結(jié)構(gòu)偏差對二維連續(xù)地月載荷轉(zhuǎn)移系統(tǒng)動力學(xué)影響

齊乃明，陽勇，黃盤興，孫康，韓冰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150006)

繩系衛(wèi)星作為一種新型的衛(wèi)星概念，經(jīng)過數(shù)十年的研究歷程，在航天領(lǐng)域扮演著十分重要的角色.繩系衛(wèi)星具有諸多特點［1-2］:能夠?qū)崿F(xiàn)動量(能量)的傳遞［3-5］，能夠借助于電動繩的原理為衛(wèi)星系統(tǒng)提供可再生的能源，能夠?qū)崿F(xiàn)對太空垃圾的捕獲等［6-7］.動量交換作為繩系的一個重要功能，其基本思想就是通過系繩的旋轉(zhuǎn)運動實現(xiàn)系繩兩端衛(wèi)星之間的動量、能量交換，從而實現(xiàn)改變衛(wèi)星的速度、改變衛(wèi)星軌道的目的.因此，采用動量交換原理的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)具有能夠?qū)崿F(xiàn)較大運載能力、可重復(fù)使用、節(jié)省能量等優(yōu)點.

基于此想法，研究者們大膽地提出了兩種旨在實現(xiàn)地月(或星際之間)物資轉(zhuǎn)移的繩系衛(wèi)星系統(tǒng)構(gòu)想，一種構(gòu)想源自于TUI公司的Robert，他在1980年就首次提出了一種動量交換/電動繩系(Momentum-Exchange/Electrodynamic Reboost tethers，MXER)衛(wèi)星推進系統(tǒng)［8］.MXER 采用動量交換原理，結(jié)合電動繩的變軌原理實現(xiàn)載荷的軌道轉(zhuǎn)移.另一種構(gòu)想來自于英國謝菲爾德大學(xué)的Cartmell教授，他在MXER的基礎(chǔ)上創(chuàng)造性地提出了驅(qū)動型動量交換繩系(Motorized Momentum Exchange Tether，MMET)衛(wèi)星［9-10］的概念.MXER系統(tǒng)由母星、子星(或載荷)以及一根連接母星與子星的電動繩組成，主要通過母星與子星之間的動量交換(具體來說是將母星的動量轉(zhuǎn)移給子星，從而增加子星的動量以此來實現(xiàn)子星的軌道轉(zhuǎn)移).該系統(tǒng)一次只能轉(zhuǎn)移一個載荷，此外，由于母星損失了一部分動量，將面臨一個長時間進行軌道調(diào)整的過程.而 MMET不同于 MXER，Cartmell在MXER的基礎(chǔ)上將母星置于系統(tǒng)質(zhì)心處，由兩根等長的系繩分別連接兩套相同的抓捕機構(gòu)，由兩套抓捕機構(gòu)對兩個需要進行軌道調(diào)整的載荷實行抓捕.這樣，MMET系統(tǒng)就能通過改變兩個載荷之間的動量，從而實現(xiàn)其中一個載荷升軌、另一個載荷降軌的星際雙向軌道轉(zhuǎn)移的目的.

在對MMET近二十多年的研究中，許多研究者對MMET開展了廣泛的理論與實驗研究，對MMET理論的發(fā)展做出了巨大的貢獻.其中，Ziegler和Cartmell通過將系繩簡化為剛性桿模型對MMET系統(tǒng)的動力學(xué)進行了初步研究［11-12］，同時，他們也針對性地開展了一些地面模擬實驗，得到了一些有價值的數(shù)據(jù).除此之外，Chen、Ismail等在Ziegler等的研究基礎(chǔ)上將系繩的柔性加入到了MMET系統(tǒng)動力學(xué)模型中［13-15］，在兩端固定的假設(shè)下，將系繩的橫向振動(二維、三維模型)、縱向振動(二維、三維模型)、側(cè)向振動(三維模型)作為廣義坐標引入到動力學(xué)模型中.但是，他們均未考慮系統(tǒng)存在結(jié)構(gòu)偏差(即母星兩側(cè)系繩的長度存在偏差以及兩載荷之間的質(zhì)量存在偏差等)對MMET系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響.

