高職數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合的探討

黃金紅

【摘 要】如何提升學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的熱情是高職數(shù)學(xué)教學(xué)不斷思考的問題，將數(shù)學(xué)建模的方式運(yùn)用到教學(xué)中除了能提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，還能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的了解認(rèn)識(shí)，形成正確的價(jià)值觀，進(jìn)而提升高職數(shù)學(xué)教育的價(jià)值。本文從高職數(shù)學(xué)教學(xué)方法和內(nèi)容上，引入實(shí)際案例，特別是一些貼近現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)建模案例，給出我們?cè)谡n堂上應(yīng)該如何融入數(shù)學(xué)建模思想，解決實(shí)際問題。

【關(guān)鍵詞】高職數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)建模;實(shí)際案例

作為高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課中的重要課程，高職數(shù)學(xué)的職責(zé)是要為以后學(xué)習(xí)的專業(yè)課奠定牢固的根基，并且造就學(xué)生的專業(yè)素養(yǎng)。從筆者視角來說，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)缺乏自主性以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用性在教學(xué)中無法得到體現(xiàn)，這是數(shù)學(xué)教育在高等職業(yè)技術(shù)學(xué)院遇到的兩個(gè)實(shí)際問題，也是高職院校需要在當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中積極重視處理的問題。

在本文中，探究了一些提升學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)熱情的辦法。希望提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那第一件事是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。數(shù)學(xué)建模在教育模式上是一種創(chuàng)新型探索，對(duì)于提升高職學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣有很大好處。將數(shù)學(xué)建模的思維和教學(xué)模式運(yùn)用到高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用包含實(shí)際含義、比較有實(shí)用的、也可以包含專業(yè)意義的范例，由學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行判辨、探尋，感悟在探求歷程學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，令學(xué)生調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)熱情，掌握運(yùn)用書本的知識(shí)、數(shù)學(xué)思考模式和數(shù)學(xué)知識(shí)辨析問題，解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力。

一、結(jié)合課本的習(xí)題或例題 引入數(shù)學(xué)建模思想

高職數(shù)學(xué)的教授中，需要在關(guān)注基礎(chǔ)和課本，利用書本教學(xué)和數(shù)學(xué)建模，并且融合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。課本上的許多例題或者習(xí)題稍作推廣就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模案例。高職數(shù)學(xué)在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中提煉，內(nèi)容不具象，但是有很好的應(yīng)用性。通過數(shù)學(xué)建模選修課學(xué)習(xí)，總結(jié)得出的經(jīng)驗(yàn)和思維方式嘗試運(yùn)用到高職數(shù)學(xué)教學(xué)中去。

案例1：一位美國人希望到加拿大度假，因此，他為了兌換加元用了1000美元， 幣值升值了12%。但是沒能成功出行，他又把這一筆加元換成美元，幣值減值了12%。問：通過這兩次的兌換后，他是不是實(shí)際資金減少了呢？

這是緊密貼合實(shí)際的例子，讓學(xué)生產(chǎn)生探究興致。其實(shí)這只是一個(gè)簡(jiǎn)單的構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的例子，我們可以用模型的方式給出解答，以此拓寬學(xué)生的思維形式。

設(shè)f（x）表示將x美元兌換成的加元數(shù)，增值比例為a;g（x）表示將x加元兌換成的美元數(shù)，減少比例為b。如果此人一來一回的兌換后不盈不虧的話，f（x）和g（x）應(yīng)互為反函數(shù)，即有如下關(guān)系：g[f（x）]=x

易知：g[f（x）]<x，則此人虧了;若g[f（x）]>x，則此人有盈余。

由題設(shè)：f（x）=x+ax，a>0，x>0;

g（x）=x-bx，b>0，x>0。

則將x美元兌換成加元后，再將加元兌換成美元的數(shù)額為：

g[f（x）]=（1-b）（1+a）x，

可以看出（1-b）（1+a）=1不盈不虧，

依題設(shè)a=b=0.12，再設(shè)x=1000美元，

則g[f（x）]=（1-0.12）（1+0.12）×1000=985.6，由此可知此人虧損14.4美元。不虧甚至盈余時(shí)，應(yīng)用（1-b）（1+a）≥1，得到b≤ = ≈0.107，即減少的比例不能超過10.7%。顯然，換匯機(jī)構(gòu)不會(huì)按此要求做虧本生意。

案例2：某人欲購買一套二居室的住房，需支付100萬元，首付40萬元，還需向銀行申請(qǐng)60萬元的買房貸款，貸款25年為期，月利率1%。按復(fù)利計(jì)算，還款從借款的下一個(gè)月開始。試問：此人每月應(yīng)還多少錢？

在現(xiàn)實(shí)生活中每個(gè)人都基本會(huì)碰到這樣的問題。這是一個(gè)構(gòu)造關(guān)于數(shù)列及多元函數(shù)的模型問題。

假設(shè)借貸期限為n個(gè)月，貸款額為An，月利率為r，按復(fù)利計(jì)算，每月需還金額為x元。

第一個(gè)月還款x元后欠款余額為：A1=（1+r）An-x

第二個(gè)月還款x元后欠款余額為：

A2=（1+r）A1-x=（1+r）2A0-（1+r）x-x

……

第n個(gè)月還款x元后欠款余額為：

An=（1+r）An-1-x=（1+r）2An-1-（1+r）x-x

=……

=（1+r）nA0-（1+r）n-1x

-（1+r）n-2x-…-（1+r）x -x

=（1+r）nA0-

第n個(gè)月還清貸款，則An=0，于是有

x= A0

從公式看出，每月還款額x是貸款額A0、貸款期限n與月利率r的函數(shù)，這是一個(gè)多元函數(shù)。

根據(jù)題設(shè)，n=300，A0=600000，r=0.01

x= ×600000≈6319

即每月還款額為6319元。

通過這兩個(gè)例子，學(xué)生會(huì)逐步認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)建模來自課本，高于課本。增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力。

