單-厚盤轉(zhuǎn)子過兩階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動分析

劉政，王建軍

(北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100191)

鼓式轉(zhuǎn)子(加強盤鼓式轉(zhuǎn)子)是航空發(fā)動機壓氣機的基本結(jié)構之一，是一類典型的徑向轉(zhuǎn)動慣量(Jd)大于軸向轉(zhuǎn)動慣量(Jp)轉(zhuǎn)子系統(tǒng).根據(jù)文獻［1］，對于單-厚盤偏置轉(zhuǎn)子，Jd＞ Jp，即 Jp與Jd之比μ＜1，做正進動時系統(tǒng)存在兩階固有頻率.這就是厚盤轉(zhuǎn)子的無阻尼固有頻率特性.因此，采用厚盤的轉(zhuǎn)子結(jié)構件在高工作轉(zhuǎn)速條件下啟動或者減速時，可能穿過兩個臨界轉(zhuǎn)速，而且高階臨界轉(zhuǎn)速為厚盤轉(zhuǎn)子特有屬性.

實際轉(zhuǎn)子結(jié)構中，由于加工誤差、鍵槽或者直接采用非圓截面軸等原因，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲平面剛度在兩個主方向上存在最大值和最小值，使轉(zhuǎn)子結(jié)構呈現(xiàn)出一定的非線性，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生極大的改變，對外界激勵及其變化相當敏感.目前，對非對稱剛度轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)動力響應研究取得了長足的進展.劉占生等［2-3］采用數(shù)值積分，發(fā)現(xiàn)剛度各向異性系數(shù)會引起系統(tǒng)Hopf分岔、四倍周期分岔和混沌運動甚至失穩(wěn).Shu、Nandi、Genta等［4-6］則發(fā)展了有限元法對非對稱轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性進行研究.Darpe、鄒劍、Sekhar等［7-9］針對裂紋引起的剛度非對稱分析了轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速時的瞬態(tài)振動，指出裂紋對轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性影響極大.

目前，學者們都以薄盤轉(zhuǎn)子為研究對象.鑒于厚盤轉(zhuǎn)子要比薄盤轉(zhuǎn)子多出一個固有頻率，為研究這類轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速時對不平衡激振力的瞬態(tài)響應，采用集中參數(shù)法，簡化成厚盤轉(zhuǎn)子力學模型，本文將分別計算剛度非對稱單、厚盤轉(zhuǎn)子在定角加速度(φ¨，常數(shù))和定功率(φ·L(φ·)，常數(shù);其中，φ·為定角速度，L(φ·)為軸向外力矩，包括主動力矩、阻力矩及重力引起的附加力矩)條件下穿過兩階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動，以定角加速度加速的模式分析厚盤轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的基本性質(zhì)，以定功率加速的模式分析厚盤轉(zhuǎn)子與外界能源的非線性耦合效應，對比典型薄盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，尤其關注分析厚盤轉(zhuǎn)子過高階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動特性，進而為帶厚盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)機械在設計、運行、維護以及故障診斷等工程實際情況下提供參考.

1 轉(zhuǎn)子的動力學方程

本文采用集中參數(shù)力學模型如圖1所示.

圖1 單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)集中參數(shù)力學模型Fig.1 Mechanical model with lumped parameter of single disk rotor system

本模型考慮了剛度不對稱轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)動慣量的主自由度不一定和剛度的主自由度重合，Jξ、Jη分別為η、ξ方向上的徑向轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)文獻［10-11］在靜止坐標系中表示的單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動能、勢能及耗散函數(shù)，變換到旋轉(zhuǎn)坐標系中，不考慮材料內(nèi)阻尼耗散，根據(jù)Lagrange方程，在旋轉(zhuǎn)坐標系下表示的單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學方程如式(1a)、式(1b)所示.其中，q為旋轉(zhuǎn)坐標系下的廣義力;根據(jù)材料力學，對于如圖1所示的單跨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，則有:位移對力的剛度為kξ，11=3EIξl(a2－ ab+b2)/(a3b3)，kη，11=3EIηl·(a2－ab+b2)/(a3b3);位移對盤偏角(或彎矩對力)的剛度為 kξ，12=kξ，21=3EIξl(a －b)/(a2b2)，kη，12=kη，21=3EIηl(a － b)/(a2b2);彎 矩 對 盤 偏 角 的 剛 度 為 kξ，22=3EIξl/(ab)，kη，22=3EIηl/(ab)，其中:E 為彈性模量;Iξ和 Iη為慣性矩;l=a+b為軸長.

