小學數(shù)學抽象思想滲透的思考與實踐

黃德忠

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（下面簡稱《標準》）已將數(shù)學基本思想納入義務(wù)教育階段的數(shù)學學習目標[1]。抽象是數(shù)學基本思想之一，通過抽象，“人們把外部世界與數(shù)學有關(guān)的東西抽象到數(shù)學內(nèi)部，形成數(shù)學研究的對象”[2]。數(shù)學研究的對象是抽象了的東西，所以學習數(shù)學離不開抽象。受到小學生年齡特征和知識水平的局限，所以小學數(shù)學抽象思想教學方法主要是“滲透”。如何在小學數(shù)學教學中滲透抽象思想呢？我們從以下幾方面進行了思考與實踐。

一、 研究學習素材，挖掘抽象思想滲透資源

《標準》建議，“教材所選擇的學習素材應(yīng)盡量與學生的生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實、其他學科現(xiàn)實相聯(lián)系，應(yīng)有利于加深學生對所要學習內(nèi)容的數(shù)學理解?！毙W生學習數(shù)學常常依賴于具體的學習素材，第一學段學生尤其如此。小學數(shù)學教材中所選擇的學習素材也往往是蘊含數(shù)學知識的生活現(xiàn)實，但這些生活現(xiàn)實只是“舉例”，只是數(shù)學知識載體，是數(shù)學學習的“橋梁”，教材選擇這些生活現(xiàn)實的真正目的是通過這些“例子”引領(lǐng)學生理解和掌握這些“例子”所蘊含的數(shù)學知識，而這些數(shù)學知識要通過“抽象”才能獲得，因而要求教師要對教材中的學習素材進行研究、挖掘，即從這些具體的學習素材中要抽象出那些學生要掌握的數(shù)學知識以及如何讓學生感悟到抽象思想在數(shù)學學習中的作用。

我們以蘇教版一年級數(shù)學上冊教材《認數(shù)》單元所選擇的學習素材分析為例，從課題中我們已明白，本單元要求學生學會認“數(shù)（自然數(shù)）”，而這些“數(shù)”要從學生的生活現(xiàn)實中抽象產(chǎn)生。

教材以學生熟悉的“教師節(jié)快樂”節(jié)日現(xiàn)場為主題圖，并以學生現(xiàn)有的知識（數(shù)數(shù)）為支撐，學生邊數(shù)數(shù)（數(shù)氣球個數(shù)）邊抽象出自然數(shù)1、2、3、4、5……由于單一的數(shù)學現(xiàn)實不足以完成抽象思想的形成過程，況且學生的思維也會因“單一”而“定勢”。鑒于此，教材又在配套練習中選編了不同個數(shù)的黃瓜、辣椒、紅蘿卜、菠蘿、草莓、香蕉、梨、樹、花等學生熟悉的生活現(xiàn)實，進一步抽象概況出數(shù)字1、2、3、4、5……的數(shù)學模型。教師還可以引導學生運用抽象出的數(shù)來說說這些數(shù)還可以表示生活中的哪些數(shù)量，以此再把“純數(shù)學知識”運用到生活中去，體會“數(shù)學”與“生活”的聯(lián)系，學生也因此隱約體悟到抽象思想在數(shù)學學習中的作用。

隨著小學生年齡和數(shù)學知識的增長，一些已經(jīng)抽象出的數(shù)學知識作為學習素材也會直接編入教材，目的是為了進一步抽象出其他數(shù)學知識，形成數(shù)學知識體系。

例如，一年級中有這樣的填數(shù)題：

8+□<12 8-□<3 6>14-□ 12>□+7

到了第二、三學段，教師就可以通過聯(lián)系上面此類素材引導學生抽象、構(gòu)建出不等式數(shù)學模型，學生也因素材熟悉而不感到突然，抽象的過程也就水到渠成。

那么此素材在一年級教材中如何滲透抽象思想呢？經(jīng)分析，這些“填數(shù)題”是要求學生在“□”中填一個合適的數(shù)，但教師應(yīng)明白，若把“□”（“□”仍具有很強的直觀性）進一步抽象成“X”，則這些“填數(shù)題”就抽象成不等式，變元“X”就有確定的取值范圍，教師應(yīng)當挖掘出教材的編排意圖，了解符號“□”在這里起“位置占有者”作用，把握素材蘊含的抽象的符號變元這一思想，從而引導學生思考、討論：“□”內(nèi)最大能填幾？最小能填幾？最多能填幾個？而不僅僅是填幾個數(shù)了事。教材中蘊含的進一步抽象的數(shù)學思想使數(shù)學知識前后相互聯(lián)系、相互支持，形成體系，而不是孤立的知識點。

