生物液膜振蕩器中的振動(dòng)共振

董 濤，李 軍

（晉中學(xué)院化學(xué)化工學(xué)院，山西晉中030600）

（編輯 楊樂中）

Benzi等在研究周期循環(huán)的冰期氣候系統(tǒng)時(shí)提出了隨機(jī)共振（stochastic resonance，SR）的概念［1］.隨機(jī)共振是指在非線性系統(tǒng)中，噪聲在特定條件下可以提高系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的響應(yīng).在特定的噪聲強(qiáng)度下系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)的響應(yīng)達(dá)到極大值.幾十年來，隨機(jī)共振的研究一直是非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)之一.2000年Landa等［2］發(fā)現(xiàn)了另一種與隨機(jī)共振相類似的現(xiàn)象—振動(dòng)共振（Vibrational resonance，VR）.振動(dòng)共振是非線性系統(tǒng)在高、低兩種不同頻率信號(hào)作用下，以高頻信號(hào)為調(diào)制信號(hào)，通過調(diào)節(jié)高頻信號(hào)的幅值或頻率來改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，使系統(tǒng)對(duì)低頻信號(hào)的響應(yīng)幅值達(dá)到極值［3］.這樣的雙頻信號(hào)在激光［4］、聲學(xué)［5］、神經(jīng)系統(tǒng)科學(xué)［6］等領(lǐng)域的研究中的確存在，因此振動(dòng)共振的研究具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.隨著研究的深入，人們?cè)陔p穩(wěn)［7~9］、多穩(wěn)［10~11］、可激［12~13］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［14~15］等系統(tǒng)都發(fā)現(xiàn)了振動(dòng)共振現(xiàn)象.例如：在雙穩(wěn)系統(tǒng)中 Yang等的研究發(fā)現(xiàn)，時(shí)間延遲可以在單一系統(tǒng)以及耦合系統(tǒng)中誘導(dǎo)出振動(dòng)共振［16~17］.Hu等在可激系統(tǒng)的研究中發(fā)現(xiàn)高頻信號(hào)和時(shí)間延遲的協(xié)同作用可以使微弱的低頻信號(hào)被強(qiáng)化［18］.Jeevarathinam C等人研究了多重時(shí)間延遲對(duì)單一杜芬振子振動(dòng)共振以及耦合杜芬振子系統(tǒng)信號(hào)傳遞的影響，發(fā)現(xiàn)在合適的條件下信號(hào)可以無衰減地進(jìn)行傳播［19］；Yang等人則報(bào)道了過阻尼三勢(shì)阱振子系統(tǒng)中振動(dòng)雙共振現(xiàn)象[20].

膜過程對(duì)于生命體維持正常的生命過程非常重要，在生命科學(xué)領(lǐng)域可興奮膜的動(dòng)力學(xué)研究一直以來備受重視.近年來，人工可興奮膜作為簡(jiǎn)單、有效的模型常被用來模擬生物膜，以研究其動(dòng)力學(xué)行為.這其中油/水液膜是最具希望的可興奮生物膜的簡(jiǎn)單模型，考慮到動(dòng)力學(xué)行為的相似性，油/水液膜常被用來模擬味覺和嗅覺細(xì)胞膜.迄今為止，在眾多人工可興奮膜型中，一般認(rèn)為Yoshikawa小組提出的液膜振蕩器模型是最完整、最成功的［21］.針對(duì)液膜振蕩器，以前的研究工作大都集中在隨機(jī)共振的相關(guān)研究上，例如：Xin小組研究發(fā)現(xiàn)在合適的條件下噪音可以誘導(dǎo)液膜振蕩器發(fā)生隨機(jī)共振和內(nèi)信號(hào)隨機(jī)共振現(xiàn)象［22~24］.Li等研究發(fā)現(xiàn)在兩個(gè)耦合液膜振蕩器中環(huán)境噪音也可以誘導(dǎo)出內(nèi)信號(hào)隨機(jī)共振［25］.然而，到目前為止，對(duì)液膜振蕩器振動(dòng)共振研究目前尚未見報(bào)道.筆者認(rèn)為研究液膜振蕩器中的振動(dòng)共振行為有助于揭示味覺和嗅覺細(xì)胞探測(cè)微弱信號(hào)的內(nèi)在機(jī)理.