對方程(1a)和方程(1b)無量綱化.定義Jd=(Jξ+Jη)/2，d=(Jη－ Jξ)/(Jξ+Jη)，則Jξ=(1 －d)Jd，Jη=(1+d)Jd;同樣地，定義 k .=(kξ.+kη.)/2，κ .=(kξ.－ kη.)/(kξ.+kη.)，則kξ.=(1 － κ .)k .，kη.=(1+ κ .)，k .，.=11，12，22.定義過直徑轉(zhuǎn)動慣量的回轉(zhuǎn)半徑為質(zhì)量;偏心距與徑向回轉(zhuǎn)半徑之比無量綱位移 Rξ= ξ/e，Rη=η/e;無量綱角矢量分量分別為 Θη= θη/ν，;靜止固有頻率無量綱角速度(頻率比)無量綱角加速度;剛度系數(shù);位移阻尼比偏擺角阻尼比;自轉(zhuǎn)角阻尼比;cr為形心運動的位移阻尼;cθ為盤偏擺的偏角阻尼;cφ為轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)阻尼.

圖2 剛性支承無阻尼單盤偏置轉(zhuǎn)子渦動頻率和自轉(zhuǎn)角速度的關系曲線(μ＜1)Fig.2 Relationship curves between whirl frequency and angular velocity of undamped single disk rotor with rigid support(μ＜1)

2 厚盤轉(zhuǎn)子定角加速度過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動特性

本節(jié)為考察厚盤轉(zhuǎn)子瞬態(tài)的基本振動表現(xiàn)，采用定角加速度(φ¨)的直線加速、理想能源模式計算剛度對稱厚盤轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)響應.從零轉(zhuǎn)速狀態(tài)線性加速，分別通過系統(tǒng)的低階臨界轉(zhuǎn)速和高階臨界轉(zhuǎn)速，分析轉(zhuǎn)子軸的動撓度放大因子、盤的偏擺角放大因子.由于本文建立方程采用旋轉(zhuǎn)坐標系，因此還可以很方便地在旋轉(zhuǎn)坐標系下觀察轉(zhuǎn)子形心軌跡，由此判斷系統(tǒng)的振動性能和穩(wěn)定性.可見，轉(zhuǎn)子瞬態(tài)響應也是分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個重要方法.由于加速度恒定，相當于轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角自由度退化，成為只含有4個廣義自由度的系統(tǒng)，方程(2)不參與計算，只需采用Newmark-β法或四階Runge-Kutta法求解方程(3).為考慮一般單盤轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)效應，本文設定盤的位置a=0.4l，l=25rd，rd為盤的半徑;采用不同加速比(α =10－4，10－3，4 × 10－3，10－2)，從靜止開始加速.對于計及重力效應與否的情況，由于初值不同，將分別予以考慮.

2.1 不計重力的厚盤轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動特性

不考慮重力效應的厚盤轉(zhuǎn)子，則單盤轉(zhuǎn)子初值狀態(tài)為零位移、無偏角.文獻［12］對Jeffcott轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速瞬態(tài)振動的分析方法，轉(zhuǎn)子軸的無量綱撓度，則穩(wěn)態(tài)條件下最大臨界撓度δm=1/(2ζr)(同條件下Jeffcott轉(zhuǎn)子發(fā)生共振時有阻尼最大撓度)，定義動撓度放大因子X=δ/δm;盤的無量綱偏擺角，與轉(zhuǎn)速以及盤在軸上的位置有關，因此取偏擺角放大因子為A=Θ/π.一般地，航空發(fā)動機等高精度機械的偏心距與徑向回轉(zhuǎn)半徑之比在10－3數(shù)量級范圍內(nèi)，取ν=10－3;偏擺角阻尼比ζθ和自轉(zhuǎn)角阻尼比 ζφ經(jīng)過無量綱處理后在10－4數(shù)量級，取 ζθ=ζφ=2.5 ×10－4，位移阻尼比 ζr=0.02.