可見，抽象思想資源是要靠教師對學習素材進行研究、挖掘才得以“顯現(xiàn)”的，學生今后要逐步學習與研究的四則運算、幾何圖形、分數(shù)等數(shù)學知識都離不開抽象思想，所以不論哪一學段數(shù)學教師都要逐步、不斷地滲透抽象思想，唯如此，學生才能對抽象思想經(jīng)歷一個從模糊到清晰的領(lǐng)悟過程。

二、 實施漸近原則，強調(diào)抽象思想滲透無痕

小學生數(shù)學抽象思想的形成，要無痕“滲透”，滲透時要把握好尺度，不能過早或過遲，要循序漸進、螺旋上升，切不可操之過急，試圖一步到位的做法是不可取的。因為學生對包括抽象思想在內(nèi)的任何一種數(shù)學思想的認識都是在反復體會與領(lǐng)悟中得以形成的，它要經(jīng)歷從個別到一般，從低級到高級，從感性認識到理性認識，從直觀理解到抽象概括的“小坡度”拾級而上的過程。

下面以蘇教版《有余數(shù)的除法》教學為例來理解二年級學生抽象思想逐步領(lǐng)會的過程。

1.從實物分配到算式運算過渡

對于小學生來說學習數(shù)學是從生活經(jīng)驗開始的，在低年級學生腦子里“除法”“有余數(shù)的除法”就是“動手分東西”。 鑒于此，蘇教版教材在編寫時安排了小朋友“分鉛筆”的情境（主題圖），如圖2：

提出問題：把10枝鉛筆分給幾個小朋友，每人分得同樣多，可以怎樣分？小朋友操作時會“試”著進行分配“每人分2枝”和“每人分5枝”都沒有多余。列成除法算式是：10÷2=5（人）和10÷5=2（人）。

當每人分3枝時，就會發(fā)現(xiàn)：10枝鉛筆，每人分3枝，可以分給3人，但還剩1枝。每人分4枝、6枝都有剩余。

引導學生寫成除法算式：

10÷3=3（人）……1（枝）。

10÷4=2（人）……2（枝）。

10÷6=1（人）……4（枝）。

在分鉛筆過程中剩余的不夠再繼續(xù)分的鉛筆數(shù)：1（枝）、2（枝）、4（枝）就是余數(shù)。這里的從“鉛筆的實物分配”到“列除法算式”是一個抽象思想運用的過程，同時也抽象出了“余數(shù)”這一新的數(shù)學概念，為進一步抽象概括出余數(shù)的相關(guān)規(guī)律作了必要的鋪墊。

2.從算式特點抽象概括出余數(shù)的規(guī)律

教材繼續(xù)舉分實物的例子，要求學生列算式，不過和開始主題圖不同的是，此例并不要求學生再次真的“動手操作”，而是讓學生看著實物在腦子里想著“分桃子”“分氣球”，教材之所以這樣編排，可能是幫助學生經(jīng)歷一個“半抽象”的過程，我們可以把這一過程看作是從“具體”到“抽象”的一個過渡，也是對學生多次反復地進行抽象思想的滲透過程，使學生逐步領(lǐng)悟到抽象思想在數(shù)學中運用。例如，學生根據(jù)“分桃子”圖抽象出算式：7÷3=2（盤）……1（個）；根據(jù)“分氣球”圖抽象出算式：17÷5=3（個）……2（個）。至此，學生已經(jīng)從具體到抽象得出若干個“有余數(shù)的除法算式”（余數(shù)為0時，通常說是“整除”），火候已到，教材便提出問題：“比較每道題里的余數(shù)和除數(shù)的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么？……”學生會趁熱打鐵再次將“余數(shù)”知識抽象概括到一般化規(guī)律層面。如抽象概括得出：余數(shù)一定比除數(shù)小，被除數(shù)等于除數(shù)乘商加余數(shù)等。

可見，小學生抽象思想的滲透要與具體知識教學相聯(lián)系，要順應(yīng)學生認知發(fā)展規(guī)律，按照反復孕育→初步領(lǐng)悟→簡單應(yīng)用的路徑逐步進行，這樣才能取得潛移默化、水到渠成的效果。

