小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的思維策略

吳鳳儀

【摘 要】思維策略指的是一般性的較普遍的思維方法，是在一定數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，所采取的總體思路。中小學(xué)教師只有理解數(shù)學(xué)的各種思維方法，才能引導(dǎo)學(xué)生有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維方法去分析和解決問題，形成數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)；問題解決

所謂思維策略，指的是一般性的較普遍的思維方法，是在一定數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，所采取的總體思路。美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，總想用熟悉的題型去套，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。問題解決的教學(xué)為我們向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想、訓(xùn)練思維方法提供了機(jī)會。中小學(xué)教師只有理解數(shù)學(xué)的各種思維方法，才能引導(dǎo)學(xué)生有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維方法去分析和解決問題，形成數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

一、觀察與實(shí)驗(yàn)

對周圍世界的各個(gè)客觀事物和現(xiàn)象，在其自然條件下，按照客觀事物本身的實(shí)際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的方法，稱為觀察。觀察是一種有目的、有計(jì)劃、有組織的知覺。其次，觀察不僅是一種單純的知覺過程，它還包含著積極的思維過程。例如，我們在進(jìn)行觀察的過程中，必須隨時(shí)比較所觀察的事物，以及了解它們的性質(zhì)和關(guān)系。比較事物就是思維活動的一種顯著的表現(xiàn)。正因?yàn)橹X和思維的密切聯(lián)系，所以觀察有時(shí)也被稱為“思維的知覺”。在解決問題的過程，一定要精細(xì)地觀察，這是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得解題方法的第一步。

例1 ：下圖是個(gè)數(shù)字“金字塔”，這個(gè)數(shù)字“金字塔”中，所有數(shù)字之和是多少？

1

121

12321

1234321

123454321

12345654321

1234567654321

123456787654321

12345678987654321

學(xué)生看到此題，首先要觀察，觀察的具體方法很多，可以看橫行，也可以看斜行，還可以確定觀察某個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)。

實(shí)驗(yàn)（試驗(yàn)）通常是指一種研究客觀事物和現(xiàn)象的方法，即根據(jù)這些事物和現(xiàn)象的自然狀態(tài)和發(fā)展，人為地創(chuàng)設(shè)條件，人為地將它們分成許多部分，而且將他們同其他事物和現(xiàn)象聯(lián)系起來以深入了解所研究的事物和現(xiàn)象的自然狀態(tài)和發(fā)展情況。任何實(shí)驗(yàn)都和觀察相聯(lián)系著，實(shí)驗(yàn)者必須觀察實(shí)驗(yàn)的進(jìn)程和結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究中，通過觀察與實(shí)驗(yàn)不僅可以收集所需要的信息、獲得必要的知識，而且觀察與實(shí)驗(yàn)往往還會產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。如要確定一個(gè)圖形是不是軸對稱圖形，只需將其對折一下，看折痕兩邊是否完全重合即可。想知道在一個(gè)正方體上切一刀，截面是什么形狀？拿幾塊橡皮泥切一切就知道了。數(shù)學(xué)問題的解決，往往需要觀察后，作出初步的判斷、猜測，必要時(shí)還需要測一測、量一量，比一比，才能最后確認(rèn)猜測的正確性。

二、分析與綜合

分析與綜合是思維的基本過程，分析是指在頭腦中把事物整體分解為各個(gè)部分、各個(gè)方面或不同特征的過程；綜合是指在頭腦中把事物的各個(gè)部分、各個(gè)方面、不同特征結(jié)合為整體的過程。如：把7分解成1和6，2和5，3和4，這是一個(gè)分析的過程，而把1和6，2和5，3和4組合成7則是一個(gè)綜合過程。分析與綜合是思維過程的兩個(gè)方面，兩者相互聯(lián)系，相互制約。如學(xué)生計(jì)算9+3時(shí)，先想把3分解成1和2，再想9和1湊成10，10再加2等于12。把3分解成1和2，是一個(gè)分析的過程，而分解的過程是為下一個(gè)9和1湊成10的組合過程作準(zhǔn)備。分析法和綜合法是兩種重要的思維方法，分析法是以果導(dǎo)因，而綜合法是由因?qū)Ч?，兩者是解決因果關(guān)系問題中相互聯(lián)系的思維方法。

