一道“最值”試題的講評歷程與教學(xué)啟示

●崔道永(沛縣中學(xué)江蘇沛縣221600)

一道“最值”試題的講評歷程與教學(xué)啟示

●崔道永(沛縣中學(xué)江蘇沛縣221600)

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)常以試題為載體，試題可以選取千錘百煉的經(jīng)典試題，也可以選取富有變化的創(chuàng)新試題，但選取的原則都要具有夯實(shí)基礎(chǔ)知識、熟練基本技能、貫通基本思想方法的功能，教學(xué)中應(yīng)該挖掘試題本身的價(jià)值以提高復(fù)習(xí)的有效性.最值問題在高考中出現(xiàn)的頻率較高，常常受到命題專家的青睞，現(xiàn)筆者以講解一道最值問題時(shí)出現(xiàn)的一個(gè)片段為例，談?wù)剬Ω呷龜?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的一些看法，不當(dāng)之處望同行指正.

1 試題呈現(xiàn)

例1若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=2(x+y)，則x+y的最大值為______.

2 教學(xué)實(shí)錄

師:觀察試題結(jié)構(gòu)，如何處理?

生1:運(yùn)用基本不等式進(jìn)行放縮，從而構(gòu)建關(guān)于x+y的不等式?

師:如何構(gòu)建?

生1:條件x2+y2=2(x+y)可化為(x+y)2－2(x+y)=2xy，運(yùn)用基本不等式，得

令x+y=t，可得

易得tmax=4.

師:很具體.還有其他思路嗎?

(小組活動(dòng)，時(shí)間5分鐘.)

設(shè)計(jì)意圖這里通過對試題表征的觀察，讓學(xué)生掌握解決此類題目的通性通法(其實(shí)通性通法在應(yīng)試中才是學(xué)生致勝的法寶).接著教師又拋出問題“還有其他思路嗎?”促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步觀察試題.通過小組合作交流、探究問題可以幫助基礎(chǔ)較差的學(xué)生查漏補(bǔ)缺，通過合作研究新思路、新解法也可促進(jìn)并提高學(xué)生思維的靈活性與廣闊性.

設(shè)計(jì)意圖繼續(xù)鞏固平方平均數(shù)與代數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系，以及基本不等式等重要的不等式模型，加深學(xué)生利用這些不等式模型構(gòu)造不等關(guān)系的理解.

師:審視條件x2+y2=2(x+y)，我們能聯(lián)想到什么?看結(jié)論x+y的特點(diǎn)再聯(lián)想，我們在什么情況下經(jīng)常碰到?

生3:令x+y=t，可以采取線性規(guī)劃的方法:滿足條件的點(diǎn)(x，y)均在以(1，1)為圓心、為半徑的圓上，而目標(biāo)函數(shù)可化為y=－x+t，其中t的幾何意義為直線在y軸上的截距，最優(yōu)解就是動(dòng)直線與圓相切時(shí)2個(gè)切點(diǎn)中的一個(gè).

生4:x2+y2=2(x+y)可化為

不難求得其最大值為4.

師:生3是從數(shù)形結(jié)合的角度研究最值，生4則是從函數(shù)的角度研究最值，很好!但從科學(xué)的角度來說，線性規(guī)劃是建立在線性的可行域與線性的目標(biāo)函數(shù)之上，在這里不能稱“線性規(guī)劃的方法”，而是采用了“線性規(guī)劃的思想”.

(生3、生4板書過程，全體學(xué)生查漏補(bǔ)缺，時(shí)間5分鐘.)

師:大家能否總結(jié)與點(diǎn)評本題的解題思想?

生5:解決最值問題常用的方法有函數(shù)思想、基本不等式、直接或間接建構(gòu)不等式、數(shù)形結(jié)合等，我們還應(yīng)該注意隱含條件的發(fā)掘與使用.

(學(xué)生自主整理1分鐘.)

師:很好!下面看變式練習(xí).

生6:受生3的啟發(fā)，我還有另一種方法:x+ y=t可變形為

代入x2+y2=2(x+y)，得

令判別式Δ=4t2－4×2(t2－2t)≥0，也可求得t的最大值為4.