由于MMET旨在利用系統(tǒng)的對稱性，同時實現(xiàn)兩個載荷的軌道轉(zhuǎn)移.因此，MMET系統(tǒng)要想準確實現(xiàn)兩載荷的軌道轉(zhuǎn)移，必要前提就是保證系統(tǒng)兩端結(jié)構(gòu)的對稱性以維持母星的軌道穩(wěn)定.但是，在實際工程應(yīng)用中，誤差的存在不可避免，因此，分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)誤差對系統(tǒng)動力學(xué)的影響十分必要.本文在前人研究的基礎(chǔ)上，首先采用傳統(tǒng)拉格朗日(Lagrange)方法，考慮系繩長度以及載荷質(zhì)量存在偏差，建立連續(xù)地月轉(zhuǎn)移系統(tǒng)(Continuous Cislunar Payload Transfer System，CCPTS)誤差動力學(xué)模型.同時，在建模過程中，本文在不影響系統(tǒng)模型精度的情況下，采用泰勒級數(shù)展開的方式對MMET系統(tǒng)勢能進行相應(yīng)簡化.此外，針對所建立的動力學(xué)模型，對母星兩端系繩的長度的誤差、兩載荷的質(zhì)量偏差以及綜合誤差對CCPTS的動力學(xué)特性的影響進行深入分析.經(jīng)過仿真分析，得出不同程度的誤差大小與系統(tǒng)質(zhì)心軌道特性的影響程度之間的關(guān)系，并為如何解決系統(tǒng)結(jié)構(gòu)偏差以及減小因系統(tǒng)結(jié)構(gòu)偏差對系統(tǒng)軌道所造成的影響提出一些建議.

1 CCPTS概念

CCPTS包括兩套長期駐軌的子系統(tǒng):一套子系統(tǒng)稱為駐地載荷轉(zhuǎn)移系統(tǒng)(Earth Motorized Momentum Exchange Tether，EMMET)，運行于地球某橢圓軌道上;另一套子系統(tǒng)運行于月球某橢圓軌道上，稱為駐月載荷轉(zhuǎn)移系統(tǒng)(Lunar Motorized Momentum Exchange Tether，LMMET).兩套系統(tǒng)工作原理相似，MMET示意圖如圖1所示.

圖 1 MMET 示意圖［1］Fig.1 Schematic of MMET

由圖1可知，CCPTS由如下幾部分組成:母星系統(tǒng)(包括制導(dǎo)控制系統(tǒng)、定子、轉(zhuǎn)子等)、推進繩(與轉(zhuǎn)子相連，由轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)帶動系繩的旋轉(zhuǎn))、抓捕機構(gòu)、懸臂梁平衡系統(tǒng)(與定子相連，主要控制CCPTS的旋轉(zhuǎn)面的朝向穩(wěn)定與平衡).CCPTS進行載荷轉(zhuǎn)移的過程示意圖如圖2所示.圖中，l為系繩的長度，vM為母星的軌道速度.首先，MMET通過調(diào)整系繩的旋轉(zhuǎn)角速度，使得當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)心運行到軌道近地點時，兩抓捕機構(gòu)的位置正好位于系統(tǒng)質(zhì)心與地心的連線上.同時，空天飛行器將需要送往月球的載荷P1送入到此時處于低軌端的抓捕機構(gòu)處，并與抓捕機構(gòu)實現(xiàn)對接，來自月球的載荷P2也同時到達處于高軌端的抓捕機構(gòu)處并與該抓捕機構(gòu)實現(xiàn)對接.這兩個過程必須同時進行，以保證對接前后CCPTS質(zhì)心的軌道參數(shù)不發(fā)生較大變化，如圖中過程①所示;圖中②表示CCPTS進行軌道調(diào)整的過程.在載荷交會對接的過程中必然會對母星(即系統(tǒng)質(zhì)心)的軌道參數(shù)產(chǎn)生影響，因此需要對CCPTS質(zhì)心軌道進行調(diào)整;此外，要實現(xiàn)載荷P1、P2的準確入軌(即 P1進入設(shè)計的地月轉(zhuǎn)移軌道，P2進入低地球軌道并由空天飛行器帶回地面)，CCPTS轉(zhuǎn)子就必須提供合適的驅(qū)動力矩，當(dāng)系統(tǒng)完成n+1/2(n為正整數(shù))個軌道周期之后，載荷P1、P2均獲得了實現(xiàn)精確入軌的軌道速度且位置互換;圖中③表示載荷P1、P2與各自的抓捕機構(gòu)同時實現(xiàn)分離.

