飽和土體中襯砌隧道在移動荷載下的動力響應

曾 晨，孫宏磊，蔡袁強，3，曹志剛

（1.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州310058；2.浙江大學 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，浙江 杭州310058；3.溫州大學 建筑與土木工程學院，浙江 溫州325035）

隨著地鐵建設的快速發(fā)展，由地鐵運營引起的振動及噪聲問題日益嚴重，因此，亟需適當?shù)恼駝釉u估方法來應對這些問題.

對于地鐵引起的環(huán)境振動問題，目前已有許多分析模型和計算方法.Balendra等［1］利用二維有限元分析模型建立了“地鐵-地基土-結(jié)構(gòu)”體系，計算分析了一幢銀行建筑在地鐵振動下的穩(wěn)態(tài)振動.Gardien等［2］開發(fā)了隧道振動的三維有限元模型，模型中包含3個子模型，考慮了從振動產(chǎn)生到向外傳播的整個過程.Sheng等［3］采用“離散波數(shù)法”建立了一個預測模型，計算成層土中的圓形隧道（有襯砌或無襯砌）中作用固定或移動簡諧荷載所引起的動力響應.Forrest等［4-5］提出了Pipe-in-pipe（PiP）模型，并結(jié)合雙梁無渣軌道模型，用解析的方法研究了全空間中隧道的動力響應問題，考慮了軌道系統(tǒng)、襯砌結(jié)構(gòu)與地層三者的耦合.Clouteau等［6］建立了三維模型計算地鐵引起的自由場振動，用有限元和邊界元分別模擬隧道和土體，研究了隧道和土體間的動力相互作用.Gupta等［7］比較了PiP模型和周期性有限元-邊界元耦合模型，分別用這兩種模型分析全空間中襯砌隧道的動力響應，所得結(jié)果的一致性很好.劉維寧等［8］建立“車輛-軌道基礎(chǔ)-襯砌結(jié)構(gòu)-地層系統(tǒng)”的三維有限元分析模型，對地鐵列車引起地面振動響應進行了計算分析.謝偉平等［9］利用有限元方法分析了地鐵運行時土體的波動特性，簡化了列車荷載，并且考慮了地基土性質(zhì)不同帶來的影響.Bian等［10］采用2.5維有限元模型分析隧道與周圍土體的相互作用，通過與半解析解的對比驗證了本文模型的正確性；計算了地鐵列車引起的土體振動，并分析了移動荷載振動頻率對地表處波衰減的影響.以上各研究無論采用數(shù)值模擬還是解析方法，都是將土體用單相介質(zhì)來模擬進行研究的.然而，富水地區(qū)地下水位較高，很多時候地鐵隧道位于地下水位以下，將土體視為飽和兩相介質(zhì)更接近實際情況.已有的移動荷載動力響應的研究表明，當荷載移動速度接近地基土Rayleigh波波速時，用單相介質(zhì)模擬飽和土體將帶來較大的誤差，無法準確預測整個體系的動力響應［11］.

其他一些學者則用飽和多孔介質(zhì)模型來模擬土體，考慮流、固耦合作用，研究隧道結(jié)構(gòu)與飽和土體的動力相互作用.Senjuntichai等［12］引入Biot飽和多孔介質(zhì)模型，通過Laplace變換得到了全空間飽和多孔彈性介質(zhì)中無限長隧道（無襯砌）內(nèi)表面作用軸對稱荷載的瞬時響應解答.Hasheminejad等［13］假設襯砌與周圍飽和土體不完全連結(jié)，研究了軸對稱環(huán)形移動荷載作用下的無限長圓形襯砌及周圍土體的動力響應，并重點研究了襯砌與土體不完全連結(jié)帶來的影響.劉干斌等［14］引入一種黏彈性本構(gòu)模型，研究了無限黏彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞（有襯砌）內(nèi)表面受軸對稱簡諧荷載和流體壓力作用時的頻域響應問題.Lu等［15］研究了飽和土中隧洞（無襯砌）內(nèi)表面作用移動軸對稱荷載時的動力響應，并討論了移動荷載的速度對隧洞動力響應的影響.黃曉吉等［16］通過引入勢函數(shù)，研究了飽和土中圓形襯砌隧洞在環(huán)形移動荷載作用下的動力響應，計算并比較了3種隧洞模型的動力響應.雖然以上研究中都將土體視為飽和多孔介質(zhì)，但都是使用軸對稱或者平面應變模型進行分析，顯然采用三維模型來模擬地鐵隧道和周圍土體的動力響應更符合實際.