分析圖3(a)～圖3(f)可知，厚盤轉(zhuǎn)子的兩階臨界轉(zhuǎn)速對應于系統(tǒng)的兩階振動模態(tài)，低階振型為轉(zhuǎn)子軸的彎曲，高階振型為轉(zhuǎn)子盤的偏轉(zhuǎn).根據(jù)圖3(a)、圖3(c)和圖3(f)表現(xiàn)出的厚盤轉(zhuǎn)子在低階臨界轉(zhuǎn)速的振動特征，對比文獻［1，13-14］關于薄盤轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)動力學特征，厚盤轉(zhuǎn)子服從柔性轉(zhuǎn)子加速通過臨界轉(zhuǎn)速的一般振動規(guī)律和結(jié)論，不再詳述.需要指出的是，薄盤轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速時，其振動峰值在ω＞ωn位置處出現(xiàn)，即振動峰值應在橫坐標大于1時出現(xiàn)，于厚盤轉(zhuǎn)子而言，以圖 3(a)為例，當 α =10－4和 10－3時，振動峰值在ω＜ωn時出現(xiàn)，這是由于厚盤轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)效應遠遠明顯于薄盤轉(zhuǎn)子，造成系統(tǒng)Ωc，1＜ωn，這在圖2中十分形象;另外，在低轉(zhuǎn)速情況下，轉(zhuǎn)子軸的撓曲和盤的偏擺角是同步的，兩者隨時間的變化規(guī)律相同.

圖3 厚盤轉(zhuǎn)子過低階及高階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動特性曲線(μ=0.02，0.05，0.07)Fig.3 Transient vibration curves of thick-disk rotor crossing lower and higher order critical speed(μ =0.02，0.05，0.07)

根據(jù)圖3(b)、圖3(e)和圖4，厚盤轉(zhuǎn)子在高階臨界轉(zhuǎn)速對應于高階模態(tài)，對不平衡力的瞬態(tài)響應與低階臨界轉(zhuǎn)速有很大的不同.

1)在高速條件下，盤的偏轉(zhuǎn)比軸的彎曲對激勵要敏感得多.通過高階臨界轉(zhuǎn)速時，主振型為盤的偏轉(zhuǎn);而且由于當?shù)剞D(zhuǎn)速很大，回轉(zhuǎn)效應對轉(zhuǎn)子影響極其顯著.

2)通過高階臨界轉(zhuǎn)速時，產(chǎn)生的瞬態(tài)振動響應非常迅速，在極小的時間內(nèi)即達到最大值，尤其是小加速度轉(zhuǎn)子更為明顯.

3)通過高階臨界轉(zhuǎn)速后，由共振激起的按系統(tǒng)高階固有頻率的自由振動和在當?shù)剞D(zhuǎn)速頻率下的強迫振動合成很激烈的高頻振蕩.

4)通過高階轉(zhuǎn)速后，線性加速的系統(tǒng)仍然具有穩(wěn)定性，振動逐漸衰減.這就是柔性轉(zhuǎn)子的自定心效應.但是，小加速度的轉(zhuǎn)子呈指數(shù)衰減，大加速度幾乎呈線性衰減.

5)無論低階還是高階，過臨界轉(zhuǎn)速時的自轉(zhuǎn)角加速度對轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動影響很大;加速度越大，慣性力越大，過臨界轉(zhuǎn)速時對振動有一定的抑制作用，產(chǎn)生的瞬態(tài)振動振幅越小;但同時，發(fā)生瞬態(tài)共振后，加速度越大，阻尼對系統(tǒng)的影響就相對較弱，因此衰減也越來越慢.這在過高階臨界轉(zhuǎn)速后的振動中十分明顯.

反過來，根據(jù)高階共振發(fā)生的轉(zhuǎn)速位置可見，μ值越小，高階臨界轉(zhuǎn)速越靠前;當μ大到一定程度時，實際轉(zhuǎn)子由于能量有限，很難達到高階臨界轉(zhuǎn)速;當μ值大于1時，轉(zhuǎn)子失去高階臨界轉(zhuǎn)速;當μ=2時，即為典型的薄盤轉(zhuǎn)子.

