隨機(jī)振動的描述及其試驗與仿真

吳 煥，趙潤生，唐 勇

（中認(rèn)英泰檢測技術(shù)有限公司，蘇州 215104）

引言

隨機(jī)振動是未來任何一給定時刻的瞬時值都不可預(yù)先確定的一種機(jī)械振動。它的運動規(guī)律 無法用確定函數(shù)，只能用概率與統(tǒng)計方法描述。隨機(jī)振動從振動單次現(xiàn)象觀察來看存在不確定性，但根據(jù)相同的條件下多次測試結(jié)果的總體分析，其統(tǒng)計特征為確定的。通常隨機(jī)振動探討的問題有：確定系統(tǒng)響應(yīng)統(tǒng)計特性之“預(yù)測”問題，估計系統(tǒng)性能之“識別”問題以及尋找外部的激勵信息之“測量”問題[1]。

工程上用隨機(jī)振動試驗來確定元器件和設(shè)備經(jīng)受規(guī)定嚴(yán)酷等級的隨機(jī)振動能力，國內(nèi)目前能進(jìn)行隨機(jī)振動試驗的檢測機(jī)構(gòu)非常多，但能完成較大量級隨機(jī)振動試驗的單位較少。

隨著有限元技術(shù)的發(fā)展，隨機(jī)振動也可以通過計算機(jī)進(jìn)行有限元仿真。經(jīng)過試驗驗證的有限元分析方法可以用來分析結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵下的響應(yīng)，研究結(jié)構(gòu)在承受一定嚴(yán)酷等級隨機(jī)振動后的失效模式，在此基礎(chǔ)上對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，縮短了結(jié)構(gòu)設(shè)計周期，降低了設(shè)計成本。

1 隨機(jī)振動的描述

隨機(jī)振動和確定性振動有本質(zhì)的不同，不能用時間的確定性函數(shù)來描述。在幅域上，隨機(jī)振動通過概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、均值、均方值、方差等來描述；在時差域上用相關(guān)函數(shù)、相關(guān)系數(shù)來描述；在頻域上則通過功率譜密度函數(shù)來描述[2]。

1.1 隨機(jī)振動的幅域描述

1）概率密度函數(shù)

如圖1所示的隨機(jī)信號，描述的是信號幅值隨時間的變化，幅值落在 x到x +Δx 區(qū)間內(nèi)的總時間為：

則幅值落在該區(qū)間內(nèi)的概率為：

定義概率密度函數(shù)為：

由式（2）可以看出，概率密度函數(shù)是概率相對于振幅的變化率，因此可以從對概率密度函數(shù)積分而得到概率，即：

式（2）亦表明概率密度函數(shù)是概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它給出了隨機(jī)信號沿幅值域分布的統(tǒng)計規(guī)律。不同隨機(jī)信號有不同的概率密度函數(shù)圖形，工程上最常見的也是應(yīng)用最多的是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖形，如圖2所示。

2）均值

隨機(jī)信號{ Xn}的均值定義為其隨機(jī)變量Xn的數(shù)學(xué)期望：

均值是隨機(jī)變量的一階矩，可理解為信號的直流分量。

3）均方值

隨機(jī)信號{ Xn}的均方值定義為其隨機(jī)變量Xn模的平方的數(shù)學(xué)期望：

均方值是隨機(jī)變量的二階矩，可理解為信號的平均功率，表達(dá)了信號的強(qiáng)度。

1.2 隨機(jī)振動的頻域描述

信號頻域描述的目的是判斷一個信號過程由哪些頻率成分構(gòu)成。對于確定性信號，若信號為周期信號，可用傅里葉級數(shù)展開來分析周期信號的頻率成分；若為非周期信號，可用信號本身的傅里葉變換來對信號進(jìn)行頻域分析。而對于隨機(jī)信號，不能直接對其進(jìn)行傅里葉變換，采用功率譜密度函數(shù)進(jìn)行頻域描述。

圖1 隨機(jī)信號示意圖

根據(jù)巴塞法爾定理，在時域中計算的信號總能量等于在頻域中計算的信號總能量，即：

對于上式等號左邊的積分，均值不為零的隨機(jī)信號不是平方可積的，在這種情況下就沒有傅里葉變換。維納-辛欽定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一個簡單的替換方法，如果信號可以看作是平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么功率譜密度就是信號自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，記為Sx(f)，結(jié)合自相關(guān)函數(shù)的定義，進(jìn)一步推導(dǎo)得：