本文采用無限長圓柱殼模擬襯砌，采用Biot飽和多孔介質(zhì)模型［17-18］模擬襯砌周圍土體，以解析方法研究了飽和土體全空間中圓形襯砌隧洞在沿軸向移動的徑向單位點荷載作用下的三維動力響應.引入兩類勢函數(shù)來表示土骨架和孔隙水的位移，在不同環(huán)向模態(tài)下利用修正Bessel方程來求解各勢函數(shù)，結(jié)合邊界條件，得到頻率-波數(shù)域內(nèi)位移及孔隙水壓力的解答.最后進行雙重Fourier逆變換得到時間-空間域內(nèi)的響應解.計算了隧道襯砌及周圍土體響應的空間分布及頻譜曲線等，并根據(jù)結(jié)果分析了荷載速度、土體滲透性等對土體和襯砌位移響應及土體孔壓的影響.

1 襯砌結(jié)構(gòu)振動方程

采用無限長圓柱殼模擬襯砌，襯砌的三維模型以及所采用的圓柱坐標系統(tǒng)見圖1，襯砌在軸向χ、環(huán)向y、徑向z的振動方程如下［4，19］：

式中：E、ρ、ν分別為襯砌的彈性模量、密度、泊松比；a為襯砌圓柱殼中面的半徑；h為襯砌厚度；θ為環(huán)向角度（圖1）；u、υ、w為襯砌中面沿χ、y、z方向的位移；qχ、qy、qz表示襯砌中面沿χ、y、z方向的凈應力，等于作用在襯砌內(nèi)、外表面荷載所產(chǎn)生應力的差值.位移及應力分量的正方向見圖1.

當荷載作用線位于θ=0平面內(nèi)時，各應力、位移分量可以展開成如下求和形式［4，20］：

定義函數(shù)f（χ，t）關(guān)于坐標χ和時間t的雙重Fourier變換及其逆變換為

將式（2）、（3）代入式（1a）～（1c），并使用式（4a）進行雙重Fourier變換，可得頻率-波數(shù)域內(nèi)不同環(huán)向模態(tài)n下振動方程的矩陣形式：

式中：~Qχn、~Qyn、~Qzn、~Un、~Vn、~Wn是式（2）、（3）中各變量在頻率-波數(shù)域內(nèi)的對應量，A為3×3的矩陣.

2 飽和土體運動方程

本文認為襯砌周圍土體為均質(zhì)飽和多孔介質(zhì)，引入Biot波動理論［17-18］：

式中：ui、wi分別為土骨架位移分量和流體相對于土骨架的位移分量；¨ui、¨w i表示對時間t求導；λ、μ為土骨架的Lamé常數(shù)；α、M為表征土顆粒和流體壓縮性的常數(shù)；b=η／kp為反映黏性耦合的參數(shù)，其中η、kp分別為流體的動力黏滯系數(shù)和土的動力滲透系數(shù)；ρb=n0ρf+（1-n0）ρs，其中n0為土體的孔隙率，ρf、ρs分別為流體密度和土骨架密度；m=ρf／n0.

均質(zhì)飽和多孔介質(zhì)的物理方程為

根據(jù)矢量場的Helmholtz分解定理，可以把式（6a）、（6b）中土骨架位移u和流體相對于骨架的位移w用標量勢和矢量勢表示為

將式（8）代入波動方程（6a）、（6b），并對時間t做Fourier變換，可以得到

由式（9a）、（9b）可得如下 Helmholtz方程：

式中：kf、ks和kt分別代表飽和土中快縱波、慢縱波和橫波的復波數(shù)，可表達為

利用式（9）～（13），經(jīng)推導整理，頻域內(nèi)的各勢函數(shù)可表達為

式中：

其中：

襯砌周圍的全空間飽和土體三維模型及所采用的圓柱坐標系統(tǒng)見圖2，土體的內(nèi)徑為2a（與圖1中襯砌匹配），外徑無窮大，并且沿軸向無限延伸.

在圓柱坐標系統(tǒng) （r，θ，z）中，式（10）、（11）中的Laplace算子可表達為［4］

圖2 襯砌周圍飽和土體的三維模型Fig.2 Three-dimensional model for saturated soil surrounding liner

式中：er、eθ、ez分別是沿圓柱坐標系主方向r、θ、z的單位向量，是的分量.