圖2 CCPTS進行載荷轉(zhuǎn)移過程示意圖Fig.2 Process schematic of transferring payloads by CCPTS

2 CCPTS二維剛性動力學(xué)模型

2.1 坐標系定義

1)慣性坐標系OEXYZ.

坐標原點OE為地球質(zhì)心，OEX軸指向春分點，OEY軸位于地球赤道面內(nèi)并垂直于OEX，OEZ軸與OEX軸、OEY軸構(gòu)成右手系并指向地球北極，3個軸方向上的單位矢量分別為I、J和K.

2)運動坐標系OMxoyozo.

原點定義在CCPTS質(zhì)心OM(后文均以O(shè)M代表母星)處，OMxo軸位于軌道面內(nèi)，由地心指向CCPTS質(zhì)心方向，OMyo軸垂直于OMxo并位于軌道面內(nèi)，OMzo與OMxo、OMyo構(gòu)成右手坐標系，3個軸方向上的單位矢量分別為ro、θo和no;慣性坐標系與運動坐標系之間的相對關(guān)系如圖3所示.

圖3 慣性坐標系與運動坐標系Fig.3 Inertial frame and motion coordinate

3)軌道面坐標系OEXoYoZo.

坐標原點位于地心(即地球質(zhì)心)，OEXo軸指向CCPTS系統(tǒng)軌道近地點(perigee)方向，OEYo軸位于軌道面內(nèi)垂直于OEXo(位于CCPTS運行方向一側(cè))，OEZo與 OEXo、OEYo構(gòu)成右手坐標系，3個軸方向上的單位矢量分別為i、j和k.

4)體軸坐標系OMxbybzb.

OMxb由低軌載荷(lower payload)指向高軌載荷(upper payload)，OMyb位于軌道面內(nèi)，垂直于OMxb，OMzb軸與 OMxb、OMyb構(gòu)成右手坐標系.3個軸方向上的單位矢量分別為和;軌道面坐標系與體軸坐標系的幾何關(guān)系如圖4所示.

2.2 建立動力學(xué)模型

圖4 軌道面坐標系與體軸坐標系Fig.4 Orbital plane coordinate and body coordinate

假設(shè)CCPTS駐地系統(tǒng)運行在以地球為中心的橢圓軌道上，半長軸為a，離心率為e，不考慮系繩的面外運動，即系繩的旋轉(zhuǎn)面與軌道面重合，同時不考慮系繩的柔性.基于以上假設(shè)，在軌道面坐標系中，可以表示出母星OM、質(zhì)量微元d m及載荷P1、P2相對于軌道面坐標系的位置矢量分別為

式中:u=ψ+θ.

由于軌道面坐標系為相對慣性系，因此其各坐標軸方向向量i、j和k均為常值，各自的導(dǎo)數(shù)為零，由此得到各單元的速度矢量表達式為

假設(shè)系繩的密度為ρ，系繩的橫截面積為A，于是得到CCPTS平動動能Ttrans為

式中:m為 CCPTS總質(zhì)量，m、A1和 A2的表達式為

假設(shè)載荷、母星、系繩均為圓柱體，各自的尺寸半徑分別為rP、rM和rT，載荷及母星的尺寸高度為hP和hM，于是得到CCPTS繞各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能Trot為

式中:I為CCPTS的部分轉(zhuǎn)動慣量，表達式為

聯(lián)立式(11)和式(15)得到CCPTS的動能T為

求解CCPTS勢能函數(shù)V，由于不考慮系繩的彈性勢能，因此，系繩勢能僅由重力產(chǎn)生.由圖4可得CCPTS各部分的勢能為

式中:μ為地球引力常數(shù)，其取值見第3節(jié).在滿足動力學(xué)研究精度的前提下，為了簡化分析，對式(20)～式(23)采用泰勒級數(shù)展開，并略去x/RM、l1/RM、l2/RM二次以上的項，化簡得到CCPTS勢能為