1 模型和計(jì)算方法

本文采用Yoshikawa等提出的液膜振蕩器模型［21~22］，其動(dòng)力學(xué)方程式如下：

X，Y，Z分別代表表面活性劑，協(xié)同物和活性劑-協(xié)同物的加合物的濃度.下標(biāo)b和i表示體系和油/水界面.G（Zi）是使體系表現(xiàn)出興奮性的N型非線性函數(shù)，為使方程的解正定化，一般取：

為研究高、低兩種不同頻率信號(hào)的引入對(duì)液膜振蕩器振蕩行為的影響，在Xb項(xiàng)加入高頻和低頻信號(hào)：（2）

這里方程（2）中的第二項(xiàng)表示加入的低頻信號(hào)，振幅為A，頻率為ω；第三項(xiàng)表示加入的高頻信號(hào)，振幅為B，頻率為Ω，一般Ω?ω.

為了表征體系的振動(dòng)共振，本文計(jì)算了輸出信號(hào)（Zi）對(duì)輸入低頻信號(hào)頻率（ω）的線性響應(yīng)（Q）［26］，計(jì)算公式如下:

其中n是一個(gè)整數(shù)，方程（1-3）式是用步長(zhǎng)為0.01時(shí)間單位的四階龍格—庫塔方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的.在計(jì)算中，持續(xù)時(shí)間為500時(shí)間單位.

2 結(jié)果與討論

2.1 液膜振蕩器中的振動(dòng)共振

根據(jù)參考文獻(xiàn)［22］，當(dāng)體系參數(shù) DX=2.0，DY=1.0，K1=1.4，K2=1.4，K3=20.0，K4=5.0，K5=-7.0，K6=3.30，K7=20.0，Yb=3.00；Xb=2.2-2.6時(shí)體系處于雙穩(wěn)區(qū)，這為選取控制參數(shù)的值提供了依據(jù).首先選取Xb=2.475，以討論體系處于雙穩(wěn)態(tài)時(shí)的振動(dòng)共振規(guī)律.選取Ω=5；A=0.01，圖1給出了低頻信號(hào)頻率ω取不同值時(shí)，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線.從圖1(a)可以看出當(dāng)ω=0.001時(shí)，隨著B的增大，線性響應(yīng)Q出現(xiàn)了多個(gè)峰，這表明發(fā)生了多重振動(dòng)共振［27~29］，多重振動(dòng)共振的出現(xiàn)說明體系的信號(hào)可以在不同的高頻信號(hào)振幅處被放大；另外在其他低頻頻率下，如圖1(b)ω=0.01，圖1(c)ω=0.02時(shí)也觀察到了類似的多重振動(dòng)共振.對(duì)比圖1(a)(b)(c)三個(gè)圖，隨著ω從0.001增大到0.02，多重共振峰對(duì)應(yīng)的線性響應(yīng)Q均值從4.6227降低到0.895左右，這說明隨著ω增大，振動(dòng)共振強(qiáng)度降低了，也就是說低頻信號(hào)的頻率越低，系統(tǒng)的振動(dòng)共振強(qiáng)度越大.這與我們研究鈣離子體系的振動(dòng)雙共振控制時(shí)的結(jié)論［27］以及林敏［30］等在研究雙穩(wěn)系統(tǒng)的振動(dòng)共振時(shí)的結(jié)論相一致.

圖1 低頻信號(hào)頻率ω取不同值時(shí)，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線Fig.1 Response(Q)of the system vs the amplitude(B)of the high frequency signal at various frequencies(ω)of low frequency signals(a)ω =0.001;(b)ω=0.01;(c)ω=0.02.parameters:DX=2.0,DY=1.0,K1=1.4,K2=1.4,K3=20.0,K4=5.0,K5=-7.0,K6=3.30,K7=20.0,Yb=3.00，Xb=2.475,Ω=5;A=0.01