點(diǎn)評1)對問題的表征能力是學(xué)生需要周而復(fù)始磨練的主要能力，不僅僅是簡單地對條件與結(jié)論的分析，更重要的是不斷地參與和積累;2)教學(xué)不是簡單地重復(fù)，也不是機(jī)械地羅列，分析完一道試題的表征與解法不要直接進(jìn)行下一題，要給學(xué)生留出短暫的時(shí)間內(nèi)化(該課中，教師故意留出1分鐘，這可以形成一種習(xí)慣，而我們經(jīng)?？吹皆S多教師講完第1題緊接著第2題、第3題，久而久之學(xué)生會變成呆板的解題工具而缺乏靈氣);3)讓學(xué)生自主探究并總結(jié)問題的主要思想方法等核心內(nèi)容，對提升學(xué)生的問題遷移能力意義深遠(yuǎn)(生5將解決最值問題的方法進(jìn)行了梳理，本身就是對知識體系的補(bǔ)充與完善);4)教學(xué)過程不可操之過急，否則學(xué)生會失去自我表現(xiàn)的機(jī)會(生6在教師要進(jìn)入下一環(huán)節(jié)時(shí)補(bǔ)充了判別式法，雖然不常用但讓我們眼前為之一亮).因此，不要小看學(xué)生的能力，更不要吝惜課堂上看似寶貴的45分鐘，讓學(xué)生盡情地發(fā)揮.這樣的課堂容量不一定小!

變式練習(xí)已知x＞0，y＞0，且滿足x+3y+ xy=9，求x+3y的最小值.

設(shè)計(jì)意圖無論是復(fù)習(xí)課中的鞏固性練習(xí)還是試卷講評課中的補(bǔ)救性練習(xí)都是深化知識的必要步驟.簡單的就題論題當(dāng)時(shí)有一些作用，但會隨著時(shí)間的流逝遺忘殆盡，而變式練習(xí)作為加深問題理解的主要形式，不要僅僅局限于簡單的數(shù)字與字母變化，應(yīng)有一定的梯度且能暴露重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，否則就不能刺激學(xué)生對問題的二次理解.變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可以是正向的也可以是逆向的，甚至可將題目的條件與結(jié)論均作適當(dāng)調(diào)整，只要能反映相似或相關(guān)的思想方法即可.

師:觀察本題如何解決? (小組合作交流5分鐘.)生7:x+3y+xy=9可化為

令x+3y=t，得

可求出x+3y的最小值為6.

師:用基本不等式配湊時(shí)需要簡單的系數(shù)變換，很好!還有嗎?

師:“三相等”滿足嗎?

生8:應(yīng)該吧!

師:不能妄加推斷，哪位學(xué)生幫幫他?

生10:借鑒生8的解法，還能利用導(dǎo)數(shù)法:令

最小值應(yīng)該在函數(shù)的極小值點(diǎn)處取得，但生9求變量的范圍不可省略.

(生8、生10通過板演檢驗(yàn)解法的可行性，時(shí)間5分鐘.)

點(diǎn)評通過例1的教學(xué)過程，學(xué)生基本掌握了求最值的常用方法，收獲了對隱含條件深究的意識，甚至還輕松地發(fā)現(xiàn)了解決超越函數(shù)最值的常用方法——導(dǎo)數(shù).部分學(xué)生對該問題的認(rèn)識比較到位，同時(shí)其他學(xué)生開闊了視野并拓寬了思路.

生11:作為生7的補(bǔ)充:x+3y+xy=9也可變形為

在“乘積一定”的條件下，如何將x+3y變形，再利用“乘積一定，和最小”呢?

點(diǎn)評將x+3y+xy=9變形為(x+3)(y+ 1)=12屬于逆向思維，該方法難度大，同時(shí)將x+ 3y配湊為(x+3)+3(y+1)－6也需要一定的基礎(chǔ).生11向大家提出的問題是本節(jié)課的一次質(zhì)的飛躍，他代替教師進(jìn)行了提問、啟發(fā)、點(diǎn)撥，最終使問題得以圓滿解決.

