二次函數(shù)中軸對稱的幾點(diǎn)教學(xué)策略

湖北省吳家山第五中學(xué) 劉 嵐

近幾年在新課程改革的理念指導(dǎo)下，二次函數(shù)類型的壓軸題幾乎年年出現(xiàn)在武漢市中考的最后兩題中，也是學(xué)生最難完成的任務(wù)。題型靈活、設(shè)計(jì)新穎、構(gòu)思巧妙、富有極強(qiáng)的綜合性的壓軸題層出不窮，其中一類以軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換與二次函數(shù)相結(jié)合的試題更是成為學(xué)生頭疼的重點(diǎn)內(nèi)容之一。在教學(xué)中，倘若從一開始就將這幾種圖形變換與二次函數(shù)相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)學(xué)生根本無法入手，無從下筆。因此要突破這類問題，應(yīng)該分解難點(diǎn)，分散難點(diǎn)，逐一突破，要解決此類問題，就要一步一步完成。

一、立足課本，重視平時(shí)課堂學(xué)習(xí)中滲透軸對稱

深化對基礎(chǔ)知識的理解，重視知識間的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)對學(xué)生知識整合能力的培養(yǎng)，提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力，首要問題是要立足課本，以基礎(chǔ)知識、基本方法為主，深入的理解和處理教材，應(yīng)用教材，并重視教材中相應(yīng)知識的前后呼應(yīng)，融會(huì)貫通和知識之間的舉一反三。數(shù)學(xué)知識的形成是一個(gè)螺旋上升的過程，每一個(gè)新的知識點(diǎn)都要建立在原有的知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上，只有將學(xué)生已掌握的知識通過一定的轉(zhuǎn)化、變式或提升才可以使其達(dá)到一個(gè)新的層次和高度。在這個(gè)過程中，教材上的知識幾乎都是“靜態(tài)”的，教師則應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況將它轉(zhuǎn)化成“動(dòng)態(tài)”的研究對象，讓學(xué)生通過一系列的質(zhì)疑、探索、分析、討論與總結(jié)將知識點(diǎn)逐步消化。因此，教師就必須對部分知識點(diǎn)進(jìn)行刪減、調(diào)換、或加以補(bǔ)充，使知識為學(xué)生所吸收。

二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是在已學(xué)函數(shù)內(nèi)容為基礎(chǔ)的，由八年級下冊的“一次函數(shù)”和九年級上冊的“反比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)到九年級下冊的“二次函數(shù)”的學(xué)習(xí)不是一個(gè)短暫的過程，無論是哪個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)都會(huì)含有軸對稱的內(nèi)容。例如，請寫出一次函數(shù)y=-5x+3關(guān)于y軸對稱的解析式。這類問題充分說明函數(shù)解析式的求得離不開點(diǎn)的坐標(biāo)或圖形特征，所以在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)就要結(jié)合軸對稱的知識。像這樣的問題非常多，處理好這類問題的教學(xué)，從而為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

教學(xué)中，整個(gè)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程是由淺入深，由簡到難，逐層深入。首先，教材借助二次函數(shù)y=x2的圖象引出拋物線及其有關(guān)概念，通過對圖象的觀察，并結(jié)合函數(shù)對應(yīng)值表，可以發(fā)現(xiàn)y=x2的圖象的對稱性，而圖象的對稱性也可以從表格看出。在函數(shù)圖象中進(jìn)一步研究二次函數(shù)對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)和函數(shù)的最值問題。其次，進(jìn)一步學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)每一類二次函數(shù)的學(xué)習(xí)都是由這幾點(diǎn)入手，在學(xué)習(xí)時(shí)可以將軸對稱的知識滲透在每一類函數(shù)解析式的表格、圖象中。一般說來，表格也好，圖象也好，都是部分的、近似的，而我們在選取這部分時(shí)，都會(huì)盡力使自變量的取值、函數(shù)值、函數(shù)圖象與軸對稱緊密聯(lián)系。

二、圖象可以“動(dòng)態(tài)”處理

軸對稱圖象有很多美麗的圖案是用手很難繪制出來的，二次函數(shù)中也有很多圖像的性質(zhì)是隨著數(shù)字的變化而變化的，還有很多內(nèi)容的教學(xué)是無法光靠黑板的板書就能完成的。于是，多媒體的到來給所有的數(shù)學(xué)教師帶來了曙光，教師可以利用PPT、flash或幾何畫板等軟件的使用，實(shí)現(xiàn)讓數(shù)學(xué)真正的在學(xué)生眼前動(dòng)起來。

