一道調(diào)研題引起的研究

●姜衛(wèi)東 戚有建(揚州中學(xué)江蘇揚州225009)

一道調(diào)研題引起的研究

●姜衛(wèi)東 戚有建(揚州中學(xué)江蘇揚州225009)

很多高考題、?？碱}、調(diào)研題看起來很平常，實際上卻豐富多彩，是命題專家經(jīng)過精心思考命制出來的，有很大的研究空間和教學(xué)價值.本文從一道期末調(diào)研題出發(fā)，首先研究問題的不同解法，然后將問題推廣為一般情況，最后揭示問題的深刻背景.

1 考題展示

例1已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，左焦點為F1(－1，0)，右準(zhǔn)線方程為x=4.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)若橢圓上動點N到定點M(m，0)(其中0＜m＜2)距離的最小值為1，求m的值.

圖1

3)分別過橢圓的4個頂點作坐標(biāo)軸的垂線，圍成如圖1所示的矩形，A，B是矩形的2個頂點.P，Q是橢圓上2個動點，直線OP，OQ與橢圓的另一交點分別為P1，Q1，且直線OP，OQ的斜率之積等于直線OA，OB的斜率之積，試探求四邊形PQP1Q1的面積是否為定值.

答案1);2)m=1;3)面積為定值

點評本題是江蘇省揚州市2015年1月高二期末調(diào)研試題的第19題，即試卷的倒數(shù)第2題，是該卷的選拔題，考查了橢圓的方程和性質(zhì)、橢圓中的最值問題、橢圓中的定值問題.第1)小題學(xué)生很容易上手，用待定系數(shù)法求出基本量a，b即可;第2)小題用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題來處理，但要注意隱含的定義域，實際上這是由橢圓的范圍(有界性)引起的;第3)小題用解析法來處理，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的研究空間.在這里，筆者重點研究第3)小題.

2 解法探究

解法1(以k為參數(shù))設(shè)直線OP的方程為y=kx，代入，整理得

點評解法1以直線OP的斜率k為參數(shù)，解出點P，Q的坐標(biāo)，然后求|OP|及d，從而求面積.由于解題過程中僅涉及一個參數(shù)k，因此思路清晰，目標(biāo)集中，學(xué)生容易把握.要注意的是，在求△OPQ的面積時，要合理選擇底邊，閱卷時發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生選PQ為底邊，導(dǎo)致計算繁雜，很難進展下去.實際上，以O(shè)P為底邊要比以PQ為底邊簡單得多.

解法2(以k，b為參數(shù))當(dāng)直線PQ⊥x軸時，易得

點評解法2以直線PO的斜率k和截距b為參數(shù)，不需要解出點P，Q的坐標(biāo)，借助韋達定理求|PQ|，從而求面積.此解法通俗易懂，學(xué)生容易想到，但是由于解題過程中涉及2個參數(shù)k，b，因此消參時有一定困難，對學(xué)生的運算要求較高.

解法3(以x1，y1，x2，y2為參數(shù))設(shè)P(x1， y1)，Q(x2，y2)，則由，得

點評解法3以點P，Q的坐標(biāo)x1，y1，x2，y2為參數(shù)，通過代數(shù)運算(坐標(biāo)運算)來解決幾何問題(面積問題)，設(shè)而不求，充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.但由于解題過程中涉及4個參數(shù)x1，y1，x2，y2，因此消參時有一定困難，對代數(shù)變形的要求較高.

另外，解法3中在求S△OPQ時也可以用公式來處理，過程如下:

可以看出(圖1),淮海經(jīng)濟區(qū)各城市旅游經(jīng)濟與城鎮(zhèn)化的耦合度呈現(xiàn)非均衡的空間格局,耦合度值從0.258到1.000分布不等．3個年份最低的分別為棗莊、蚌埠和商丘,最高的分別為濟寧(2005，2010年)和臨沂,說明其分布極不穩(wěn)定．淮海經(jīng)濟區(qū)3年的耦合度均值分別為0.926,0.898和0.947,表明淮海經(jīng)濟區(qū)旅游經(jīng)濟和城鎮(zhèn)化復(fù)合系統(tǒng)整體上還處于高水平階段．省域?qū)Ρ葋砜?耦合度由高到低分別為豫東、魯南、蘇北和皖北地區(qū)．