3 教學(xué)啟示

3.1 教學(xué)中教師的角色應(yīng)該發(fā)生轉(zhuǎn)變

“如何提高數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效”對每一個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者來說都是永恒的話題.隨著課改的實(shí)施，數(shù)學(xué)教學(xué)的方式方法發(fā)生了翻天覆地的變化，以適應(yīng)時(shí)代對高中學(xué)生越來越嚴(yán)格的知識與能力要求.通過以“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”為指導(dǎo)方針的自主學(xué)習(xí)方式進(jìn)行知識建構(gòu)，能逐步幫助學(xué)生內(nèi)化知識、提高能力、提升素養(yǎng)，同時(shí)也必然會成為切合實(shí)際的有效教學(xué)方式.

2013年，江蘇省徐州市教育局以政府行為在全市各中小學(xué)大力推進(jìn)“學(xué)進(jìn)去，講出來”的教學(xué)模式(簡稱“學(xué)講方式”)，取得了有目共睹的實(shí)效，其意義就是加大學(xué)生活動(dòng)的自主性，要求學(xué)生積極參與到活動(dòng)中來，通過小組合作交流不僅自己學(xué)會而且能講給別人聽.有專家認(rèn)為最高層次的教學(xué)是教師不講(如果受學(xué)生基礎(chǔ)等因素的制約一時(shí)做不到也應(yīng)該少講而不是越俎代庖)，只有將時(shí)間還給學(xué)生，通過不斷地邊學(xué)邊講必然會使他們由“學(xué)會”走向“會學(xué)”.

本節(jié)課的教學(xué)片段源于高三基本不等式的專題復(fù)習(xí)，在此之前學(xué)生對最值問題已經(jīng)有了整體的認(rèn)知基礎(chǔ).在這里，教師僅僅扮演引路人的角色，同時(shí)不同層次的學(xué)生均得到進(jìn)步的快樂.由此可見，將課堂還給學(xué)生并通過師生、生生之間的提問、交流，不僅可以加深對問題的理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性、廣闊性、批判性.

一道例題及一道變式練習(xí)在傳統(tǒng)式的教學(xué)框架下估計(jì)10分針就可以完成，而本節(jié)課學(xué)生活動(dòng)則花去了大半時(shí)間，很多教師認(rèn)為這樣會耽誤教學(xué)進(jìn)度，但仔細(xì)回想，活動(dòng)性強(qiáng)的課或許更有意義.記得多年前的一次經(jīng)歷:期中考試前一天模擬試卷評講的一道原題在第二天的期中考試中出現(xiàn)了，而該題的得分率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低出預(yù)期的估計(jì).這說明傳統(tǒng)、機(jī)械的“教師講、學(xué)生聽”在一定程度上效率不高，相反看似費(fèi)時(shí)費(fèi)力的活動(dòng)課效率也不一定低，因?yàn)楹笳邔W(xué)生通過自己動(dòng)手、動(dòng)腦后有真真切切的收獲.當(dāng)然這里讓課堂慢下來不是消極地慢也不是機(jī)械地等待，而是教師要把功夫花在研究上，使課堂更有活力.

3.2 高三復(fù)習(xí)選擇的試題應(yīng)以點(diǎn)帶面——認(rèn)真選取“骨架題”

低檔題、中檔題及難題在高考中的比例為4∶4∶2，由此可見80%的內(nèi)容為難度不大的基礎(chǔ)知識.如何掌握這些知識并融會貫通?在高三復(fù)習(xí)的過程中，或許學(xué)生應(yīng)該用大量時(shí)間反復(fù)錘煉試題，但教師不得不思考一個(gè)問題:很多高三學(xué)生在經(jīng)歷高一、高二及高三的一輪、二輪、三輪甚至更多輪的復(fù)習(xí)不知做了多少套模擬、全真試題;經(jīng)歷了多少次調(diào)研、質(zhì)檢考試;用了多少本參考書，試題做了不下幾萬道，但在20多道高考試題面前還是顯得力不從心，為什么功夫與效果不成正比?為什么量變沒有引起質(zhì)變?我們是否夸大了題海戰(zhàn)術(shù)的作用?減負(fù)增效的出路何在?