展開式（8），再利用式（14）可將土骨架沿r、θ、z方向的位移分量用勢函數(shù)表達為

為了求解方程（10）、（11），類似于式（2）、（3），可設各勢函數(shù)具有如下形式：

將式（15）、（16）、（18）代入式（10）、（11），做關(guān)于坐標z的Fourier變換，在不同模態(tài)n下可得

式（19a）中的求導符號表示對r求偏導.

式（19a）中的第1、2、5式為n階修正Bessel方程，而式（19b）為n+1階修正Bessel方程，這4個方程的解具有如下形式：

將式（18）代入式（17），對坐標z做Fourier變換，并注意到~gθn=-~g rn，不同模態(tài)n下各位移分量可進一步表達為

對物理方程（7a）、（7b）取關(guān)于時間t的Fourier變換，變換后對其中2項進行如下操作：

使用圓柱坐標系下的幾何方程，得孔壓和各應力表達式：

將式（18）、（21）代入式（23），對坐標z做Fourier變換，孔壓和各應力在不同模態(tài)n下可進一步表達為

將式（20）分別代入式（21）、（24）中，利用修正Bessel函數(shù)的遞推關(guān)系［4］進行整理，可得不同模態(tài)n下，飽和土體的土骨架位移及總應力在頻率-波數(shù)域中的矩陣表達式：

式中：U和T均為3×8的矩陣，這2個矩陣中第i行、第j列的元素分別為u ij、tij；

比較式（25）、（26）與式（2）、（3）可知，~un和~σn的各分量在不同的環(huán)向模態(tài)數(shù)n下可表達為

3 襯砌與周圍飽和土體的相互作用

為研究隧道襯砌與周圍飽和土體的相互作用，引入如下的邊界條件［4，13］：

1）襯砌殼體的凈應力等于荷載引起的襯砌內(nèi)、外表面應力的合應力；

2）襯砌與飽和土體接觸面處位移、應力連續(xù)；

3）襯砌與飽和土體接觸面完全不透水；

4）距離荷載作用點無限遠處的位移衰減為0.

如圖1所示，在襯砌內(nèi)表面的θ=0（仰拱）處作用一個沿χ正方向移動的、幅值恒定的徑向單位點荷載.該荷載移動速度為v0，在t=0時位于χ=0位置，它在χ、y、z方向產(chǎn)生的分量表達如下：

式中：δ（·）為狄拉克δ函數(shù).

將式（28）中的δ（θ）／a展開為 Fourier余弦級數(shù)［4］，并做關(guān)于χ和t的雙重Fourier變換，得不同模態(tài)n時該荷載在頻率-波數(shù)域內(nèi)的各分量為

根據(jù)第1個邊界條件，由式（5）有，在襯砌與飽和土體接觸面處

比較圖1和圖2所采用的圓柱坐標系，根據(jù)第2個邊界條件，得到如下關(guān)系：

式中：σzχ、σzy、σzz分別為圖1坐標體系下的應力，不同模態(tài)n時它們在頻率-波數(shù)域內(nèi)對應的量即為

同時利用式（31）、（32），可得襯砌與飽和土體接觸面處的位移、應力表達如下：

將式（33）、（34）代入式（30）中，有

結(jié)合式（32），展開式（24）中~pfn的表達式，在不同模態(tài)n下有

式中：G0及G均為1×4的矩陣.根據(jù)第3個邊界條件，有

聯(lián)立式（35）、（38），有

再聯(lián)立式（33）、（36），解得不同的環(huán)向模態(tài)數(shù)n下r=R（R≥a）處的位移、孔壓：

最后進行關(guān)于ξ和ω的雙重Fourier逆變換，可得飽和土體中點（r，θ，z）處在時間-空間域內(nèi)的土骨架位移分量、孔壓表達式

當r=a時，u r、uθ、u z同時也表示襯砌中面的位移.

由式（29）、（39）可知，待定系數(shù)矩陣F中各元素均含有一個相同的項2πδ（ω+ξv0），若令~P zn=，進行類似操作，式（41）可進一步簡化為

令z0=z-v0t，則式（42）中所求各分量變成與時間無關(guān)的量.也就是說，在隨點荷載一起移動的坐標系（r，θ，z0）下，本文研究的問題變成了一個穩(wěn)態(tài)問題.

