從多角度談數(shù)學(xué)是什么

梁瓊芬

(華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430070)

1 什么是數(shù)學(xué)

1.1 數(shù)學(xué)的定義

關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”這個問題，哲學(xué)界、數(shù)學(xué)界眾說紛紜。作為一個數(shù)學(xué)專業(yè)者，回答“數(shù)學(xué)是什么”是所學(xué)數(shù)學(xué)知識上升到某一高度時對數(shù)學(xué)的反思。而這種思考，又有助于我們進一步認識數(shù)學(xué)。從古至今，關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的討論不僅僅局限于數(shù)學(xué)界，哲學(xué)家甚至文學(xué)家都嘗試給數(shù)學(xué)下一個合理的定義。

公元前4世紀，古希臘學(xué)者亞里士多德說“數(shù)學(xué)是量的科學(xué)”。19世紀，恩格斯說“數(shù)學(xué)是數(shù)量的科學(xué)，它從數(shù)量這個概念出發(fā)”。恩格斯還在《反杜林論》中說到:“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和量的關(guān)系，所以是非常現(xiàn)實的材料?！?988年出版的《中國大百科全書·數(shù)學(xué)》卷首列出:數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的，簡單地說，是研究數(shù)和形的科學(xué)。M·克萊因說:“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對自然科學(xué)家、社會科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說;滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想;有時甚至可能以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著現(xiàn)代歷史的進程?！保?］

從以上對數(shù)學(xué)定義的闡述可以看出，數(shù)學(xué)的定義隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展。數(shù)學(xué)的每個發(fā)展時期成果是不一樣的，因而不同時期對數(shù)學(xué)的定義也是有區(qū)別的。

1.2 不同數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派的數(shù)學(xué)觀

令人遺憾的是，迄今為止，關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”這個問題，還沒有一個公認的標準回答。邏輯主義者認為，數(shù)學(xué)是邏輯，從而試圖從邏輯推出所有的數(shù)學(xué)。直覺主義者認為，數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的(直覺)精神活動，從而提出數(shù)學(xué)的可構(gòu)造性。形式主義者認為，數(shù)學(xué)是由形式符號構(gòu)成的形式系統(tǒng)，不同的一套公理可以推出一套完全不同的數(shù)學(xué)知識體系［2］。由此可見，對“數(shù)學(xué)是什么”的不同回答，會形成不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派，同時會產(chǎn)生對整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的不同看法。

2 從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史看數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實生活抽象發(fā)展起來，以符號為主要研究對象，并用于解決實際問題的一門科學(xué)。解決的問題包括確定性的、隨機性的、模糊性的，或連續(xù)或離散的實際問題。而這些不同類型的問題又促進不同類型數(shù)學(xué)的產(chǎn)生及發(fā)展。17世紀中葉，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡和費馬在討論如何合理分配賭注的問題上最先抽象出數(shù)學(xué)模型，從而導(dǎo)致概率論這個分支的最初形成。20世紀70年代，模糊數(shù)學(xué)這個新興的數(shù)學(xué)分支形成高潮。模糊數(shù)學(xué)基于集合論的基礎(chǔ)，集合論研究的是確定的隸屬關(guān)系，每個集合都必須由明確的元素組成，也即每個元素對集合的隸屬關(guān)系必須是明確的。集合論使得那些模棱兩可的關(guān)系有很大的發(fā)展空間，于是模糊數(shù)學(xué)應(yīng)運而生。模糊數(shù)學(xué)在一些復(fù)雜的系統(tǒng)作用尤其凸顯。比如在航天系統(tǒng)、社會系統(tǒng)，它們涉及的變量很多，各種因素互相交錯，模糊性也很明顯，這就需要一種可以研究各種因素的隸屬度的工具?，F(xiàn)在模糊數(shù)學(xué)已經(jīng)在醫(yī)學(xué)、計算機方面發(fā)揮了重要的作用。

數(shù)學(xué)是一個龐雜的理論系統(tǒng)，數(shù)學(xué)內(nèi)在的聯(lián)系是普遍的，而有些聯(lián)系是隱蔽的。我們只能一點點地摸索。數(shù)學(xué)就像是一座大礦山，我們只能慢慢地開發(fā)，但是哪一天能開發(fā)完，或者哪一天在礦山旁邊發(fā)現(xiàn)新的礦源，沒有人知道。很多看起來沒有什么相關(guān)性的數(shù)學(xué)知識卻隱藏著密切的聯(lián)系。高次方程的求根公式問題與新的代數(shù)結(jié)構(gòu)理論發(fā)生了聯(lián)系就是一個很有力的例子。數(shù)學(xué)家們已經(jīng)可以通過變量代換的方法，把三次方程降次化為二次方程來求得與原方程同根的預(yù)解式方程，從而把問題歸結(jié)為已解決的二次方程求根公式問題。但是，這種方法對于五次及五次以上的一般方程卻不適用了。因為五次方程的預(yù)解式方程不再是四次，它可以是高于五次的方程。于是有數(shù)學(xué)家分析這種方程的系數(shù)的聯(lián)系，直接導(dǎo)致了抽象代數(shù)的誕生，從而使得數(shù)學(xué)進入一個全新的時期。這種聯(lián)系是數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系，不是人為地把抽象代數(shù)與五次方程建立聯(lián)系，而是它們之間本來就客觀存在著聯(lián)系。當問題的難度還沒上升到一定高度時，就難以建立這種復(fù)雜的聯(lián)系。因此，可以說，數(shù)學(xué)就像是一顆大樹，越是向上發(fā)展，旁枝就會越來越多。

