);當(dāng)x∈(x1，+∞)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增，又因?yàn)?/p>

所以h(x)在(x1，+∞)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，h(x)有且只有2個(gè)零點(diǎn).

上述解法相對(duì)繁瑣.其實(shí)，在問(wèn)題1)的探究過(guò)程中，若能結(jié)合函數(shù)圖像，則能觀察出:函數(shù)h(x)的零點(diǎn)有2個(gè)，其中一個(gè)為0，另一個(gè)為x0＞0.因?yàn)?，記，所以只需證明φ(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)?，?dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，φ'(x)＞ 0，所以φ(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.由

知φ(x)在(0，+∞)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，h(x)有且只有2個(gè)零點(diǎn).

由于問(wèn)題2)的抽象性與交匯性，使得試題的難度陡然增大，大部分學(xué)生的探究活動(dòng)無(wú)法繼續(xù).實(shí)際上，若能洞悉命題者的命題手法，居高臨下地審視試題，則能預(yù)知所求數(shù)列{an}應(yīng)滿(mǎn)足:當(dāng)a1= a∈(0，x0)時(shí)，{an}單調(diào)遞增，且an∈(0，x0);當(dāng)a1=a∈［x0，+∞)時(shí)，{an}單調(diào)遞減，且an∈(x0， a］(其中x0為函數(shù)h(x)的正零點(diǎn)，即.因此，問(wèn)題2)的求解需分2類(lèi)情況進(jìn)行討論.

由此猜測(cè):當(dāng)a＜x0時(shí)，an＜x0.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=1時(shí)，a1＜x0顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(其中k≥1)時(shí)，有ak＜x0成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

從而ak+1＜x0.故對(duì)任意的n∈N*，an＜x0成立.

同理可猜測(cè):當(dāng)a≥x0時(shí)，an≤a.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明:

①當(dāng)n=1時(shí)，a1≤a顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(其中k≥1)時(shí)，有ak≤a成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

由第1)小題知，h(x)在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，得

得ak+1≤a.故對(duì)任意的n∈N*，an≤a成立.

綜上所述，存在常數(shù)M=max{x0，a}，使得對(duì)于任意的n∈N*，都有an≤M成立.

3 基于此手法的試題命制

學(xué)習(xí)了上述命題手法，筆者嘗試進(jìn)行試題命制，經(jīng)過(guò)努力，得題如下:

例2已知函數(shù)f(x)=ln(x+1).

1)求函數(shù)f(x)在x=0處的切線(xiàn)方程;

2)設(shè)數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿(mǎn)足an+1= f(an)，證明:數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.

分析1)略;

2)若a1＞0，下用數(shù)學(xué)歸納法證:an＞0.

①當(dāng)n=1時(shí)，a1＞0.

②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak＞0.又因?yàn)閍k+1=f(ak)= ln(ak+1)，所以ak+1＞0.

由①②可得，對(duì)于任意n∈N*，an＞0.此時(shí)|an|=an，于是

令g(x)=ln(x+1)－x(其中x＞0)，則

從而g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，于是

即當(dāng)x＞0時(shí)，ln(x+1)＜x.又an＞0，因此

從而數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.同理可證，當(dāng)a1＜0時(shí)，數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.

綜上所述，數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.

例3已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=cx+1.

1)若函數(shù)f(x)的圖像恒在函數(shù)g(x)的圖像的上方，求k的值.

2)當(dāng)c=2，設(shè)數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿(mǎn)足f(an+1)=g(an).試問(wèn)是否存在常數(shù)M∈(1，2)，當(dāng)a1∈(0，M)時(shí)，恒有an∈(0，M)(其中n∈N*).若存在，請(qǐng)寫(xiě)出M滿(mǎn)足的關(guān)系式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析1)略;

2)存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)M，實(shí)數(shù)M應(yīng)滿(mǎn)足

先證方程(1)有且僅有1個(gè)解.令h(x)=ex－(2x+1)，則

當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，h'(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增.又因?yàn)閔(1)=e－3＜0，h(2)=e2－5＞0，所以h(x)在(1，2)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即存在唯一實(shí)數(shù)M∈(1，2)使得方程(1)成立.

下用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)eM=2M+1，a1∈(0，M)時(shí)，恒有an∈(0，M)(其中n∈N*).

①當(dāng)n=1時(shí)，a1∈(0，M).

②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak∈(0，M).因?yàn)閒(ak+1)= g(ak)，所以eak+1=2ak+1.又ak∈(0，M)，從而

即eak+1∈(1，eM)，因此ak+1∈(0，M).

由①②可得，當(dāng)a1∈(0，M)時(shí)，恒有an∈(0，M)(其中n∈N*).