最后得到CCPTS的拉格朗日函數(shù)為

選擇(RM，θ，ψ)為系統(tǒng)的廣義坐標，相應(yīng)的廣義力為(0，0，τ)，由此得到CCPTS動力學(xué)方程為

3 仿真分析

各廣義坐標初值為

式中:RM(0)的初值大小決定CCPTS母星近地點的高度，為了盡量減小大氣阻力對系統(tǒng)軌道的影響，應(yīng)適當(dāng)增加近地點高度;θ·(0)的初值大小決定CCPTS初始軌道的形狀，為了盡量降低載荷實現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移所需的速度增量，CCPTS初始軌道的遠地點高度應(yīng)該盡量大一些.CCPTS參數(shù)如表1所示，仿真時間取為60000 s.

表1 CCPTS參數(shù)Table 1 Parameters of CCPTS

圖5給出了不同系繩長度偏差(Δl=0.01，0.1和1m)存在的情況下，CCPTS質(zhì)心矢徑RM隨時間變化關(guān)系.由圖可知，從宏觀角度看，當(dāng)系繩長度存在不同程度的偏差時，系統(tǒng)質(zhì)心依然保持穩(wěn)定的周期性橢圓軌道運動特性.

圖5 CCPTS質(zhì)心矢徑隨時間變化關(guān)系Fig.5 Relation of radius of CCPTS’s center-of-mass(COM)changing with time

為了明確系繩長度偏差對母星軌道的影響程度，定義母星質(zhì)心矢徑偏差為

式中:上標“d”表示偏差.圖6為系繩長度偏差對CCPTS質(zhì)心矢徑的影響.由圖可知，雖然從宏觀上難以看出系繩長度偏差對母星質(zhì)心矢徑的影響程度，但從微觀上看，隨著系繩長度偏差的增加，ΔRM隨時間做周期變化的同時，其幅值也隨之呈現(xiàn)出近似線性增加的趨勢.由此說明CCPTS姿態(tài)的不對稱以及在此情況下的姿態(tài)運動會對母星質(zhì)心的軌道運動產(chǎn)生一定程度影響.

圖6 系繩長度偏差對CCPTS質(zhì)心矢徑的影響Fig.6 Influence of tether length deviation on radius of CCPTS’s COM

圖7給出了系繩長度偏差(Δl=0.01，0.1 和1m)存在的情況下，對稱模型與結(jié)構(gòu)偏差模型中CCPTS質(zhì)心徑向速度隨時間變化關(guān)系.由圖可知，徑向速度的變化介于［－1 485，1 485］m/s之間，并且從宏觀上看，系繩長度偏差對母星徑向速度影響甚微.

圖7 CCPTS質(zhì)心徑向速度隨時間變化關(guān)系Fig.7 Relation of radial velocity of CCPTS’s COM changing with time

圖8為系繩存在不同程度的長度偏差Δl時，對CCPTS母星徑向速度的影響隨時間的變化關(guān)系.由圖8可知，隨著Δl的增加，質(zhì)心徑向速度偏差隨軌道運動周期而做周期性變化的同時，其峰值(極大值和極小值)也隨時間呈現(xiàn)近似線性增加的趨勢.

圖8 系繩長度偏差對CCPTS質(zhì)心徑向速度的影響Fig.8 Influence of tether length deviation on radial velocity of CCPTS’s COM

圖9同時給出了誤差模型與標準模型中，系繩展長與當(dāng)?shù)刂亓μ荻确较驃A角ψ隨時間變化關(guān)系的對比情況.在不考慮外力矩作用的情況下，由于沒有其他外力矩因素的存在，因此在初始給定的旋轉(zhuǎn)角速度情況下，ψ隨時間呈線性增加的趨勢.而當(dāng)外力矩存在時，隨著外力矩的增加，系繩所受到的角加速度越大，最終導(dǎo)致ψ隨時間呈現(xiàn)出非線性指數(shù)增加的趨勢，增加的快慢由外力矩值的大小所決定，外力矩越大，ψ增加越快.

