基于四階累積量的近場源多參數(shù)聯(lián)合估計

王 鵬，邱天爽＊，李景春，譚海峰，3

（1.大連理工大學 電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024；2.國家無線電監(jiān)測中心，北京 100037；3.北京郵電大學 信息與通信工程學院，北京 100876）

0 引 言

空間信源的位置估計是陣列信號處理與應(yīng)用中的基本問題之一，也是聲吶、雷達、地震探測以及電子偵察等領(lǐng)域的重要任務(wù)之一.根據(jù)信源與陣列天線的位置關(guān)系，可以將空間信源分為遠場源和近場源.在傳播過程中，遠場源的波前可以用平面波進行描述，其位置可由單一的波達方向（direction of arrival，DOA）給出，然而當信源靠近菲涅爾區(qū)即近場情況下，此時電磁傳播過程中的波前曲率不可忽略，必須采用球面波進行描述，其位置則需利用距離和DOA 進行聯(lián)合確定.

針對近場源的參數(shù)估計問題，文獻［1］提出了最大似然估計法，文獻［2］提出將1D－MUSIC 算法擴展為2D－MUSIC方法，以實現(xiàn)近場源的位置估計，但需要進行二維峰值搜索.為了減小計算量，學者們相繼提出了Root－MUSIC 方 法［3］、路徑跟蹤算法［4］以及CA－MUSIC 方法［5］等多種方法，但仍需進行多次一維峰值搜索，計算量十分可觀.為此，學者們進一步提出了無須峰值搜索的方法［6－16］，其中以Challa等［9］和Yuen等［10］為代表提出的ESPRIT－like方法［9－16］最受關(guān)注，該方法通過構(gòu)造合適的累積量矩陣并采用子空間旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)進行信源參數(shù)的估計，具有封閉的數(shù)學表達式，不需要任何峰值搜索，而且高階累積量對高斯噪聲具有魯棒性，因此該類算法適用于任意形式的高斯噪聲環(huán)境.

文獻［9－12］提出了多個近場窄帶信源的方位與距離的聯(lián)合估計方法，但該類方法假設(shè)多個信源具有相同載頻且頻率已知，不適用于載頻不同且未知電磁環(huán)境.針對這一不足，文獻［13－16］提出了近場窄帶信源頻率、方位以及距離三維參數(shù)的聯(lián)合估計方法，取得較好效果的同時也存在一定的不足，主要體現(xiàn)在兩個方面：一是采用中心對稱接收陣列的方法損失了部分陣列孔徑，參數(shù)估計分辨能力低；二是采用非中心對稱接收陣列的方法提高了孔徑利用率，卻需要構(gòu)造多個累積量矩陣，計算量較大.為彌補以上不足，本文提出一種改進的近場窄帶多信源參數(shù)估計方法，通過所構(gòu)造四階累積量矩陣的特征分解實現(xiàn)DOA、頻率以及距離參數(shù)的聯(lián)合估計.

1 信號模型

假設(shè)空間存在P個近場窄帶信源，入射到一個陣元個數(shù)為M的均勻線陣（見圖1），陣元間距為d，接收到的信號經(jīng)過下變頻至中頻并以采樣頻率fs進行抽樣，當以陣元0為參考陣元時，第m個陣元上的接收數(shù)據(jù)可以表示為

圖1 均勻線陣結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Uniform linear sensor array configuration

式中：K是快拍數(shù)；wm（k）為第m個接收陣元的噪聲；ωi＝2πfi／fs，是第i個信源的數(shù)字頻率；τmi是第i個信源在陣元m相對參考陣元相位差，由信源位置（ri，θi）唯一確定［1］.

其中ri表示第i個信源到參考陣元的距離，θi和λi分別表示第i個信源的入射角以及波長.為了簡化信號模型，本文作如下假設(shè)：

（1）信源為窄帶平穩(wěn)隨機過程，滿足均值為零，峰度值非零，且信源之間相互獨立；

（2）噪聲為高斯過程，滿足均值為零，陣元間噪聲以及噪聲與信源之間相互獨立；

（3）對于不同的信源i≠j，滿足ωi≠ωj，γi≠γj，≠；

（4）陣元間距d≤min（λi）／4，信源個數(shù)已知并滿足P＜M.