4 算例與分析

4.1 與以往解析解的對比

為驗證本文方法的正確性，采用本文方法計算了文獻［13］中荷載移動速度v0=10 m／s、土體為硬土（Stiff soil）時的徑向位移ur.文獻［13］中襯砌內(nèi)作用的是一個恒定的環(huán)形移動荷載，因此，在計算時，將環(huán)形荷載等效成180個沿圓周均勻分布的點荷載，將每個點荷載在考察點處引起的位移進行疊加，所得結(jié)果見圖3.從圖3可以看出，二者結(jié)果吻合得很好，驗證了本文方法的正確性，同時也說明采用圓柱殼來模擬隧道襯砌的精度是足夠的.

圖3 本文與Hasheminejad等[13]的結(jié)果對比Fig.3 Comparison between present work and Hasheminejad's［13］work

4.2 參數(shù)分析

本節(jié)各算例中所采用的模型參數(shù)為：襯砌參數(shù)來自文獻［4］，取E=5×1010Pa，ρ=2 500 kg／m3，ν=0.3，a=3 m，h=0.25 m；飽和土體參數(shù)則參考了文獻［21］，取Lamé常數(shù)λ=3×107Pa，μ=2×107Pa，ρf=1 000 kg／m3，ρs=2 600 kg／m3，n0=0.4，α=1.0，M=5×109Pa，b=106～1010N·s／m4.移動荷載的幅值為1 N.

圖4給出了當土體b值不同時，移動荷載作用點以及正下方3 m處（即r=3 m和6 m，θ=0，z0=0）的徑向位移ur隨荷載移動速度v0變化的曲線.為了比較，圖4中還給出了單相彈性土體中對應的位移曲線，計算時將飽和土體參數(shù)ρf、b、α、M、m取為10-4，使得飽和土體退化為單相彈性土體［22］.

從圖4可以看到，與地面交通系統(tǒng)類似［11］，飽和土體中襯砌隧道系統(tǒng)也存在臨界速度（臨界速度即為圖中各曲線峰值所對應的v0值）.當v0＜30 m／s時，各條曲線均比較平緩，位移ur隨v0變化的影響很小，此后ur隨v0增大而迅速增大，并在達到峰值后又迅速減小.圖4中的各條曲線均在v0=102 m／s附近時達到峰值，與土體中的S波波速（彈性土體及無滲流的飽和土體的S波波速均為vs=101 m／s）非常接近.圖4（a）中各曲線明顯大于其在圖4（b）中對應的曲線.由圖4（a）可知，飽和土體中荷載作用點處的ur隨著土體b值的增大（土體滲透性變差）而減小，并且均小于相應的彈性土體中的ur.圖4（b）中，荷載正下方3 m處的飽和土體ur則隨著土體b值的增大而增大，3個b值相對應的u r曲線中僅有b=106N·s／m4時的ur小于彈性土體中的u r.

圖4 不同b值時荷載下方兩點的u r隨v 0變化的曲線Fig.4 ur of two points varied with v0 for different b

鑒于圖4中2點的位移ur受b值變化影響的規(guī)律不同，圖5給出了當v0=105 m／s時荷載正下方處（θ=0，z0=0）的土體響應沿徑向坐標r的分布曲線.圖5（a）中各條ur曲線均隨著r的增大而迅速減小.在襯砌附近（r＜4.5 m）的土體中飽和土體ur隨著土體b值的增大而減小，并且均小于彈性土體ur；當r＞4.5 m時，飽和土體ur隨著土體b值的增大而增大，并且b值較大（土體滲透性較差）時的飽和土體ur大于彈性土體u r.本文的公式推導中認為襯砌與土體接觸面完全不透水，接觸面處流體與土骨架的運動是完全一致的，由于流體的壓縮模量很大，襯砌附近飽和土體的壓縮剛度大于相應彈性土體的剛度，因此，襯砌附近飽和土體ur小于彈性土體u r.