由于旋轉(zhuǎn)坐標系不考慮轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)對形心運動的干擾，因此可以在旋轉(zhuǎn)坐標系中清晰地觀察到形心運動軌跡，這在單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中對比固定坐標系是一個較為明顯的優(yōu)點.以μ=0.05為例，著重分析穿過兩階臨界轉(zhuǎn)速過程中的瞬態(tài)振動，以此判斷轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性.圖4和圖5給出了厚盤轉(zhuǎn)子形心加速過程中各個階段在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡，圖6(a)和圖6(b)給出了轉(zhuǎn)子穿過高低轉(zhuǎn)速時盤的偏擺角矢尖(盤的單位外法矢量尖)在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡，其中圖5(a)和圖6(a)為過低階臨界轉(zhuǎn)速的軌跡，從零初始條件開始到穩(wěn)定區(qū)結(jié)束，圖5(b)和圖6(b)為過高階臨界轉(zhuǎn)速的軌跡，從穩(wěn)定區(qū)開始到緩慢衰減結(jié)束(其中，加速比α=10－4的轉(zhuǎn)子已經(jīng)進入高轉(zhuǎn)速穩(wěn)定區(qū)).

圖4 整個加速過程形心在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡(μ =0.05)Fig.4 Trajectories of centroid in whole speed-up process in rotating coordinate(μ =0.05)

圖5 穿過低階及高階臨界轉(zhuǎn)速時形心在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡(μ=0.05)Fig.5 Trajectories of centroid crossing lower and higher order critical speed in rotating coordinate(μ =0.05)

根據(jù)圖5(a)和圖6(a)可見，在旋轉(zhuǎn)坐標系中，低轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子形心的軌跡和盤偏擺角矢尖的軌跡形狀幾乎完全相同.這也說明，低轉(zhuǎn)速情況下軸的彎曲和盤的偏轉(zhuǎn)是同步的.注意坐標的數(shù)量級，穿過低階臨界轉(zhuǎn)速時，軸的彎曲振動很強烈，而盤的偏擺比較微弱.

圖6 穿過低階及高階臨界轉(zhuǎn)速時盤偏角矢尖在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡(μ=0.05)Fig.6 Trajectories of declination angle vector tip of disk crossing lower and higher order critical speed in rotating coordinate(μ =0.05)

當轉(zhuǎn)子超過低階臨界轉(zhuǎn)速后，形心漸進趨近于旋轉(zhuǎn)坐標系中的點(－2ζ，0)，表現(xiàn)出的動態(tài)螺旋運動過程(圖3為加速過程，方向順時針).在低階和高階臨界轉(zhuǎn)速之間，剛度對稱的厚盤轉(zhuǎn)子有一段很長的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)，理論上，由于自定心效應，質(zhì)心將穩(wěn)定于(0，0)點，形心穩(wěn)定于(－2ζ，0).盤偏角矢尖也服從相同的規(guī)律，但是在到達高階臨界轉(zhuǎn)速之前，軌跡范圍始終處于一個很小的數(shù)量級上.

當轉(zhuǎn)子穿過高階轉(zhuǎn)速時，盤突然偏擺得很劇烈，振動幅值是穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)的上百倍，矢尖在空間高頻偏轉(zhuǎn).不同加速度由于衰減程度不同，形成的軌跡略有不同，但是服從相同的規(guī)律.由圖5(b)的α=10－4分圖及圖6(b)的α=10－4分圖可知，在通過高階臨界轉(zhuǎn)速之后，轉(zhuǎn)子穩(wěn)定在高轉(zhuǎn)速區(qū)，矢尖又在旋轉(zhuǎn)坐標系中穩(wěn)定于一點.形心則過高階臨界轉(zhuǎn)速表現(xiàn)出微小的高頻波動，恰好共振時在旋轉(zhuǎn)坐標系中的速度方向(即從穩(wěn)定區(qū)進入高階臨界轉(zhuǎn)速時軌跡的切線方向)與盤的矢尖在旋轉(zhuǎn)非慣性參考系中的速度方向成180°，除此之外和矢尖軌跡的變化規(guī)律相同.

由以上轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動特性分析可知，做正進動的單、厚盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有兩階模態(tài)，其中低階振型為軸的彎曲，高階振型為盤的偏擺.在穿過兩階臨界轉(zhuǎn)速時，發(fā)生由按系統(tǒng)固有頻率的自由振動和在當?shù)剞D(zhuǎn)速頻率下的強迫振動合成的瞬態(tài)振動.在有阻尼系統(tǒng)中，單、厚盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū).