2 隨機(jī)振動試驗

2.1 試驗簡介

圖2 正態(tài)分布概率密度函數(shù)示意圖

隨機(jī)振動試驗適用于使用中可能受到隨機(jī)性振動條件影響的元器件和設(shè)備。試驗?zāi)康脑谟诖_定機(jī)械弱點和（或）規(guī)定性能是否下降，并結(jié)合有關(guān)規(guī)范使用這些信息來決定試驗樣品是否接收。工程上隨機(jī)振動試驗采用振動臺實現(xiàn)，樣品通過夾具固定在振動臺臺面上，隨機(jī)振動信號由振動控制儀給出，經(jīng)過功率放大器傳遞至振動臺，實現(xiàn)振動激勵，加速度計將振動信號反饋至控制系統(tǒng)，實現(xiàn)閉環(huán)控制，如圖3所示為隨機(jī)振動試驗示意圖。

隨機(jī)振動試驗方法已列入國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 2423，以擴(kuò)大現(xiàn)行的正弦振動試驗GB/T 2423.10。隨機(jī)振動試驗是一種比較接近于實際環(huán)境中存在的振動類型的試驗方法，并且在試驗樣品中產(chǎn)生的效應(yīng)比較接近于使用中可能發(fā)生的效應(yīng)。當(dāng)實際環(huán)境大致為隨機(jī)振動時，只要經(jīng)濟(jì)上合理就應(yīng)采用隨機(jī)振動試驗，因為正弦振動和隨機(jī)振動對樣品失效機(jī)理的影響方式并不相同[3-4]。

2.2 試驗條件和相關(guān)試驗參數(shù)計算

隨機(jī)振動的試驗條件包含試驗頻率區(qū)間、試驗譜形和量級、試驗時間以及試驗方向。試驗譜形和試驗量級經(jīng)常用表格的形式或者加速度功率譜密度曲線的形式給出。圖4為用功率譜密度曲線表示的典型隨機(jī)振動的試驗條件：

2）加速度功率譜密度斜率（dB/oct） 按照下式計算：

圖3 隨機(jī)振動試驗示意圖

3）加速度均方根值（grms）的計算

由功率譜密度的定義可知，功率譜密度曲線下的總面積即為隨機(jī)信號的總功率，再求其算數(shù)平方根，即可得到加速度均方根值。面積A1、A2、A3計算如下：

式中m=N/3，若N=3則m=1時，必須采用以下降譜計算公式：

則加速度總均方根值為加速度功率譜密度曲線下總面積的算術(shù)平方根，即：

加速度總均方根值是隨機(jī)振動量級的衡量。

2.3 試驗再現(xiàn)性

在所有環(huán)境試驗方法國家標(biāo)準(zhǔn)中，特別是對鑒定試驗或驗收試驗，以及有關(guān)方面（例如電子元器件的供方和需方）打算對同型號試驗樣品進(jìn)行的試驗，都要求有一定等級的再現(xiàn)性。

一是研究制訂更加有效的政策，扶持“金屬表面無磷處理”“中水回用”“再生水、雨水綜合利用”等項目，以發(fā)揮示范項目的作用；二是通過 “多水源、多用戶的優(yōu)化配置”等方面研究，進(jìn)一步加強(qiáng)水資源管理能力；三是繼續(xù)加大農(nóng)村供水管網(wǎng)改造力度，2014年將完成城區(qū)及鄉(xiāng)鎮(zhèn)26個村的老舊供水設(shè)施的改造,將農(nóng)村供水管網(wǎng)漏損率降低到22%；四是加快實施居民自來水階梯水價制度，創(chuàng)建一批節(jié)水型示范機(jī)關(guān)、學(xué)校、企業(yè)、醫(yī)院、居民小區(qū)；五是加快新建、擴(kuò)建4個集鎮(zhèn)污水處理廠，將全市的污水日處理能力從現(xiàn)在的9.5萬t提高到22萬t。

圖4 功率譜密度曲線圖

隨機(jī)振動試驗的再現(xiàn)性不是指試驗與實際環(huán)境之間的再現(xiàn)性，而是指由不同的人在不同場合下進(jìn)行試驗時所得結(jié)果的一致性。隨機(jī)振動的再現(xiàn)性分為高、中、低三個等級，不同等級對應(yīng)的試驗容差不同。

低再現(xiàn)性試驗方法可能比其他方法要簡單和便宜。高再現(xiàn)性試驗給出相對高的再現(xiàn)性，但一般都比較復(fù)雜，可能需要更貴重和更先進(jìn)的試驗設(shè)備，還由于要求附加的測試而使試驗的時間較長。只有當(dāng)絕對必要時才要求采用高再現(xiàn)性試驗。