本研究中的點荷載沿著軸向移動，其所引起的整個系統(tǒng)的響應不是關(guān)于z0=0平面對稱（靜止荷載引起的響應才是對稱的），因此，荷載正下方土體骨架的軸向位移u z并不為0.u z沿徑向r的分布曲線見圖5（b），隨著r的增大，各u z曲線均先增大后減小.土骨架u z隨著土體b值的增大而迅速減小，當b=1010N·s／m4時，u z已基本接近0，但是仍然大于彈性土體的u z.移動荷載下方飽和土骨架的軸向位移要大于彈性土體中的軸向位移，若采用彈性模型來模擬隧道周圍土體會低估此處軸向位移.

圖5 v0=105 m/s時荷載正下方處的響應沿r的分布曲線Fig.5 Response of points under moving load varied with r when v0=105 m／s

根據(jù)圖5（c），隨著r的增大，各pf曲線呈現(xiàn)減小趨勢，在r＞9 m后基本重合.孔壓pf隨著b值的增大而增大，滲透性差的土體在荷載作用點附近會產(chǎn)生較大的孔壓.

圖6給出了v0=10 m／s和v0=105 m／s時隧道仰拱（r=3 m，θ=0）以及仰拱下方3 m（r=6 m，θ=0）處的徑向位移ur沿軸向坐標z0的分布.圖中仍然給出了單相彈性土體中對應的曲線.可以看到，由于v0=105 m／s更接近臨界速度，此時的ur曲線大于v0=10 m／s時的ur曲線.各條ur曲線的形狀類似，均在荷載作用平面（z0=0）附近出現(xiàn)峰值，基本呈現(xiàn)對稱的分布.仰拱處ur曲線的形狀更為尖銳，并且要遠大于仰拱下方3 m處的曲線.

圖6 不同b值時隧道仰拱以及仰拱下方3 m處的ur沿的分布曲線Fig.6 ur of tunnel invert and points 3 m under the invert varied with z0 for different b

與圖4（a）類似，由圖6（a）、（b）可以看到，飽和土體中的仰拱位移ur隨著土體b值的增大而減小，并且均小于彈性土體中的ur.在圖6（c）、（d）中，靠近z0=0平面的飽和土體的土骨架位移ur隨著b值的增大而增大，|z0|增大后則隨著土體b值的增大而減??；在z0=0平面附近，仰拱下方3 m處彈性土體的ur小于b=108N·s／m4時的ur.隨著|z0|的增大，位移ur中由S波引起的部分所占的比例也在增大，飽和土體中流體的存在使得飽和土體中S波衰減的更快，因此，正如圖6中所見，彈性土體ur又大于飽和土體u r了.

圖7給出了當v0=10 m／s和v0=105 m／s時隧道仰拱下方3 m（r=6 m，θ=0）處的軸向位移u z沿軸向坐標z0的分布，各條曲線基本呈現(xiàn)反對稱的分布.當v0=105 m／s時的uz曲線略大于v0=10 m／s時的u z曲線，但增大幅度不如圖6（c）、（d）中的ur曲線.飽和土體uz隨著土體b值的增大而增大，并且均大于彈性土體u z.隨著|z0|的增大，各條u z曲線先增大后減小，減小的同時有重合的趨勢.

結(jié)合圖6、7可以看到，b=108N·s／m4時的曲線與b=1010N·s／m4時的曲線很接近，荷載高速移動（v0=105 m／s）時更是基本重合，說明當襯砌周圍土體是滲透性較差的黏性土時，b值的變化對位移響應的影響很小.此外，圖6、7的各位移分布曲線中，彈性土體曲線的對稱性（包括反對稱性）最好，b=106N·s／m4曲線的對稱性最差；當v0=105 m／s時位移分布對稱性比v0=10 m／s時差.飽和土體和彈性土體中的位移響應區(qū)別明顯，飽和土體位移場的對稱性受荷載速度、土體滲透性影響較大.

圖7 不同b值時隧道仰拱下方3 m處的uz沿z 0的分布曲線Fig.7 uz of points 3 m under the tunnel invert varied with z0 for different b

圖8給出了當v0=10 m／s和v0=105 m／s時隧道仰拱下方3 m（r=6 m，θ=0）處的土體孔壓pf沿軸向坐標z0的分布，可以看到孔壓最大值基本出現(xiàn)在荷載作用平面處.當b=106N·s／m4增大到b=108N·s／m4時，pf迅速增大，之后增大趨勢減小.圖8中當b=106N·s／m4時的2條曲線在z0=0附近及z0＞0區(qū)域內(nèi)均大于0，而在z0＜0區(qū)域內(nèi)小于0.可見在滲透性較好土體中，恒定移動荷載下方及下前方區(qū)域內(nèi)孔壓為正，下后方區(qū)域內(nèi)孔壓為負；滲透性較差的土體內(nèi)則主要是正孔壓，分布比較對稱.當v0從10 m／s增大到105 m／s，b=106N·s／m4時的孔壓曲線顯著增大，而當b=108N·s／m4與b=1010N·s／m4時的曲線變化不大.滲透性較好土體的孔壓受荷載移動速度v0的影響比較明顯.