3 從數(shù)學(xué)的研究方法看數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是在不斷的猜想、修改、完善中發(fā)展的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)是人的一種思維創(chuàng)造活動，猜想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動的源泉之一。而猜想往往會受幾何直觀的影響。一開始的猜想可能是不正確的，但會有一些合理的成分，這些合理的成分經(jīng)過多次的修改完善，就會成為定理。如歐拉多面體公式，歐拉從眾多多面體的點、棱、面的數(shù)量中猜想多面體點、棱、面之間的數(shù)量關(guān)系。有了猜想就有了研究動力。在歐拉公式得到證明后，很快有人找到了反例。問題就在于多面體的概念過于寬泛。對于某些特殊的多面體，歐拉公式是不成立的，但對于一般的多面體，證明過程確實沒有問題。于是修補工作開始，是修改多面體的定義，把“怪物”的特征從多面體的概念中剔除，還是重新審視證明過程是否隱含著對多面體的要求和限制。數(shù)學(xué)可以借助幾何直觀幫助我們猜想，但要避免幾何直觀對思維的束縛。約翰.伯努利在求懸鏈線時從幾何直觀中跳出來，猜想懸鏈線不是簡單的代數(shù)模型拋物線，于是轉(zhuǎn)到別的思路，才發(fā)現(xiàn)了懸鏈線是一種超越函數(shù)，這與拋物線性質(zhì)相差甚遠。

4 從數(shù)學(xué)的結(jié)論性質(zhì)看數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)的結(jié)論是一種可繆的、相對的真理。數(shù)學(xué)被看作是最嚴密、最嚴謹?shù)目茖W(xué)。尤其是經(jīng)典的公理化方法，使得數(shù)學(xué)在公理的基礎(chǔ)上經(jīng)過嚴謹?shù)倪壿嬔堇[推理而來。非歐幾何向我們一直奉為經(jīng)典的歐氏幾何發(fā)起了挑戰(zhàn)。我們的生存空間并不是像我們所能看到的那樣簡單，三角形的內(nèi)角和就一定只能是180°，而在球面和高山勘察時遇到的三角形內(nèi)角和就不是180°了，非歐幾何更真實地描述了客觀世界的情況。兩種相悖的幾何，由互相矛盾的公設(shè)推導(dǎo)而來，并且繼續(xù)成為我們認識世界、解釋世界的理論體系。歐氏幾何與非歐幾何無所謂孰對孰錯。數(shù)學(xué)真理不是唯一的，不是絕對的，因而也不存在誰對誰錯的問題，只要能在自身系統(tǒng)自圓其說，那就是真理。如果要追根到底，盡管是利用公理化的方法，使得數(shù)學(xué)在最簡單的公理基礎(chǔ)上建立起來。然而，這種公理也是人腦的一種直覺形式的反映。也只能說，數(shù)學(xué)最終歸結(jié)為一種大家比較公認的直覺。如果命題A 不可證明，也不可證否，那么命題A與所在的系統(tǒng)就是互相獨立的，也即與A 矛盾的命題B與A所在的系統(tǒng)結(jié)合就可能會產(chǎn)生一套完全不同的理論。亞里士多德最先提出了排中律，對于命題P，要么P 成立，要么非P 成立。我們現(xiàn)在常用的反證法就是排中律最明顯的運用例子。但是，并不是所有的命題都是符合排中律的，有些命題無法判斷其正確與否，更不能證明。例如，“π 有連續(xù)9個9”這個命題就是無法證明的，沒有說明從哪位開始有連續(xù)9個9，而π 是個無理數(shù)，即使借助計算機，我們也無法判斷。

5 從數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)看數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)不屬于自然科學(xué)的范疇，而應(yīng)該是與自然科學(xué)平行的學(xué)科。我們知道，自然科學(xué)研究自然中的客觀現(xiàn)象，而人文科學(xué)關(guān)注的是人與人或人與社會的關(guān)系。數(shù)學(xué)是與自然科學(xué)、人文科學(xué)性質(zhì)不同的一門學(xué)科。首先，數(shù)學(xué)的研究對象不是客觀現(xiàn)實原原本本的實物，而是研究抽象的符號。這種符號可以反映客觀現(xiàn)實，但這種理論首先是基于一定的公理理論基礎(chǔ)，而這種理論基礎(chǔ)不一定是出自客觀現(xiàn)實的，而是人腦建構(gòu)起來的對客觀世界的主觀認識。數(shù)學(xué)看不見摸不著，要根據(jù)人的認識去理解數(shù)學(xué)。如果你認同一套公理，那么這套公理演繹推理出來的理論就是你認可的真理。從這個意義也可以說明數(shù)學(xué)是一種相對的真理。

數(shù)學(xué)作為與自然科學(xué)平行的學(xué)科，它是自然科學(xué)的領(lǐng)頭羊，是解決自然科學(xué)問題的有效工具。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，自然科學(xué)對數(shù)學(xué)提出的要求是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉之一。例如微積分的創(chuàng)立，就是建立在當時的物理學(xué)和天文學(xué)對數(shù)學(xué)方法的要求上。自然科學(xué)的問題，給數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了外部動力。而數(shù)學(xué)發(fā)展的另外一個動力來自數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在要求。數(shù)學(xué)有時候是走在自然科學(xué)前面很多步，或者是應(yīng)用滯后于發(fā)展。但是數(shù)學(xué)畢竟有自己的理論體系，它不可能完全按照自然科學(xué)的要求來發(fā)展，有些理論可能一段時間還用不上，但隨著數(shù)學(xué)及自然科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用就會慢慢體現(xiàn)出來。

［1］王青建.數(shù)學(xué)是什么［J］.自然辯證法研究，2000，16(1):1－6.

［2］孫宏安.對“數(shù)學(xué)是什么”的哲學(xué)思考［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)，2001，22(3):36－40.