2.2 考慮重力的厚盤轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動特性

本節(jié)在2.1節(jié)基礎上，考慮重力對單、厚盤轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速時的瞬態(tài)振動特性的影響.在考慮重力時，轉(zhuǎn)子在零轉(zhuǎn)速時已經(jīng)具有初始彎曲和偏擺角.根據(jù)方程(3)，無量綱重力，在100數(shù)量級左右，取 G=1.0;另外，根據(jù)文獻［13］，存在偏心的轉(zhuǎn)子還受重力對自轉(zhuǎn)軸線的矩－mge cosφ，使得轉(zhuǎn)子在設定的旋轉(zhuǎn)角加速度附近波動，同時存在一個切向慣性力，在固定坐標系中以2倍自轉(zhuǎn)角頻率影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)響應，這就是重力的副臨界效應.因此，受無量綱重力作用的轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角加速度為

Q=［－G sinφ，0，－G cosφ，0］T為廣義力，r0=K－1［0，0，－G，0］T為初值(靜平衡位移和偏擺角)，K為轉(zhuǎn)子的剛度矩陣.

圖7 計重力厚盤轉(zhuǎn)子過低階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動曲線Fig.7 Transient vibration curves of thick-disk rotor crossing lower order critical speed with gravity taken into account

圖8 計重力過低階臨界轉(zhuǎn)速的厚盤轉(zhuǎn)子形心在旋轉(zhuǎn)坐標中的軌跡Fig.8 Trajectories of thick-disk centroid crossing lower order critical speed in rotating coordinate with gravity taken into account

圖9 計重力過低階臨界轉(zhuǎn)速時盤偏角矢尖在旋轉(zhuǎn)坐標中的軌跡Fig.9 Trajectories of declination angle vector tip of disk crossing lower order critical speed in rotating coordinate with gravity taken into account

以μ=0.05的轉(zhuǎn)子為例，分析厚盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受重力與不平衡力作用后的瞬態(tài)振動表現(xiàn).圖7～圖9分別給出了轉(zhuǎn)子線性加速穿過低階臨界轉(zhuǎn)速時的軸的動撓度和盤的偏擺角瞬態(tài)振動曲線、形心在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡和盤偏角矢尖(盤的單位外法矢量尖)在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡.

對于式(4)中第2項，由于ν值很小，相較于第1項可以忽略，可見對對稱厚盤轉(zhuǎn)子而言重力對轉(zhuǎn)速的影響很小.由于方程(3)是線性的，根據(jù)疊加原理可知，轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動是由不平衡力和重力疊加激勵的結(jié)果，因此對比圖3(c)，在圖7表示的軸的動撓度和盤偏角出現(xiàn)了疊加在圖3(c)所示的曲線上的次諧波振動.厚盤轉(zhuǎn)子過低階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動規(guī)律與普通單盤轉(zhuǎn)子相同，這些理論已經(jīng)發(fā)展成熟，本文不再討論.但是，受重力作用的非對稱轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動與對稱轉(zhuǎn)子有很大的不同，不僅存在副臨界轉(zhuǎn)速［13］，還可能引起非線性振動［15-16］.

3 剛度非對稱厚盤轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動特性

鑒于國內(nèi)外學者對剛度非對稱轉(zhuǎn)子已有研究，本節(jié)主要以 μ=0.05、剛度非對稱系數(shù) κ=0.03的單、厚盤轉(zhuǎn)子為例，說明剛度非對稱厚盤轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速時瞬態(tài)振動的基本特征，尤其是薄盤轉(zhuǎn)子所不具有的高階模態(tài).

采用2.1節(jié)關于對稱厚盤轉(zhuǎn)子的研究方法，設定加速比 α =10－4，10－3，4 × 10－3，10－2，不考慮重力，從零轉(zhuǎn)速、零位移、零偏角的初始條件開始，計算轉(zhuǎn)子 μ=0.05、κ=0.03的厚盤轉(zhuǎn)子過低階、高階臨界轉(zhuǎn)速時的軸的動撓度和盤偏角，如圖10(a)和圖10(b)所示.圖11和圖12分別給出了過低階、高階臨界轉(zhuǎn)速形心軌跡和盤偏角矢尖軌跡.