2 三維參數(shù)聯(lián)合估計方法

定義大小為M×M的四階累積量矩陣C1，形式如下：

將式（1）代入式（4），在假設(shè)（1）和（2）下，結(jié)合四階累積量的性質(zhì)［17］可以得到

對于－1≤m，n≤M－2，可以將式（5）寫成矩陣形式：

其中C4s＝diag｛c4s1，c4s2，…，c4sP｝，是以信源峰度值c4si為對角元素的矩陣；A是大小為M×P的陣列流形，其第i列稱為導向矢量，可以表示為

在窄帶假設(shè)條件下，有si（k＋1）≈si（k）成立，經(jīng)過推導得到兩個新的累積量矩陣C2、C3：

式中：Ω＝diag｛ejω1，ejω2，…，ejωP｝，Φ＝diag｛ej2γ1，ej2γ2，…，ej2γP｝.

由假設(shè)條件（1）和（3）可知，矩陣C1列滿秩且秩為P，對其進行特征分解得到

M個特征值滿足ρ1≥ρ2≥…≥ρP＞ρP＋1＝…＝ρM＝0，ui是第i個特征值對應(yīng)的特征向量.

定義矩陣C1的偽逆C＃1為

經(jīng)過數(shù)學推導［13］可以得到

由假設(shè)（1）和（3）可知，矩陣A和Ω分別為列滿秩矩陣和可逆對角陣.對矩陣C2C＃1進行特征分解得到的P個非零特征值就對應(yīng)著ejω1，ejω2，…，ejωP.

通過下式可以得到數(shù)字頻率的估計：

angle（·） 表示對“·”求輻角.對累積量矩陣C3進行相似的處理可以得到

同樣地，對C3C＃1進行特征分解得到的P個非零特征值對應(yīng)ej2γ1，ej2γ2，…，ej2γP.

通過下式可以得到γi的估計為

通過特征值對應(yīng)的特征向量就可以得到的估計

綜上，可以得到近場窄帶信源的頻率、方向以及距離的三維參數(shù)估計為

其中c為電磁波的傳播速度和分別由式（17）和（18）估計得到.

假設(shè)本文所用接收陣列由M個陣元組成，M為偶數(shù)，文獻［13－14］采用中心對稱結(jié)構(gòu)，由接收數(shù)據(jù)所構(gòu)造的高階累積量矩陣大小是（M／2）×（M／2），有M／2個陣元孔徑的損失，最多可估計M／2－1個信源.本文和文獻［15－16］采用非中心對稱結(jié)構(gòu)，由接收數(shù)據(jù)所構(gòu)造的累積量矩陣維數(shù)是M×M，避免了陣列天線的孔徑損失，最多可估計M－1個信源.

由于四階累積量矩陣的構(gòu)造以及矩陣的特征分解是算法運算復雜度的主要體現(xiàn)，本文主要考慮這兩項的計算復雜度.利用快拍數(shù)為K的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造一個大小為M×M高階累積量矩陣的計算復雜度為O（9M2K），對其進行特征分解的計算復雜度為O（4M3／3）.本文方法共需要構(gòu)造3個M×M高階累積量矩陣，并需要3 次特征分解，所以計算復雜度為O（27M2K＋4M3），低于采用同樣結(jié)構(gòu)的文獻［15］和［16］，其計算復雜度分別 為O（36M2K＋272M3／3）和O（54M2K＋72M3）.在參數(shù)配對方面，本文方法需要一次參數(shù)配對，文獻［15］需要進行兩次參數(shù)配對，而文獻［16］則不需要參數(shù)配對.

3 仿真實驗

考慮一個陣元數(shù)目M＝8的均勻線陣，陣元間距d＝min（λi）／4，空間存在兩個等功率且統(tǒng)計獨立的近場窄帶信源，中心頻率分別為f1＝3 MHz，f2＝4 MHz.仿真實驗中采樣頻率為10 MHz，本文以均方根誤差erms作為方法性能的評價準則，結(jié)果由L＝300次獨立實驗統(tǒng)計得到：

其中代表本文方法得到的參數(shù)估計值，x代表參數(shù)的真值.

實驗1 比較本文方法與文獻［14－16］方法在不同信噪比下的近場源參數(shù)估計性能，其中信噪比Rsn從0dB到25dB變化，數(shù)據(jù)長度為2 000個快拍，入射角度分別為θ1＝－15°，θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖2給出了不同Rsn下不同方法參數(shù)估計erms的變化曲線.從圖中可以看出，在頻率估計方面，本文方法的性能比文獻［16］方法略差，與文獻［15］方法估計性能相當，明顯優(yōu)于文獻［14］方法.這是因為文獻［14］方法采用了中心對稱結(jié)構(gòu)陣列，具有較大的孔徑損失而導致各參數(shù)估計性能都比較低.相比于文獻［16］方法，本文構(gòu)造高階累積量矩陣個數(shù)少，估計頻率所用的高階累積量矩陣維數(shù)小，因而頻率估計性能略差.在到達角估計方面，本文方法與文獻［15］方法估計性能基本相同，略優(yōu)于文獻［16］方法，明顯優(yōu)于文獻［14］方法.而在距離估計方面，本文方法則明顯優(yōu)于文獻［14－16］中的方法.