固定參數(shù)ω=0.01；A=0.01，圖2給出了高頻信號(hào)頻率Ω取不同值時(shí)，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線.如圖所示，隨著Ω從4.97增大到5.3，多重振動(dòng)共振的峰均值從1.1162先增大到1.1170再減小到1.1130，這說明存在最佳的高頻信號(hào)頻率使得體系的多重振動(dòng)共振達(dá)到最強(qiáng).為了印證這一結(jié)論，我們進(jìn)一步研究了線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線，如圖3所示（固定參數(shù)ω=0.01；A=0.01；B=70），可見，隨著Ω增大，線性響應(yīng)Q出現(xiàn)了多個(gè)峰，說明存在多個(gè)高頻信號(hào)頻率，使得體系的低頻信號(hào)被放大.仿照前面的多重振動(dòng)共振定義，可以把這種多重共振稱為高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振[10，16].那么，對(duì)于不同振幅或頻率的低頻信號(hào)，這種高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振是否還會(huì)出現(xiàn)呢？因此我們首先固定參數(shù)ω=0.01；B=72，研究了低頻信號(hào)振幅A取不同值時(shí)，線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線（圖4），從圖上可以看出，不同的低頻信號(hào)振幅，隨著高頻信號(hào)的頻率逐漸增大，體系依然可以出現(xiàn)高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振，而且隨著信號(hào)振幅A從0.0001增大到0.1，高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振曲線逐漸上移；高頻信號(hào)頻率越大，對(duì)應(yīng)的共振峰上移的程度越大.這表明利用振動(dòng)共振，體系對(duì)大振幅的低頻信號(hào)的放大程度要比小振幅的低頻信號(hào)大.這與大振幅的低頻信號(hào)本身具有的能量大有關(guān).這是因?yàn)樵诟哳l信號(hào)的振幅固定為B=72的條件下，通過振動(dòng)共振的能量傳遞，高頻信號(hào)傳遞給低頻信號(hào)的能量是一樣的，而振幅大的低頻信號(hào)本身具有的能量大，兩者疊加從而導(dǎo)致其被放大的倍數(shù)大.接著固定參數(shù)A=0.01；B=72研究了低頻信號(hào)頻率ω取不同值時(shí)，線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線（圖5）.從圖5可見，ω=0.009，0.02時(shí)，體系都有高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振發(fā)生.所不同的是，ω=0.009時(shí)的平均共振強(qiáng)度Q=1.6145，ω=0.02時(shí)的平均共振強(qiáng)度Q=0.08965，這說明ω=0.009時(shí)的平均共振強(qiáng)度要比ω=0.02的大，即頻率越低，系統(tǒng)的高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振強(qiáng)度越大.

2.2 負(fù)反饋機(jī)制對(duì)體系振動(dòng)共振的影響

借鑒林敏等［31］在研究雙穩(wěn)體系隨機(jī)共振的控制時(shí)提出的反饋機(jī)制，采用如圖6所示的振動(dòng)共振線性反饋控制原理研究反饋對(duì)體系振動(dòng)共振的影響，這種反饋機(jī)制在我們研究鈣離子體系的振動(dòng)雙共振控制時(shí)被證明是有效的［27］.與圖6相對(duì)應(yīng)的體系動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)椋?/p>

圖2 高頻信號(hào)頻率Ω取不同值時(shí)，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線Fig.2 Response(Q)of the system vs the amplitude(B)of the high frequency signal at various frequencies(Ω)of high frequency signals ω=0.01.Other parameters are the same as those in Fig.1.

圖3 線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線Fig.3 Response(Q)of the system vs the frequencies(Ω)of high frequency signals ω=0.01;B=70.Other parameters are the same as those in Fig.1.Fig.1.

圖4 低頻信號(hào)振幅A取不同值時(shí),線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線Fig.4 Response(Q)of the system vs the frequencies(Ω)of the high frequency signal at various amplitudes(A)of low frequency signalsω=0.01;B=72.Other parameters are the same as those in Fig.1.

圖5 低頻信號(hào)頻率ω取不同值時(shí)，線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線Fig.5 Response(Q)of the system vs the frequencies(Ω)of the high frequency signal at various frequencies(ω)of low frequency signalsA=0.01;B=72.Other parameters are the same as those in Fig.1.

方程（4）中f（x）是反饋函數(shù)，反饋函數(shù)前的負(fù)號(hào)表示負(fù)反饋機(jī)制，取反饋函數(shù)f（x）=kXi，其中k是反饋參數(shù).

圖6 振動(dòng)共振的反饋控制示意圖Fig.6 Scheme of the feedback control for vibrational resonance Asin(ωt)and Bsin(Ωt)are the low frequency and high frequency signals,respectively.parameters:A and B(the amplitude of signals),ω andΩ (the frequency of signals),f(x)is the feedback function,-denotes negative feedback

圖7 是不同反饋參數(shù)k時(shí)，線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線（固定參數(shù)ω=0.01；Ω=5；A=0.01）.從圖上可以看出，不考慮反饋影響時(shí)（反饋參數(shù)k=0），體系表現(xiàn)出明顯的多重振動(dòng)共振，但隨著負(fù)反饋參數(shù)k從0.2增大到1.6，體系的振動(dòng)共振峰逐漸由多峰變?yōu)閱畏?；最終消失.這說明通過負(fù)反饋機(jī)制可以有效調(diào)節(jié)體系多重振動(dòng)共振峰的個(gè)數(shù).

圖7 不同反饋參數(shù)k時(shí),線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線Fig.7 Response(Q)of the system vs the amplitude(B)of the high frequency signal for the linear negative feedback at various feedback parameters(k)ω=0.01；Other parameters are the same as those in Fig.1.

