高一數(shù)學(xué)中的分類討論問題

四川省瀘州市古藺縣古藺中學(xué)校 楊必敏

高中數(shù)學(xué)新課程實施以來，數(shù)學(xué)思想方法逐步引起重視。其中分類討論思想是中學(xué)生必須要掌握的一種思想方法。所謂分類討論，即對問題中的各種情況進(jìn)行分類，或?qū)λ婕暗姆秶M(jìn)行分割，然后分別研究和求解，最后整合得答案。對于剛剛進(jìn)入高中的學(xué)生來說，整個數(shù)學(xué)思想方法都還停留在一個淺層次。分類討論的思想雖然在初中學(xué)習(xí)過一些，可對絕大多數(shù)同學(xué)來說，“為什么分類？怎樣分類？”都是一個朦朧的狀態(tài)。因此從高一開始，就對學(xué)生灌輸這一思想方法尤為重要。下面，我就從高一數(shù)學(xué)（必修1）的幾個常見問題來談?wù)勅绾谓鉀Q我們的分類討論問題。

要解決分類討論的問題就是要讓學(xué)生弄清引發(fā)分類的原因（為什么分類），還要掌握科學(xué)分類的原則（怎樣分類），即不重復(fù)，不遺漏。下面我舉例說明。

例1：已知集合A由三個元素組成，若求實數(shù)a的值。

分析：本題是高一學(xué)生進(jìn)入高中以來遇到的第一道分類討論問題。學(xué)生在解決問題時主要是要搞清楚三個元素中到底哪個為1，由集合的定義，我們知道，三個元素都可以為1，于是分類討論的思想就出來了。但是我們也知道，集合元素的互異性，所以我們最后還要進(jìn)行檢驗。這也就是說我們分類討論要不重復(fù)，不遺漏。

解：若a+2=1,則a=-1,此時這與元素的互異性相矛盾，故a=-1應(yīng)舍去。

若(a+1)2=1，則a=0或a=-2. 當(dāng)a=0時，A={2,1,?3},滿足題意。

當(dāng)a=-2時，A={0,1,1}，這與元素的互異性相矛盾，故a=-2應(yīng)舍去。

當(dāng)a2+3a+3=1時，則a=-1或a=-2。由（1）、（2）知兩個值都應(yīng)舍去。綜上：a=0。

反思：我們分析之所以分類，是因為哪個元素為1不確定。這是很典型的由運(yùn)算引起的分類討論，這在我們含參數(shù)的運(yùn)算中很常見。如初中的含參數(shù)的一元二次方程的解，就要根據(jù)△的正負(fù)來進(jìn)行分類；再如，分式方程的求解等。解決這類問題的關(guān)鍵是對各種計算熟悉。當(dāng)然尤其是這類問題的分類，是在運(yùn)算過程中發(fā)現(xiàn)的，

所以我們是要大膽的下筆。

例2：已知集合

, 若B ?A，求實數(shù)m的取值范圍。

分析：這是一個很典型的集合問題，也是學(xué)生在做題過程中最容易出錯的問題，出錯的原因就是子集的概念理解得不是很清楚，忽略掉空集是任何集合的子集這一重要信息，從而導(dǎo)致沒有進(jìn)行分類。當(dāng)然這道題的分類標(biāo)準(zhǔn)就是分B集合為空集或者不為空集。

解：因為B?A，所以B=? 或者B≠?。

當(dāng)B=?時，有m+1≥2m?1,得m≤2。

當(dāng)B≠?時，有，得：

∴綜上所述，當(dāng)B?A時，有m≤4

反思：我們解決一下“為什么分類”的問題，我們知道空集是任何集合的子集，可是B集合是否為空集我們不確定。當(dāng)然這個問題得到解決，那么“怎么分類”也就自然而然的呈現(xiàn)了出來，這是很典型的由數(shù)學(xué)的概念引發(fā)的討論問題。解決這類問題主要是要將我們的概念熟悉，避免在解決問題時沒有討論到，而導(dǎo)致解題錯誤。

例3：已知解不等式

分析：分段函數(shù)本身就是一種分類討論，需對函數(shù)的每一段情況分別進(jìn)行研究。要解決此類題，我們就不許知道f(x+2)應(yīng)該為那一個值，這就解決了我們?yōu)槭裁捶诸?，?dāng)然分類標(biāo)準(zhǔn)也就出來了。

解：當(dāng)x+2≥0時，原不等式可化為x+x+2≤5.解是:

當(dāng)x+2?0時，原不等式可化為:x?(x +2)?5，解得x??2。

反思：這是一個典型的函數(shù)分類問題，而這類問題也主要從我們要的結(jié)果入手，就如本題說函數(shù)代那個值。也就是說我們?nèi)绻环?，那就沒辦法做下去，如果分，那就是誰檔我們的路就分誰。

例4：求在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。

分析：這是一道二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。最開始時很多同學(xué)是不知道下筆的。那么我們就要引導(dǎo)學(xué)生：1、函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)嗎？這個問題丟給學(xué)生解決，他們就會發(fā)現(xiàn)可能單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，也有可能不單調(diào)。那么第一個分類標(biāo)準(zhǔn)就出來了。2、我們知道單調(diào)函數(shù)的最值好求，那如果在這個區(qū)間上不單調(diào)，最值怎么辦，所以大的分類標(biāo)準(zhǔn)下，小的分類標(biāo)準(zhǔn)就出來了。只要學(xué)生理好程序，那么解決問題就容易了。

解：對稱軸為：x=a。

（1）當(dāng)a＜0時，則f(x)在上單調(diào)遞增，

（2）當(dāng)0≤a≤2時，則f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，在[a,2]上單調(diào)遞增，

反思：這是由函數(shù)性質(zhì)，圖形位置，運(yùn)算引發(fā)的分類的綜合問題。解決這類問題，我們的關(guān)鍵是對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識熟悉，如此題要知道求函數(shù)的最值需要判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此可以確定大的分類標(biāo)準(zhǔn)。由上面幾道例題，我們可以確定分類問題解題程序可大致分為以下幾個步驟：明確討論的對象，確定對象的全體；確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確分類，不重不漏；逐步進(jìn)行討論，獲得結(jié)段性結(jié)記；歸納總結(jié)，綜合結(jié)記。

分類討論的問題在我們的數(shù)學(xué)思想方法中起著舉足重輕的作用：一是現(xiàn)在的高考中大篇幅的題目涉及到分類討論思想；二是分類討論思想能夠培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性?？傊⒅胤诸愑懻撍枷朐谄綍r教學(xué)中的滲透，對提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識具有重要的現(xiàn)實意義。那么對于剛進(jìn)入高一的學(xué)生來說，我們更不能有畏難情緒，從頭抓起，讓學(xué)生不斷體會“為什么分類，怎樣分類”，相信對我們學(xué)生的整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會起著關(guān)鍵作用。