解法4(以α，β為參數(shù))設(shè)，則由，得

點評解法4實際上是聯(lián)想到橢圓的參數(shù)方程進行三角換元，以α，β為參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為2個三角式來處理，解法優(yōu)美，過程簡潔.回顧以上4種解法，方法迥異又有異曲同工之處，求解過程中都經(jīng)歷了“引參、用參、消參”三步曲.

3 推廣研究

結(jié)論分別過橢圓(其中a＞b＞0)的4個頂點作坐標(biāo)軸的垂線，圍成如圖1所示的矩形，A，B是所圍成的矩形在x軸上方的2個頂點，P，Q是橢圓上2個動點，直線OP，OQ與橢圓的另一交點分別為P1，Q1.若直線OP，OQ的斜率之積等于直線OA，OB的斜率之積，則四邊形PQP1Q1的面積為定值2ab.

證明過程類似，從略.

4 背景研究

實際上，單位圓x2+y2=1通過變換T:可以化為橢圓，該變換具有如下性質(zhì):

性質(zhì)1直線在變換后，得到的仍然是直線，并且垂直于坐標(biāo)軸的直線變換后仍垂直于坐標(biāo)軸，不垂直于坐標(biāo)軸的直線的斜率變?yōu)樵瓉淼谋?

性質(zhì)2在變換前后對應(yīng)線段的長度之比不變.

性質(zhì)3若直線和圓相切(相交、相離)，則變換后直線和橢圓相切(相交、相離).

用上面的伸縮變換知識來解釋本題過程如下:因為在變換后的橢圓中，根據(jù)上面的性質(zhì)1可得，在變化前的單位圓中“kOPkOQ=－1”，從而OP⊥OQ，因此四邊形PQP1Q1為正方形，故S正方形PQP1Q1=2.再根據(jù)上面的性質(zhì)4可得，變換后橢圓中的S四邊形PQP1Q1=2ab.原來如此!

5 背景應(yīng)用

筆者做了一些研究，發(fā)現(xiàn)很多高考題都與伸縮變換有關(guān)，有些試題利用伸縮變換可以得到簡潔解，有些試題就是通過伸縮變換命制出來的.

例2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓的左頂點、下頂點，過坐標(biāo)原點O的直線交橢圓于點P，A，其中點P在第一象限.過點P作x軸的垂線，垂足為C，聯(lián)結(jié)AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.

圖2

1)若直線PA平分線段MN，求k的值;

2)當(dāng)k=2時，求點P到直線AB的距離d;

3)對任意的k＞0，求證:PA⊥PB.

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第18題)

答案1)2)3)略.

點評對于第3)小題，標(biāo)準(zhǔn)答案給出了2種解法，但運算量都較大，許多考生都因運算繁雜沒能做到底.實際上，借助伸縮變換，能得到簡潔的證法.由圓的幾何性質(zhì)及伸縮變換的性質(zhì)可得

這種解法不僅簡潔，而且更能看出橢圓與圓的緊密聯(lián)系!

例3如圖3，已知點A(0，－2)，橢圓(其中a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓的焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點.

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)過點A的直線l與橢圓相交于點P，Q，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.

(2014年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷第20題)

圖3

圖4

答案1);2)

點評先通過伸縮變換化歸為有關(guān)圓的問題，就是這樣一道題:

如圖4，過點A(0，－2)的直線l與圓x2+y2= 1相交于點P，Q，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.

此時非常簡單，由于

故當(dāng)∠POQ=90°時，

6 反思感悟

利用伸縮變換將圓與橢圓進行互化，通過圓的問題產(chǎn)生橢圓的問題，將橢圓的問題化歸為圓的問題來解決，這實際上正是關(guān)系映射反演方法的一個具體應(yīng)用，其中的關(guān)系可用圖5表示:

圖5