圖8 不同b值時隧道仰拱下方3 m處的p f沿z0的分布曲線Fig.8 pf of points 3 m under the tunnel invert varied with z0 for different b

圖9給出了當v0=10 m／s和v0=105 m／s時隧道仰拱下方一點（r=6 m，θ=0，z=0）處徑向位移ur的頻譜曲線，在t=0時刻移動荷載位于z=0平面上，頻率f=ω／（2π）.可以看到，各條曲線均隨著頻率f增大而減小，v0的變化對頻譜曲線的影響很大：v0=10 m／s時的頻譜曲線比v0=105 m／s時減小得更快，v0=105 m／s時頻譜分布的頻率范圍更大；當f較小時，v0=10 m／s的頻譜值比v0=105 m／s時的大，當f超過一定值（約為0.35 Hz）后，v0=105 m／s的頻譜值更大.

b值不同引起的u r頻譜曲線的差別主要分布在低頻范圍，頻率f越大各曲線越接近.在圖9（a）、（b）的各條飽和土ur頻譜曲線中，b=106N·s／m4的頻譜值在低頻時最大，隨著f增大逐漸變成最小.在f較小時彈性土體中u r的頻譜值大于飽和土體中u r的頻譜值，f增大后則小于飽和土體中u r的頻譜值.

圖9 不同b值時一點處u r的頻譜曲線Fig.9 Frequency spectrum of ur of a point for different b

5 結(jié) 論

本文用無限長圓柱殼來模擬襯砌，用Biot飽和多孔介質(zhì)模型來模擬土體，以解析方法研究了飽和土體全空間中圓形襯砌隧道在移動點荷載作用下的三維動力響應.計算了隧道襯砌及周圍土體響應的空間分布和頻譜曲線等，并根據(jù)結(jié)果分析了荷載速度、土體滲透性等對位移響應及土體孔壓的影響.得到如下結(jié)論：

（1）與地面交通系統(tǒng)類似，飽和土體中襯砌隧道系統(tǒng)也存在臨界速度.臨界速度與無滲流飽和土體的S波波速基本一致.

（2）飽和土體中的位移及孔壓分布受荷載速度、土體滲透性影響較大.襯砌及襯砌附近（徑向坐標r較?。┑娘柡屯馏w骨架位移隨耦合性參數(shù)值增大（土體滲透性變差）而減??；而離襯砌稍遠處的飽和土體位移受耦合性參數(shù)值變化影響的規(guī)律較為復雜，還與荷載移動速度、觀察點到荷載作用平面（z0=0）的軸向距離等有關(guān).土體孔壓隨耦合性參數(shù)值增大而增大.但當襯砌周圍土體為滲透性較差的黏性土時，耦合性參數(shù)值的變化對土體位移、孔壓的影響比較小.

（3）襯砌附近飽和土體的位移小于彈性土體中的位移，而離襯砌稍遠區(qū)域中荷載作用平面附近的飽和土體位移則大于彈性土體中的位移.荷載的移動性對飽和土體位移場對稱性的影響要大于對彈性土體的影響，飽和土體和彈性土體中的位移響應區(qū)別明顯，在富水地區(qū)研究地鐵隧道及周圍土體的動力響應問題時，應采用與實際情況更接近的飽和多孔介質(zhì)模型模擬土體.

（4）荷載移動速度變化對土體位移頻譜的影響很大，當速度由低速增大到接近臨界速度時，頻譜曲線分布的頻率范圍增大，高頻成分明顯增多，但低頻時的頻譜值明顯變小.

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［1］BALENDRA T，CHUA K H，LO K W，et al.Steadystate vibration of subway-soil-building system［J］.Journal of Engineering Mechanics，1989，115（1）：145- 162.

［2］GARDIEN W，STUIT H G.Modelling of soil vibrations from railway tunnels［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，267（3）：605- 619.