二、將課本內(nèi)容延伸，引入建模思想

在講解高職數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念時(shí)，適當(dāng)?shù)囊肷钪谐霈F(xiàn)的，學(xué)生感興趣的現(xiàn)象，在教學(xué)中設(shè)計(jì)問題的情景利用啟發(fā)的方式，讓學(xué)生調(diào)動(dòng)起對(duì)學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生在辨析問題和處理問題的思考模式與技能得到鍛煉， 令學(xué)生調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)熱情，領(lǐng)悟?qū)W習(xí)方法。

案例3：兩人相約在某天下午1：00～2：00在約定的地方相見，如若先到就要等20分鐘，時(shí)間過后就離開。指定的一小時(shí)內(nèi)每人任一時(shí)刻到達(dá)都是可能的，那么兩人見到還是見不到，兩種可能性哪種大？

在這個(gè)問題的解決方法上最直觀的辦法就是將學(xué)生兩兩分組做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，最終發(fā)現(xiàn)見到的比見不到的組數(shù)多。問：這是偶然還是必然？

分析與解答：設(shè)x，y為兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻，那么兩人達(dá)到時(shí)間的一切可能結(jié)果落在邊長(zhǎng)為60（單位：分鐘）的正方形內(nèi)，即樣本空間？萃。如圖所示：

兩人若能見面，需滿足|x-y|≤20，即x-y≤20，且y-x≤20。

令事件A表示“兩人能見到面”，能會(huì)面如圖中陰影部分，則

P（A）= = =

問題的延伸：先到的人至少等待多長(zhǎng)時(shí)間，才能保證兩人以90%以上的可能性見到？

由以上分析可知：

P（A）= = ≥0.9，解得t≥41.1分鐘。

案例4：籃球比賽制定比賽規(guī)則問題

甲班同乙班舉行籃球比賽，如果甲班贏的可能性比較大，問：對(duì)于甲班來說，實(shí)現(xiàn)3局2勝，還是5局3勝更有優(yōu)勢(shì)？

解決此問題的直接方法是先讓學(xué)生進(jìn)行籃球比賽，甲組厲害一些，乙組更弱一些。用兩個(gè)賽制來進(jìn)行比賽，觀察結(jié)果，發(fā)現(xiàn)對(duì)于甲組來說，5局3勝更有利。問：這是必然嗎？

分析與解答：每一局比賽中假設(shè)甲班獲勝的幾率為P，各局為互相獨(dú)立的比賽。

3局2勝中甲班獲勝的狀況有兩種：舉行2局賽事，亦或舉行3局賽事，這讓甲班獲勝的幾率為：

P1=p2+C21p2（1-p）=p2（3-2p）

5局3勝中甲班獲勝的狀況有三種：舉行2局賽事，舉行4局賽事，亦或舉行5局，這讓甲班獲勝的幾率為：

P2=p3+C32p3（1-p）+C42p3（1-p）2

=p3（10-15p+6p2）

若p> ，容易得到P1<P2，即，對(duì)于甲班來說制定5局3勝更容易贏得比賽。

問題的延伸：若甲乙兩班的籃球水平相當(dāng)，賽制怎么制定？

由以上分析可知：此時(shí)p= ，代入可得P1=P2，即無論什么賽制，甲班贏得比賽的概率都是 。

大部分實(shí)際問題被應(yīng)用在高職數(shù)學(xué)中，這要求學(xué)生思考問題本身，并加以辨析推敲，以上兩個(gè)案例提示學(xué)生碰到問題時(shí)要多思考，多想，切忌匆忙下定論，遇到問題需要根據(jù)實(shí)際情況處理。老師們?cè)谂e例的時(shí)候則需要多考慮學(xué)生的興趣愛好，來提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

三、結(jié)論

高職數(shù)學(xué)內(nèi)容豐富有趣，學(xué)習(xí)高職數(shù)學(xué)不只是培養(yǎng)學(xué)生的能力，大量的實(shí)際問題沒通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，是可以解決的。在我們的教學(xué)中，多聯(lián)系生活，多引入數(shù)學(xué)建模的思維方式和解題方式，可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生研究身邊問題的習(xí)慣，從而學(xué)好高職數(shù)學(xué)。

高職數(shù)學(xué)是容易學(xué)習(xí)的，這需要我們努力革新教學(xué)模式，建立用數(shù)學(xué)思維模式，運(yùn)用生活中案例，結(jié)合書本，攻克數(shù)學(xué)的抽象，學(xué)生會(huì)感受高職數(shù)學(xué)感的樂趣，也就能掌握好高職數(shù)學(xué)。

運(yùn)用高職數(shù)學(xué)同數(shù)學(xué)建?；ハ嗳诤系膭?chuàng)新教學(xué)方法。需要教師在掌握課本的同時(shí)領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模，其要求也相對(duì)提高。怎樣將數(shù)學(xué)建模運(yùn)用到高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，處理實(shí)際情況，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性和實(shí)用性，這是老師需要全心探尋的方法;以學(xué)生角度看，掌握高職數(shù)學(xué)，能更方便處理實(shí)際碰到的一些問題，因此掌握高職數(shù)學(xué)非常重要。

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（作者單位：無錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部）