圖9 系繩與重力方向夾角隨時間變化關(guān)系Fig.9 Relation of angle between tether-span and local gravity gradient changing with time

圖10為不同系繩長度偏差Δl對Δψ的影響隨時間的變化關(guān)系.不同于 Δl對所帶來的影響，隨著系繩長度偏差Δl的增加，Δψ的峰值也隨之呈現(xiàn)近似相同的增加趨勢(Δl增加的倍數(shù)與Δψ增加的倍數(shù)相等).對于某一偏差Δl而言，隨著時間的推移，Δψ的幅值周期性累加，變化周期與CCPTS軌道周期一致.

圖10 系繩長度偏差對系繩與重力方向之間夾角的影響Fig.10 Influence of tether length deviation on angle between tether-span and local gravity gradient

在外力矩τ=0以及τ=250 kN·m兩種情況下，圖11給出了不同長度偏差對系繩旋轉(zhuǎn)角速度的影響.當(dāng)外力矩τ不存在時，隨著系繩長度偏差的增加，的峰值也隨之增加，當(dāng)CCPTS位于遠地點時達到極值.此外，相比于系繩長度偏差對軌道參數(shù))的時間累積性影響而言，的峰值并未隨著時間的增加而增加.當(dāng)外力矩τ存在時，外力矩對系繩旋轉(zhuǎn)的主導(dǎo)作用削弱了重力梯度力矩對系繩旋轉(zhuǎn)運動的影響，導(dǎo)致的極值隨時間呈近似線性減小的趨勢.

圖11 系繩長度偏差對系繩旋轉(zhuǎn)角速度的影響Fig.11 Influence of tether length deviation on angular velocity of tether

在外力矩τ=0以及τ=250 kN·m兩種情況下，圖12給出了系繩不同的長度偏差對系繩旋轉(zhuǎn)角加速度以及系繩角加速度偏差的影響.

對比圖12(a)和圖12(b)，無論外力矩存在與否，整體上難以看出系繩長度偏差對系繩角加速度的影響大小.此外，由于重力梯度力矩的存在，系繩角加速度并非常值，而是隨時間呈現(xiàn)良好的周期性振動變化的趨勢.當(dāng)CCPTS位于軌道近地點時，重力梯度力矩最大，系繩角加速度取得極大值，反之，當(dāng)CCPTS位于遠地點時，重力梯度力矩最小，系繩角加速度取得極小值.對比圖12(c)和圖12(d)，當(dāng) τ=0時的幅值隨時間劇烈振蕩(振蕩周期等于系繩繞母星質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)周期)的同時，其峰值也隨之呈現(xiàn)累積性增加.

定義真近角偏差Δθ=θ(d)－θ以及真近角速度偏差.在τ=0和τ=250 kN·m兩種不同的情況下，圖13和圖14給出了系繩長度偏差對真近角及真近角速度的影響.由圖可知，與系繩長度偏差對所帶來的影響類似，隨著系繩長度偏差Δl的增加，Δθ及在進行周期變化的同時，其幅值均隨之線性增加.

圖12 系繩長度偏差對系繩角加速度的影響Fig.12 Influence of tether length deviation on angular acceleration of tether

圖13 系繩長度偏差對真近角的影響Fig.13 Influence of tether length deviation on true anomaly angular

圖14 系繩長度偏差對CCPTS真近角速度的影響Fig.14 Influence of tether length deviation on true anomaly angular velocity of CCPTS

為了更直觀地體現(xiàn)系繩長度偏差對CCPTS軌道參數(shù)(母星矢徑、徑向速度、徑向加速度、真近角、真近角速度以及真近角加速度)的影響程度，此處定義相對偏差為

式中:上標“n”表示廣義坐標對時間求導(dǎo)的階次;q表示廣義坐標;下標“tm”表示在仿真時間內(nèi)各廣義坐標及其各階導(dǎo)數(shù)取得最大值的時刻.