圖10 不對稱厚盤轉(zhuǎn)子過低階及高階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動曲線Fig.10 Transient vibration curves of asymmetric thick-disk rotor crossing lower and higher order critical speed

圖11 不對稱厚盤轉(zhuǎn)子過低階及高階臨界轉(zhuǎn)速形心軌跡Fig.11 Trajectories of centroid of asymmetric thick-disk rotor crossing lower and higher order critical speed

圖12 不對稱厚盤轉(zhuǎn)子過低階及高階臨界轉(zhuǎn)速盤偏角矢尖軌跡Fig.12 Trajectories of declination angle vector tip of disk of asymmetric thick-disk rotor crossing lower and higher order critical speed

對比圖10(a)和圖3(c)可得，在低階臨界轉(zhuǎn)速附近，由于剛度的不對稱性，瞬態(tài)振動的幅值顯著增大，在旋轉(zhuǎn)坐標系中的形心軌跡呈橢圓形;過低階臨界轉(zhuǎn)速后，轉(zhuǎn)子仍然能恢復穩(wěn)定，保持在較小的振幅.

然而，當厚盤轉(zhuǎn)子過高階臨界轉(zhuǎn)速時，由主振型引起的盤的偏擺急劇增大，軸的動撓度隨之發(fā)散，系統(tǒng)若以小加速度加速時在高階臨界轉(zhuǎn)速點上迅速失穩(wěn)，大加速度則能保持有限振幅，穿過臨界轉(zhuǎn)速后振動發(fā)生近似線性的衰減.

4 厚盤轉(zhuǎn)子定功率過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動特性

如第2節(jié)所述，線性加速度缺少一個自由度，并不能考慮外界能量與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相互作用.本節(jié)針對具有非對稱剛度的厚盤轉(zhuǎn)子結(jié)構考慮一種更接近實際的工況:定功率的有限能量模式.

當轉(zhuǎn)子工作于某一穩(wěn)定轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)的無量綱功率為

ε0為一修正值，本文取為0.1，則

式(5)和式(6)代入方程(2)，采用四階 Runge-Kutta法聯(lián)立求解方程(2)和方程(3).設定工作轉(zhuǎn)速在低、高階臨界轉(zhuǎn)速附近，考察厚盤轉(zhuǎn)子在定功率有限能量模式下瞬態(tài)振動的基本特性.下面計算單、厚盤轉(zhuǎn)子過低階臨界轉(zhuǎn)速時的瞬態(tài)振動，其中λw=0.8表示工作轉(zhuǎn)速為亞臨界轉(zhuǎn)速，λw=1.2，1.6，2.0 表示工作轉(zhuǎn)速為超臨界轉(zhuǎn)速，在圖13～圖21中給出了對稱厚盤轉(zhuǎn)子和非對稱(κ =0.05，0.07)厚盤轉(zhuǎn)子時域、頻域瞬態(tài)振動以及旋轉(zhuǎn)系中形心軌跡.

圖13 低階臨界轉(zhuǎn)速附近工作的對稱厚盤轉(zhuǎn)子隨時間的瞬態(tài)振動曲線Fig.13 Transient vibration curves over time of symmetric thick-disk rotor with working speed near lower order critical speed

圖14 低階臨界轉(zhuǎn)速附近工作的對稱厚盤轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動曲線Fig.14 Transient vibration curves over speed of symmetric thick-disk rotor with working speed near lower order critical speed

圖15 低階臨界轉(zhuǎn)速附近工作的對稱厚盤轉(zhuǎn)子形心軌跡Fig.15 Trajectories of centroid of symmetric thick-disk rotor with working speed near lower order critical speed

圖16 低階臨界轉(zhuǎn)速附近工作的非對稱(κ=0.05)厚盤轉(zhuǎn)子隨時間的瞬態(tài)振動曲線Fig.16 Transient vibration curves over time of asymmetric thick-disk rotor(κ =0.05)with working speed near lower order critical speed

圖17 低階臨界轉(zhuǎn)速附近工作的非對稱(κ=0.05)厚盤轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動曲線Fig.17 Transient vibration curves over speed of asymmetric thick-disk rotor(κ =0.05)with working speed near lower order critical speed

圖18 非對稱(κ=0.05)厚盤轉(zhuǎn)子在低階臨界轉(zhuǎn)速附近振動的形心軌跡Fig.18 Trajectories of centroid of asymmetric thick-disk rotor(κ =0.05)with working speed near lower order critical speed