三、 突顯學生參與，為了抽象思想滲透對象

學生是學習的主體，意味著抽象思想滲透的對象是學生，教學的一切活動都必須建立在學生學的基礎(chǔ)上，因此，滲透數(shù)學抽象思想的前題是組織學生積極參與數(shù)學的學習活動全過程，此過程是學生在師生、生生互動中、在教師的引導下漸漸體會、領(lǐng)悟、形成、掌握抽象的數(shù)學思想過程。學生對具體的數(shù)學知識學習與對數(shù)學抽象思想的感悟有明顯的不同，學生對數(shù)學知識的學習主要是理解與記憶，而對數(shù)學抽象思想的感悟則重在體會與應(yīng)用；學生數(shù)學學習主要是在數(shù)學活動中進行的，脫離了數(shù)學活動過程數(shù)學抽象思想的感悟也就成了空中樓閣。為更好地讓學生感悟抽象的數(shù)學思想，設(shè)計的數(shù)學活動一定要服務(wù)于學生的學習，適合學段學生的特點。

低段學生要體會抽象思想是要靠直觀教材輔助的，這是由低段學生的年齡特點與思維特征決定的。如在教學《認識角》時，為了讓學生抽象出“角有大有小，且角的兩邊張開大，角就變大；張開小，角就變小”這一特點。我們創(chuàng)編了很有數(shù)學味的“小紅帽造角”情境，旨在引導二年級學生積極參與到這個數(shù)學學習活動中，教師將角的這一特點的抽象過程設(shè)計在整個的教學活動中，最后引導學生很自然地抽象出角“變大、變小”的特點。

師：現(xiàn)在輕松一下，帶大家參觀一個工廠。

（學生高興極了！教師課件出示“造角廠”，學生有的驚訝，有的興奮……）

師：造角廠里有一個造角的機器，還有一個小工人，請出他們。

（課件顯示一個標上數(shù)字的鐘面和小紅帽，教師引導大家回憶鐘面上的相關(guān)知識。）

師：請大家看，小紅帽開始造角了。

（課件動態(tài)演示小紅帽分別拉動分針的過程，呈現(xiàn)出分針與時針的不同夾角，如圖3。）

（課件動態(tài)演示：從“分針與時針的不同夾角”抽象出數(shù)學上的平面圖形“角”——銳角、直角、鈍角。）

師：這些角中誰最大？誰最??？為什么？

……

小學生參與的數(shù)學抽象活動，往往不是“純抽象”的數(shù)學活動，而是要借助有趣的且又有數(shù)學味的生活情境，目的是通過“直觀”走向“抽象”，生活情境是學生通向抽象思想的“橋梁”。如本案例，通過“造角廠”這個情境，一方面在鐘面上造角，利用數(shù)格子的方法，將角的大小量化，變“機械演練”為“數(shù)學思考”，學生易于抽象出角有大有小的；另一方面，動態(tài)地呈現(xiàn)小紅帽造“角”的過程，將靜態(tài)的知識形象化、動態(tài)化，進而從契合了小學生好玩、好動、好奇的天性。小紅帽這一形象也讓學生感到親切，易于接受，整個學習過程充滿童真童趣。整個抽象思想學習過程水到渠成、潤物無聲，學生不知不覺中體會到抽象思想的作用。之所以設(shè)計這么有趣的數(shù)學活動，目的是為了讓學生更好地體會抽象的數(shù)學思想。

綜上我們不難發(fā)現(xiàn)，小學數(shù)學概念的獲得、法則的概括、規(guī)律的探索、解決問題策略的提煉等所有數(shù)學知識的學習都離不開抽象，數(shù)學知識的探究過程實質(zhì)上也是數(shù)學抽象思想的感悟過程，抽象思想的教學要融入到具體的數(shù)學知識教學過程中，讓學生在數(shù)學知識的探究過程中逐步領(lǐng)悟抽象的數(shù)學思想。抽象思想的教學不是通過幾堂課就能完成的，需要教師把抽象思想的教學要求作為數(shù)學教學目標納入到日常教學的備課環(huán)節(jié)、課堂之中和課后反思的全過程中，需要教師深研教材，充分挖掘具體的數(shù)學學習素材所隱含的抽象思想，抓準抽象思想與具體數(shù)學知識的結(jié)合點，進行長期的無痕滲透，使學生都能夠順利地獲得抽象思想這一數(shù)學學習的法寶，從而實現(xiàn)學生數(shù)學素養(yǎng)的提升。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.（2011年版）義務(wù)教育數(shù)學課程標準[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 史寧中.漫談數(shù)學的基本思想[J].中國大學教學，2011（7）.

[3] 史寧中.數(shù)學的基本思想[J].數(shù)學通報，2011（1）.

【責任編輯：陳國慶】