再現(xiàn)性的選取不應(yīng)高于試驗樣品推薦應(yīng)用時所必要的再現(xiàn)性。

3 隨機(jī)振動的有限元仿真

圖5 隨機(jī)振動有限元分析流程

隨著社會工業(yè)發(fā)展以及經(jīng)濟(jì)水平逐漸提高，對各種結(jié)構(gòu)的可靠性、安全性要求也越來越高，其中結(jié)構(gòu)的振動問題為影響結(jié)構(gòu)可靠性、安全性的重要因素。機(jī)械設(shè)備、橋梁、建筑物、輸電鐵塔等各種結(jié)構(gòu)在實際應(yīng)用中，難免受到地震、沖擊、波浪、風(fēng)載等外界的隨機(jī)激勵，確保結(jié)構(gòu)在振動激勵下的可靠性、安全性十分必要。

通過隨機(jī)振動試驗，在實驗室中就能模擬結(jié)構(gòu)經(jīng)受外界隨機(jī)激勵，得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)或失效模式。但對于大型結(jié)構(gòu)、建筑、橋梁等，需在設(shè)計階段就對其抗振能力進(jìn)行評估，確保結(jié)構(gòu)具有足夠的安全性才投入生產(chǎn)和建造，利用隨機(jī)振動試驗無法實現(xiàn)。采用有限元技術(shù)，在計算機(jī)中就能模擬結(jié)構(gòu)經(jīng)受隨機(jī)振動激勵時的響應(yīng)，如圖5所示，結(jié)合材料的疲勞特性，還能預(yù)估結(jié)構(gòu)的使用壽命[5]。

如圖6所示為某輸電鐵塔的隨機(jī)振動有限元分析過程。在軟件ANSYS Workbench中建立輸電鐵塔的有限元模型（圖6a），對其進(jìn)行模態(tài)分析，得到其固有頻率和振型，即輸電鐵塔自身的振動特性（圖6b）；輸入隨機(jī)振動功率譜密度曲線（圖6c），通過模態(tài)合并，計算出結(jié)構(gòu)在給定隨機(jī)激勵下的響應(yīng)（圖6d）。

隨機(jī)振動有限元分析流程簡單，軟件操作便捷，分析結(jié)果可靠性高。大批有限元軟件的問世使各種非線性問題、耦合場問題的分析成為可能，有限元技術(shù)在工程中應(yīng)用愈來愈廣泛。

圖6 輸電鐵塔隨機(jī)振動有限元分析

4 結(jié)論

隨機(jī)振動只能通過概率和統(tǒng)計方法來描述。嚴(yán)格來說，實際工程中遇到的振動一般都是隨機(jī)振動。利用隨機(jī)振動來考核產(chǎn)品才能更真實地反映產(chǎn)品對振動環(huán)境的適應(yīng)性和考核其結(jié)構(gòu)的完好性。

過去，實驗室模擬隨機(jī)振動絕大部分均是采用正弦掃頻試驗代替，近階段隨著快速傅利葉變換算法的推出與電子計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，也出現(xiàn)了各種型號的隨機(jī)振動數(shù)字式控制系統(tǒng)，使得隨機(jī)振動試驗被廣泛采用。但國內(nèi)的隨機(jī)振動試驗?zāi)芰ο啾葒馊月浜筝^多，相應(yīng)的隨機(jī)振動嚴(yán)酷等級也低于國外。

有限元技術(shù)的發(fā)展給隨機(jī)振動的仿真帶來了便捷。一些大型結(jié)構(gòu)難以用隨機(jī)振動試驗進(jìn)行可靠性考察的，可以通過有限元技術(shù)進(jìn)行振動響應(yīng)分析，在此基礎(chǔ)上對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，估算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。目前有限元技術(shù)在工程上已廣泛應(yīng)用，在結(jié)構(gòu)的振動分析中也發(fā)揮了巨大作用。

[1]李杰,陳建兵. 隨機(jī)振動理論與應(yīng)用新進(jìn)展[M]. 上海:同濟(jì)大學(xué)出版社, 2009, 4.

[2]賈民平，張洪婷，周劍英. 測試技術(shù)[M]. 北京:高等教育出版社，2007, 12.

[3]GB/T 2423.56-2006, 寬帶隨機(jī)振動（數(shù)字控制）和導(dǎo)則[S].

[4]GB/T 2423.10-2008, 振動（正弦）[S].

[5]李范春. ANSYS Workbench 設(shè)計建模與虛擬仿真[M]. 北京:電子工業(yè)出版社, 2011, 8.