表2、表3總結(jié)了系繩長度偏差Δl從0.01m變化到10m的過程中，同時在外力矩τ=0和τ=250 kN·m兩種情況下，系繩長度偏差對CCPTS軌道參數(shù)、姿態(tài)參數(shù)的影響程度.表中數(shù)據(jù)顯示，隨著系繩長度偏差的增加，CCPTS的廣義坐標偏差以及廣義速度偏差隨之呈線性增加，但是，廣義加速度偏差與系繩長度偏差沒有明顯的線性關(guān)系.此外，在外力矩存在的情況下，相比于不考慮外力矩時對軌道參數(shù)的影響，系繩長度偏差對CCPTS的軌道參數(shù)的影響的變化不明顯，但對CCPTS姿態(tài)參數(shù)的影響明顯小于不考慮外力矩時系繩長度偏差對姿態(tài)參數(shù)的影響.

下面分析當(dāng)載荷質(zhì)量存在偏差時，載荷質(zhì)量偏差對CCPTS各廣義坐標以及廣義速度的影響.表4和表5分別總結(jié)出了載荷質(zhì)量偏差Δm對CCPTS的軌道參數(shù)和姿態(tài)參數(shù)的影響(同樣也用絕對偏差與相對偏差來刻畫).由表4、表5可知，隨著載荷質(zhì)量偏差Δm線性增加，軌道參數(shù)以及姿態(tài)參數(shù)的偏差量均呈現(xiàn)相同的線性增加趨勢.由此說明，載荷質(zhì)量偏差對CCPTS軌道參數(shù)以及姿態(tài)參數(shù)所產(chǎn)生的影響與系繩長度偏差所造成的影響類似，它們都是通過改變系統(tǒng)質(zhì)心的方式來影響CCPTS的動力學(xué)特性.

表2 系繩長度偏差對CCPTS軌道參數(shù)的影響Table 2 Influence of tether length deviation on the radial parameters of CCPTS

表4 載荷質(zhì)量偏差對CCPTS軌道參數(shù)的影響Table 4 Influence of payload m ass deviation on the radial parameters of CCPTS

表5 載荷質(zhì)量偏差對CCPTS姿態(tài)參數(shù)的影響Table 5 Influence of payload mass deviation on the attitude parameters of CCPTS

4 結(jié)論

本文以繩系衛(wèi)星系統(tǒng)為載體，采用動量交換原理，對CCPTS進行了動力學(xué)研究，并得到:

1)在考慮母星兩端系繩長度不等、兩載荷質(zhì)量不同的前提下，本文建立了相應(yīng)的誤差動力學(xué)模型.

2)仿真結(jié)果表明，系繩長度偏差以及載荷質(zhì)量偏差對CCPTS廣義坐標、廣義速度均產(chǎn)生了相似的影響.隨著系繩長度偏差以及載荷質(zhì)量偏差的增加，反映系統(tǒng)軌道運行以及姿態(tài)運動的變量(如ΔRM、ΔR·M、Δθ、Δθ·、Δψ及Δψ·)的幅值最大值均隨之呈線性增加，而對于廣義加速度而言，則沒有明顯的線性關(guān)系.

3)結(jié)構(gòu)偏差對CCPTS軌道參數(shù)的影響要小于對姿態(tài)參數(shù)的影響.隨著CCPTS廣義坐標對時間求導(dǎo)階次的增加，由于結(jié)構(gòu)偏差所導(dǎo)致的相應(yīng)變量的偏差明顯增加.此外，外力矩的存在能夠削弱結(jié)構(gòu)偏差對CCPTS動力學(xué)的影響程度.

因此，在實際工程應(yīng)用中，如果CCPTS因各種因素的影響造成系繩長度存在差異或者載荷質(zhì)量存在偏差時，可以在系繩末端或者母星上配置一個可以對系繩長度進行收放控制的機構(gòu)，當(dāng)系繩長度存在偏差以及載荷質(zhì)量存在偏差時，通過調(diào)節(jié)某一根系繩的長度來達到調(diào)節(jié)系統(tǒng)質(zhì)心位置以及平衡系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量的效果.

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