圖19 低階臨界轉(zhuǎn)速附近工作的非對稱(κ=0.07)厚盤轉(zhuǎn)子隨時間的瞬態(tài)振動曲線Fig.19 Transient vibration curves over time of asymmetric thick-disk rotor(κ =0.07)with working speed near lower order critical speed

圖20 低階臨界轉(zhuǎn)速附近工作的非對稱(κ=0.07)厚盤轉(zhuǎn)子隨時間的瞬態(tài)振動曲線Fig.20 Transient vibration curves over speed of asymmetric thick-disk rotor(κ =0.07)with working speed near lower order critical speed

圖21 低階臨界轉(zhuǎn)速附近工作的非對稱(κ=0.07)厚盤轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的形心軌跡Fig.21 Trajectories of centroid of asymmetric thick-disk rotor(κ =0.07)with working speed near lower order critical speed

根據(jù)λw=0.8的計算結(jié)果可知，若工作轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速，顯然轉(zhuǎn)子的角速度是不能穿過臨界轉(zhuǎn)速的，到達工作轉(zhuǎn)速后即發(fā)生穩(wěn)態(tài)振動.因此，以亞臨界轉(zhuǎn)速工作的厚盤轉(zhuǎn)子不會出現(xiàn)振幅大幅增加的非線性振動.由圖13、圖16和圖19可見，當工作轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速，若不發(fā)生過臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動，則能維持在超臨界轉(zhuǎn)速下運行，振動幅值不會劇增.但是，如果外界能源不能向厚盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提供足夠穿越臨界轉(zhuǎn)速的能量，自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速會隨著軸的動撓度和盤的偏擺角的瞬態(tài)振動而出現(xiàn)波動，造成能量耦合，從而激起系統(tǒng)的非線性振動，發(fā)生“失速”現(xiàn)象.這是定功率的有限能量模式區(qū)別于定角加速度的理想能源模式最大的特點.進一步，發(fā)生“失速”的轉(zhuǎn)速，對同一系統(tǒng)是一個定值，低于臨界轉(zhuǎn)速;這時，功率大小只造成非線性瞬態(tài)振動的幅值變化，而不能使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速繼續(xù)上升，除非有足夠大的功率克服振動引起的阻力矩.“失速”后，外界能源輸入的能量被轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耗散和轉(zhuǎn)化為勢能存儲起來.

圖22～圖25分別給出了κ=0的對稱厚盤轉(zhuǎn)子 λw=11.4，11.8，12.4，13.0 和 κ =0.03 的非對稱厚盤轉(zhuǎn)子以λw=20，25，30，35過高階臨界轉(zhuǎn)速隨時間變化的瞬態(tài)振動曲線和盤偏角矢尖(以盤的偏擺表征高階振動)在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡.可以發(fā)現(xiàn)，厚盤轉(zhuǎn)子在高階臨界轉(zhuǎn)速附近也存在“失速”現(xiàn)象，盤偏角矢尖軌跡出現(xiàn)分叉，尤其對非對稱轉(zhuǎn)子由于非線性振動，要求極高的功率才能順利通過高階臨界轉(zhuǎn)速.因此，實際工程中的厚盤轉(zhuǎn)子結(jié)構是很難在高階臨界轉(zhuǎn)速之上運行.若外界功率足夠大，厚盤轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速后，瞬態(tài)振動衰減，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，這在以盤的偏擺為高階振型的振動上十分明顯.

圖22 對稱厚盤轉(zhuǎn)子定功率過高階臨界轉(zhuǎn)速時隨時間變化的瞬態(tài)振動曲線Fig.22 Transient vibration curves over time of symmetric thick-disk rotor crossing higher order critical speed with constant power

圖23 對稱厚盤轉(zhuǎn)子定功率過高階臨界轉(zhuǎn)速時盤偏角矢尖軌跡Fig.23 Trajectories of declination angle vector tip of disk of symmetric thick-disk rotor crossing higher order critical speed with constant power

圖24 非對稱(κ=0.03)厚盤轉(zhuǎn)子定功率過高階臨界轉(zhuǎn)速時隨時間變化的瞬態(tài)振動曲線Fig.24 Transient vibration curves over time of asymmetric thick-disk rotor(κ =0.03)crossing higher order critical speed with constant power

過臨界轉(zhuǎn)速需要的瞬態(tài)能量高于相同當?shù)剞D(zhuǎn)速條件下穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)能量.而且，非對稱轉(zhuǎn)子比對稱轉(zhuǎn)子更不穩(wěn)定，更易發(fā)生非線性分叉，穿過臨界轉(zhuǎn)速需要的能量也更大.對需要穿過高階臨界轉(zhuǎn)速的對稱厚盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，相較于低階臨界轉(zhuǎn)速，外界能源要提供更高的功率才能克服瞬態(tài)振動引起的“失速”;而非對稱厚盤轉(zhuǎn)子由于能量有限幾乎不能穿過高階臨界轉(zhuǎn)速.