實驗2 比較本文方法與文獻［14－16］方法在不同快拍數(shù)下的參數(shù)估計性能，其中信噪比Rsn固定為20dB，數(shù)據(jù)長度范圍為500 到2 500個快拍，入射角度分別為θ1＝－15°，θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖3給出了不同快拍數(shù)下參數(shù)估計erms的變化曲線.從圖中可以看出，各方法性能隨快拍數(shù)的增加而提高，方法之間的性能比較結(jié)果與實驗1結(jié)論相同：本文方法除在頻率估計性能略差于文獻［16］方法以外，其他兩個參數(shù)都能取得比其他方法更加精確的估計結(jié)果.此外，由實驗1和實驗2的結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn)，位置較近信源的距離參數(shù)估計精度明顯高于位置較遠信源的參數(shù)估計結(jié)果，這與文獻［10］的理論分析是一致的，說明了本文方法的有效性.

圖2 不同信噪比下的近場源參數(shù)估計誤差Fig.2 Errors of parameters estimation for near－field sources under different SNR

圖3 不同快拍數(shù)下的近場源參數(shù)估計誤差Fig.3 Errors of parameters estimation for near－field sources under different snapshots

實驗3 比較本文方法與文獻［14－16］方法在不同入射角下的參數(shù)估計性能.其中，信噪比固定為20dB，信源1入射角θ1從0°變化至30°，信源2入射角固定為θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖4給出了不同入射角下的參數(shù)估計erms變化曲線.從圖中可以看出，隨著信源1入射方向的變化，各信源參數(shù)估計性能與實驗1和實驗2中的結(jié)論是一致的.此外還可以發(fā)現(xiàn)，在距離和頻率不同的情況下，同一方向的兩個信源是可以分離的.需要指出的是，本文方法和文獻［14］方法的距離參數(shù)估計誤差會隨著兩個信源入射方向的接近而增大.

實驗4 比較本文方法與文獻［14－16］方法在不同距離下的參數(shù)估計性能.其中，信噪比固定為20dB，信源1的入射角θ1＝－15°，信源2的入射角θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1從0.5λ1變化至4λ1，r2＝0.8λ2.

圖5給出了不同距離參數(shù)下的erms變化曲線.除文獻［14］方法以外，其余方法的頻率估計、到達角估計以及信源2的距離估計erms隨信源1距離的增大沒有明顯的變化，而信源1的距離估計erms則隨距離的增大而增大.文獻［14］方法在r1＝0.5λ1時參數(shù)估計誤差較大，這是因為此時兩信源的距離參數(shù)幾乎相等，不能充分保證文獻［14］方法中要求兩者距離參數(shù)不相等的假設(shè).

圖4 不同信源1入射角下近場源參數(shù)估計誤差Fig.4 Errors of parameters estimation for near－field sources under different DOAs of source 1

圖5 不同距離下近場源參數(shù)估計誤差Fig.5 Errors of parameters estimation for near－field sources under different ranges

實驗5 比較本文方法與文獻［15－16］方法的復雜度，信噪比固定為20dB，數(shù)據(jù)長度范圍為500到2 500個快拍，統(tǒng)計300次Monte－Carlo實驗的運行時間.

表1給出了相同條件下不同方法的運行時間，從表中可以看出，文獻［16］方法運行時間約為本文方法的1.8倍，文獻［15］方法運行時間約為本文方法的1.3倍，與理論分析是一致的，說明本文方法具有更低的運算復雜度.

表1 不同方法運算復雜度比較Tab.1 Comparison of computational complexity for different methods

4 結(jié) 語

本文提出了一種改進的近場窄帶信源多參數(shù)估計方法，能夠?qū)崿F(xiàn)多信源的頻率、距離以及DOA 的聯(lián)合估計.通過采用非對稱陣列結(jié)構(gòu)以達到避免陣列孔徑損失的目的，通過構(gòu)造新的累積量矩陣以達到降低算法的計算復雜度的效果.最后，仿真實驗結(jié)果表明，本文方法除在頻率估計精度方面略低于文獻［16］方法外，其他兩個參數(shù)的估計精度均高于其他方法，尤其是距離參數(shù)估計精度明顯高于其他方法，證明了本文方法的有效性.此外，本文方法在保證參數(shù)估計精度的同時，有效地縮短了運行時間，說明了本文方法的工程應(yīng)用價值.

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