圖8 不同反饋參數(shù)k時(shí),線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線Fig.8 Response(Q)of the system vs the frequency(Ω)of the high frequency signal for the linear negativefeedback at various feedback parameters(k)ω=0.01;B=70;Other parameters are the same as those in Fig.1.

在固定參數(shù)ω=0.01；B=70；A=0.01條件下，筆者進(jìn)一步研究了不同反饋參數(shù)k時(shí)，線性響應(yīng)Q隨Ω的變化曲線（圖8）.從圖8不難看出，與不加反饋時(shí)（k=0）相比，隨著負(fù)反饋參數(shù)k從0.2增大到1.6，雖然體系的高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振并沒有消失，但其強(qiáng)度卻逐漸減小，原因可能是負(fù)反饋對(duì)體系高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振的影響機(jī)理不同于多重振動(dòng)共振.

2.3 類頻率共振強(qiáng)化的振動(dòng)共振

Yao［8］等在研究過阻尼雙穩(wěn)體系的振動(dòng)共振時(shí)發(fā)現(xiàn)：不同于傳統(tǒng)的振動(dòng)共振發(fā)生條件，高頻信號(hào)頻率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于低頻信號(hào)頻率（Ω?ω），在高頻信號(hào)頻率減小到低頻信號(hào)頻率大?。é?ω）時(shí)，合適的高頻信號(hào)頻率和高頻信號(hào)振幅(Ω，B）下也能發(fā)生振動(dòng)共振，而且其共振強(qiáng)度甚至比傳統(tǒng)的振動(dòng)共振強(qiáng)度更大.他們把這種振動(dòng)共振稱為頻率共振強(qiáng)化的振動(dòng)共振.由此可見對(duì)與振動(dòng)共振研究，Ω?ω不是充要條件，那么當(dāng)?shù)皖l信號(hào)頻率逐漸增大到高頻信號(hào)頻率（ω=Ω）時(shí)，是否還會(huì)有振動(dòng)共振發(fā)生呢？圖9是線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線（ω=Ω=5；A=0.01），從圖上可見明顯的峰形曲線，表明在ω=Ω=5的條件下同樣可以發(fā)生振動(dòng)共振，為了和Yao等報(bào)道的振動(dòng)共振相區(qū)別，筆者認(rèn)為可以把這種振動(dòng)共振稱為類頻率共振強(qiáng)化的振動(dòng)共振.類頻率共振強(qiáng)化的振動(dòng)共振現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步擴(kuò)寬了體系發(fā)生振動(dòng)共振的條件.

3 結(jié)論

本文研究了生物液膜振蕩器在高、低兩種不同頻率信號(hào)作用下所產(chǎn)生的振動(dòng)共振現(xiàn)象.結(jié)果表明：體系線性響應(yīng)Q隨B的變化出現(xiàn)了多個(gè)峰，即發(fā)生了多重振動(dòng)共振，且低頻信號(hào)的頻率越低，系統(tǒng)的振動(dòng)共振強(qiáng)度越大.另外，存在最佳的高頻信號(hào)頻率使得體系的多重振動(dòng)共振達(dá)到最強(qiáng).而且體系線性響應(yīng)Q隨Ω的變化可以發(fā)生高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振；對(duì)不同振幅或頻率的低頻信號(hào)，利用高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振，體系對(duì)振幅大的低頻信號(hào)的放大程度要比振幅小的低頻信號(hào)大；低頻信號(hào)頻率越低，系統(tǒng)的高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振強(qiáng)度越大.還討論了負(fù)反饋機(jī)制對(duì)體系振動(dòng)共振的影響，通過負(fù)反饋機(jī)制可以有效調(diào)節(jié)體系多重振動(dòng)共振峰的個(gè)數(shù)；負(fù)反饋對(duì)體系高頻頻率依賴的多重振動(dòng)共振的影響則主要體現(xiàn)在影響其強(qiáng)度而對(duì)其共振峰的個(gè)數(shù)沒有影響.當(dāng)ω=Ω時(shí)，體系可以發(fā)生類頻率共振強(qiáng)化的振動(dòng)共振.筆者期望所得結(jié)果有助于更好的理解味覺和嗅覺細(xì)胞感受外界信號(hào)刺激的機(jī)理，并為其它雙諧波作用下的非線性體系動(dòng)力學(xué)研究提供借鑒和參考.

圖9 線性響應(yīng)Q隨B的變化曲線Fig.9 Response(Q)of the system vs the amplitude(B)of the high frequency signal.ω=Ω=5;Other parameters are the same as those in Fig.1.

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