在典型試題的框架下挖掘試題的價(jià)值并通過反復(fù)的打磨加工，通過少量的試題讓學(xué)習(xí)變得有意義更輕松，選取“骨架題”越來越成為大家的共識.所謂骨架題就是那些與骨架內(nèi)容(重要概念、公式)相關(guān)的試題，選取骨架題難度不一定要大，只要它們能客觀地反映問題解決的內(nèi)容、思想、方法即可，這一學(xué)習(xí)的目的在于把握整體的骨架.其實(shí)，很多課本上的試題都可作為骨架題的素材，課程標(biāo)準(zhǔn)對基礎(chǔ)題就有略高于課本甚至來源于課本的要求.

本文的例1及它的變式練習(xí)反映了解決最值問題幾乎所有的方法，即:函數(shù)思想、不等式、數(shù)形結(jié)合，不僅鞏固了之前復(fù)習(xí)過的簡單函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃等內(nèi)容，還加深了對基本不等式及重要不等式的認(rèn)知，在高三后期復(fù)習(xí)中意義更重要.為此，教師可以編制為數(shù)不多的幾道試題，還可以選取簡單的填空、判斷、選擇題等，不必拘泥于形式，讓學(xué)生感覺負(fù)擔(dān)不重、有意義、對高考更有指向性，長期堅(jiān)持可以使學(xué)生對知識的來龍去脈更清晰，對問題解決的思想方法認(rèn)識更透徹，對問題的表征能力、遷移能力更強(qiáng)化.

意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家巴萊多發(fā)現(xiàn)了著名的“二八定律”，其內(nèi)容是:任何事物中最重要的、起決定性的只占20%，其余的80%卻是次要的、非決定性的.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視那寶貴的20%有決定性的骨架內(nèi)容，骨架題可以將骨架內(nèi)容串聯(lián)起來，這樣可以真正避免過度教學(xué)，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效.

3.3 形成機(jī)制，長效滾動(dòng)

艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們:隨著時(shí)間的流逝，記憶也呈現(xiàn)有規(guī)律的變化趨勢.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要一種長效的機(jī)制不斷地刺激學(xué)生的思維，而滾動(dòng)練習(xí)就是效果明顯的教學(xué)策略之一.所謂滾動(dòng)練習(xí)，就是在正常的教學(xué)計(jì)劃的基礎(chǔ)上，每過一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行復(fù)習(xí)、提高的訓(xùn)練.現(xiàn)在的高三復(fù)習(xí)往往都是一個(gè)專題接一個(gè)專題，到考試時(shí)來一個(gè)突擊復(fù)習(xí)，很多教師抱怨學(xué)生把講過的內(nèi)容還給了自己.如果能做到有效設(shè)計(jì)滾動(dòng)練習(xí)，那么學(xué)生不至于只記住剛講過的內(nèi)容.

1)在下一專題復(fù)習(xí)時(shí)，不斷注意與上一個(gè)或幾個(gè)專題的聯(lián)系，給學(xué)生留有足夠的時(shí)間探究問題的不同解法，不僅可以發(fā)現(xiàn)新知，更重要的是還能鞏固舊知.通過一題多變、一題多解、多題一解，最終實(shí)現(xiàn)多題歸一并形成網(wǎng)絡(luò).

2)高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)緊張而有節(jié)奏，很多內(nèi)容高考的要求很簡單，但要靠學(xué)生不斷地練習(xí)形成感覺，針對這些內(nèi)容采取長效滾動(dòng)也會提高教學(xué)的效率.如果在學(xué)習(xí)的過程中按階段不停地有規(guī)律地進(jìn)行數(shù)量不多、難度不大的專題滾動(dòng)練習(xí)，再經(jīng)歷系統(tǒng)復(fù)習(xí)的磨練，這些問題可能已不再是問題，也將為高考打下更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).