例如：圖中陰影部分的面積是50 平方厘米，求環(huán)形的面積。

如果從已知條件出發(fā)，采用綜合法，我們假設(shè)：大圓半徑（大正方形的邊長為R，）小圓半徑（小正方形的連長為r） ，有R×R -r×r =50 ，即大正方形的面積減小正方形的面積差是50 平方厘米。至此，我們還可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，50也是大圓半徑的平方與小圓半徑的平方之差。以上的過程就是一個(gè)綜合的過程。所得出的結(jié)論對于解題有什么作用呢？讓我們從所求問題再入手，要求環(huán)形面積，需要用大圓的面積減小圓的面積，即πR×R-πr×r，將其整理后得π（R×R-r×r），這時(shí)再根據(jù)R×R-r×r=50，求得環(huán)形面積為50π平方厘米。這樣，我們可以清楚地了解分析與綜合法在解題過程中往往是同時(shí)使用的。

三、特殊與一般

在數(shù)學(xué)研究中，一般化與特殊化是兩種非常重要的思維方法。當(dāng)我們得到一個(gè)定理后，希望把它推廣，得出可以在更大范圍應(yīng)用的定理，這就是一般化。一般化，也稱為普遍化。另一個(gè)途徑是將定理特殊化，尋求它的推論。關(guān)于一般化與特殊化。（l）我們可以通過一般化，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般性原理、性質(zhì)、法則、規(guī)律等。（2）通過特殊化，能夠使我們很快捷地找到解決問題的有效途徑。如：把一個(gè)數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的和，這兩個(gè)數(shù)的差越小，他們的乘積就越大。這是一個(gè)一般性的結(jié)論，我們可以舉出幾個(gè)特例試一試。如9可以寫成0和9、1和8，2和7，3和6，4和5的和，通過比較得到驗(yàn)證，4和5的差最小，其乘積最大。再如：在平面上畫n 條直線，求交點(diǎn)最多有多少個(gè)？有這樣的公式：n（n一1） / 2。我們可以假定是1 條直線，代入公式后得出0 個(gè)交點(diǎn)；2 條直線，把2 代入公式后，得出1 個(gè)交點(diǎn)；5 條直線，把5 代入公式后得到10 個(gè)交點(diǎn)。以此個(gè)別的例子驗(yàn)證了這樣的一般性結(jié)論，這就是特殊化的思維方法。特殊化的思維方法可以直接導(dǎo)入問題的要害，使問題得以快速解決。

四、類比

類比就是利用事物間的某些相似之處，進(jìn)行推理，由個(gè)別到個(gè)別的推理。如由長方形對邊相等，推出長方體的對棱也相等，如由商不變的性質(zhì)推出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的性質(zhì)。類比作為一種重要的思維方法，在使用的過程中，有時(shí)會使我們很快地找到正確的答案，有時(shí)則容易使人誤入歧途。比如，學(xué)習(xí)了能被2 整除的特征時(shí)，觀察這個(gè)數(shù)的個(gè)位能否被2 整除，即個(gè)位上是不是出現(xiàn)了“0，2，4，6，8”，這種找能被2 整除的方式被應(yīng)用到能被5 整除的數(shù)的特征的探索中是有效的，很快地發(fā)現(xiàn)：個(gè)位是0 或者5 的數(shù)能被5 整除。但是如果以這種方法來找能被3 整除的數(shù)的特征，就會有“個(gè)位上是0，3，6，9 ”的數(shù)能被3 整除這一錯(cuò)誤的結(jié)論。由此看來，類比有時(shí)也可把人導(dǎo)向錯(cuò)誤。

五、歸納與演繹

歸納是由個(gè)別到一般的推理，憑借歸納可以從特殊事實(shí)得到一般原理，小學(xué)數(shù)學(xué)中許多概念、公式、法則都是這樣得出來的。即從個(gè)別的數(shù)學(xué)式題或事實(shí)進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合，從中歸納出一般的結(jié)論。歸納分為不完全歸納和完全歸納兩種。在小學(xué)階段，采用的主要是不完全歸納。例如：50+35=35+50，8+11=11+8，23+10=10+23，由此歸納出a+b=b+a。演繹是由一般到個(gè)別的推理，依靠演繹可以把一般原理運(yùn)用到特殊事實(shí)，用來驗(yàn)證一般原理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是要根據(jù)己掌握的定義、法則等解決問題，說明道理。從形式邏輯的角度看，演繹推理的基本形式是三段論：“大前提、小前提、結(jié)論”。例：一個(gè)數(shù)除以1 和它本身外再沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)。（大前提）89 除了1和89 外再沒有別的約數(shù)了。（小前提）與分析與綜合一樣，歸納與演繹也是相互制約、密不可分的。

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