例如，教師在講解二次函數(shù)“y＝ax2”的圖像性質(zhì)時(shí)，可以運(yùn)用幾何畫板先畫出拋物線，然后用鼠標(biāo)拖動(dòng)拋物線，使它的開口變化。此時(shí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)a的值將隨著開口大小的變化而變化，當(dāng)開口向上的拋物線經(jīng)拖動(dòng)后變?yōu)殚_口向下時(shí)，屏幕上的a的值也隨之變?yōu)樨?fù)數(shù)了，使整個(gè)教學(xué)過程顯得更加清晰。

多媒體的運(yùn)用為二次函數(shù)知識的教學(xué)開辟了一塊新的天地，讓二次函數(shù)的教學(xué)變得更為豐富多彩，也讓學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更有激情，它已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)人們的學(xué)習(xí)生活不可缺少的一部分了。

三、學(xué)會(huì)歸納，總結(jié)基本規(guī)律

二次函數(shù)中涉及的簡單的軸對稱知識并不是很難，只要做好基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)與整理，不難發(fā)現(xiàn)簡單的軸對稱是有規(guī)律可尋的，而且這些規(guī)律只要與圖象相結(jié)合，是很好理解的，以下便是基本的規(guī)律。（以下所有字母的正負(fù)由圖形決定）

（一）二次函數(shù)關(guān)于y軸的對稱性

第一，拋物線y＝ax2關(guān)于y軸對稱的解析式為：y＝ax2

第二，拋物線y＝ax2+k關(guān)于y軸對稱的解析式為：y＝ax2+k。

第三，拋物線y＝ax2+bx關(guān)于y軸對稱的解析式為：y＝ax2-bx。

第四，拋物線y＝a (x－h(huán))2＋k關(guān)于y軸對稱的解析式為：y＝a (x+h)2＋k。

第五，拋物線y＝ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱的解析式為：y＝ax2-bx+c。

（二）二次函數(shù)關(guān)于x軸的對稱性

第一，拋物線y＝ax2關(guān)于x軸對稱的解析式為：y＝-ax2。

第二，拋物線y＝ax2+k關(guān)于x軸對稱的解析式為：y＝-ax2-k。

第三， 拋物線y＝ax2+bx關(guān)于x軸對稱的解析式為：y＝-ax2-bx。

第四，拋物線y＝a (x－h(huán))2＋k關(guān)于x軸對稱的解析式為：y＝-a(x-h)2-k。

第五，拋物線y＝ax2+bx+c關(guān)于x軸對稱的解析式為：y＝-ax2-bx-c。

四、數(shù)形結(jié)合解決綜合題型

二次函數(shù)的學(xué)習(xí)能力主要體現(xiàn)在解決問題上，是否能進(jìn)行變式、類比，是否能將知識穿插成能解題的網(wǎng)，在邏輯思維中靈活運(yùn)用，是否能推廣到類似題型中，抽象數(shù)學(xué)模型，理解函數(shù)圖象的內(nèi)涵等等都體現(xiàn)了學(xué)生的綜合能力。因而要鼓勵(lì)學(xué)生識別圖象，多進(jìn)行進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等實(shí)踐活動(dòng)，從中培養(yǎng)學(xué)生的圖象識別能力、動(dòng)手操作能力、空間想象能力、知識的靈活運(yùn)用能力，進(jìn)而提高學(xué)生理解知識運(yùn)用知識，掌握圖象變換、動(dòng)靜結(jié)合解決綜合性問題的能力。

綜合題目的解決離不開書本上基礎(chǔ)知識的運(yùn)用，同時(shí)要重視知識內(nèi)在的整合，教學(xué)過程中要多角度、多方面、多層次的引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用和理解知識，同時(shí)使他們學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，舉一反三。同時(shí)，要讓學(xué)生多進(jìn)行軸對稱圖形的研究，多培養(yǎng)學(xué)生的圖形識別能力，內(nèi)涵的深入認(rèn)識，掌握圖形變換的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生能通過圖形和規(guī)律提高學(xué)生解決問題的能力。