圖25 非對稱(κ=0.03)厚盤轉(zhuǎn)子定功率過高階臨界轉(zhuǎn)速時盤偏角矢尖軌跡Fig.25 Trajectories of declination angle vector tip of disk of asymmetric thick-disk rotor(κ =0.03)crossing higher order critical speed with constant power

根據(jù)本節(jié)采用有限能量對厚盤轉(zhuǎn)子瞬態(tài)振動的計算，可以得到:

1)若外界能源的功率不足夠克服阻力和振動，反而會與系統(tǒng)耦合，引起振動急劇增大.轉(zhuǎn)速將處于亞臨界轉(zhuǎn)速上，不能達到原本在臨界轉(zhuǎn)速以上的工作轉(zhuǎn)速，發(fā)生“失速”.

2)若外扭矩功率不足夠克服振動，系統(tǒng)將產(chǎn)生非線性瞬態(tài)振動，軌跡會出現(xiàn)分叉，如圖15(c)和圖18(c)所示.

3)隨著轉(zhuǎn)子剛度不對稱性加強，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域逐漸擴大.文獻［17］采用Floquet理論分析單盤轉(zhuǎn)子，也有同樣的結(jié)論.

4)如果外界能源有足夠大的功率，使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生大自轉(zhuǎn)加速度，即能抑制系統(tǒng)過臨界轉(zhuǎn)速的大幅度振動，可以順利穿過臨界轉(zhuǎn)速.且穿過臨界轉(zhuǎn)速后，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，瞬態(tài)振幅維持在很小的水平.這對于低階和高階臨界轉(zhuǎn)速都是成立的.這說明，過臨界轉(zhuǎn)速的自轉(zhuǎn)角加速度對厚盤轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振動的影響很大;發(fā)生非線性振動不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構有關，還與外界激勵有關.

5 結(jié)論

本文計算并分析了單、厚盤轉(zhuǎn)子穿過低、高階臨界轉(zhuǎn)速時的瞬態(tài)振動，并以轉(zhuǎn)子的形心和盤的偏擺角矢尖在旋轉(zhuǎn)坐標系中的軌跡對有阻尼單、厚盤轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性進行了分析，得出:

1)做正進動的單、厚盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有兩階固有模態(tài)，其中低階振型為軸的彎曲，高階振型為盤的偏擺;高階模態(tài)是厚盤轉(zhuǎn)子的特有模態(tài).

2)厚盤轉(zhuǎn)子在穿過兩階臨界轉(zhuǎn)速時，發(fā)生由按系統(tǒng)固有頻率的自由振動和在當?shù)剞D(zhuǎn)速頻率下的強迫振動合成的瞬態(tài)振動;其中過低階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動服從普通單盤轉(zhuǎn)子的一般規(guī)律，過高階臨界轉(zhuǎn)速的瞬態(tài)振動則與薄盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的瞬態(tài)振動有很大的不同.

3)單盤轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角加速度對系統(tǒng)過臨界轉(zhuǎn)速時的瞬態(tài)影響十分顯著.加速度越大，共振時對振幅的抑制越強，但是過臨界轉(zhuǎn)速后的振蕩衰減越緩慢.

4)剛度非對稱對厚盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響十分顯著.非對稱系數(shù)κ越大，轉(zhuǎn)子越容易產(chǎn)生非線性振動，不穩(wěn)定區(qū)域擴大，甚至造成轉(zhuǎn)子失穩(wěn).

5)采用定功率的有限能量模式加速的厚盤轉(zhuǎn)子，當外界能源不足夠提供轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速時，出現(xiàn)了能源與系統(tǒng)的能量耦合的“失速”，造成振動急劇增大，產(chǎn)生了非線性瞬態(tài)振動以及分叉.

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