［3］SHENG X，JONES C J C，THOMPSON D J.Ground vibration generated by a harmonic load moving in a circular tunnel in a layered ground ［J］.Journal of Low Frequency Noise，Vibration and Active Control，2003，22（2）：83- 96.

［4］FORREST J A，HUNT H E M.A three-dimensional tunnel model for calculation of train-induced ground vibration［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，294（4）：678- 705.

［5］FORREST J A，HUNT H E M.Ground vibration generated by trains in underground tunnels［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，294（4）：706- 736.

［6］CLOUTEAU D，ARNST M.，AL-HUSSAINI T M，et al.Freefield vibrations due to dynamic loading on a tunnel embedded in a stratified medium ［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，283（1／2）：173- 199.

［7］GUPTA S，HUSSEIN M F M，DEGRANDE G，et al.A comparison of two numerical models for the prediction of vibrations from underground railway traffic［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2007，27（7）：608- 624.

［8］劉維寧，夏禾，郭文軍.地鐵列車振動的環(huán)境響應［J］.巖石力學與工程學報，1996，15（增刊）：586- 593.LIU Wei-ning，XIA He，GUO Wen-jun.Study of vibration effects of underground trains on surrounding environments［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，1996，15（S）：586- 593.

［9］謝偉平，孫洪剛.地鐵運行時引起的土的波動分析［J］.巖石力學與工程學報，2003，22（7）：1180- 1184.XIE Wei-ping，SUN Hong-gang.FEM analysis on wave propagation in soils induced by high speed train loads［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2003，22（7）：1180- 1184.

［10］BIAN X C，JIN W F，JIANG H G.Ground-borne vibrations due to dynamic loadings from moving trains in subway tunnels ［J］.Journal of Zhejiang University-SCIENCE A：Applied Physics and Engineering，2012，13（11）：870- 876.

［11］CAI Y Q，CAO Z G，SUN H L，et al.Dynamic response of pavements on poroelastic half-space soil medium to a moving traffic load ［J］.Computers and Geotechnics，2009，36（1／2）：52- 60.

［12］SENJUNTICHAI T，RAJAPAKSE R K N D.Transient response of a circular cavity in a poroelastic medium［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1993，17（6）：357- 383.

［13］HASHEMINEJAD S M，KOMEILI M.Effect of imperfect bonding on axisymmetric elastodynamic response of a lined circular tunnel in poroelastic soil due to a moving ring load［J］.International Journal of Solids and Structures，2009，46（2）：398- 411.

［14］劉干斌，謝康和，施祖元.黏彈性飽和多孔介質(zhì)中圓柱孔洞的頻域響應［J］.力學學報，2004，36（5）：557-563.LIU Gan-bin，XIE Kang-he，SHI Zu-yuan.Frequency response of a cylindrical cavity in poro-viscoelastic saturated medium ［J］.Acta Mechanica Sinica，2004，36（5）：557- 563.

［15］LU J F，JENG D S.Dynamic response of a circular tunnel embedded in a saturated poroelastic medium due to a moving load［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2006，128（6）：750- 756.

［16］黃曉吉，扶名福，徐斌.移動環(huán)形荷載作用下飽和土中圓形襯砌隧洞動力響應研究［J］.巖土力學，2012，33（3）：892- 898.HUANG Xiao-ji，F(xiàn)U Ming-fu，XU Bin.Dynamic response of a circular lining tunnel in saturated soil due to moving ring load［J］.Rock and Soil Mechanics，2012，33（3）：892- 898.

［17］BIOT M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.I.Low-frequency range［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1956，28（2）：168- 178.

［18］BIOT M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid.II.High-frequency range［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1956，28（2）：179- 191.

［19］FLüGGE W.Stresses in Shells（second edition）［M］.Berlin：Springer，1973.

［20］JONES S，HUNT H.Voids at the tunnel-soil interface for calculation of ground vibration from underground railways［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330（2）：245- 270.

［21］SHI L，SUN H L，CAI Y Q，et al.Validity of fully drained，fully undrained andu-pformulations for modeling a poroelastic half-space under a moving harmonic point load［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2012，42：292- 301.

［22］SENJUNTICHAI T，MANI S，RAJAPAKSE R K N D.Vertical vibration of an embedded rigid foundation in a poroelastic soil［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2006，26（6／7）：626- 636.