基于自適應(yīng)模糊C 均值聚類算法的電力負(fù)荷特性分類

趙國生，牛貞貞，劉永光，孫超亮

(1．鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 鄭州450001;2．河南許繼儀表有限公司，河南 許昌461000)

0 引言

基于電力用戶的實(shí)際負(fù)荷曲線分類對電力需求側(cè)管理［1］有著重要意義．合理的電力負(fù)荷分類有助于供電部門有效地掌握用戶的負(fù)荷特性并制定合理的電價(jià)政策［2］;有助于通過削峰填谷手段實(shí)現(xiàn)負(fù)荷曲線的整形［3］;有助于激勵用戶積極參與到需求側(cè)管理項(xiàng)目中去．同時(shí)，精細(xì)化的負(fù)荷分類對指導(dǎo)電網(wǎng)滾動規(guī)劃、實(shí)時(shí)調(diào)度及運(yùn)行規(guī)劃的可靠性評估等方面也具有重要意義．根據(jù)用電行業(yè)、電力負(fù)荷用電可靠性等級以及電價(jià)等進(jìn)行分類的傳統(tǒng)負(fù)荷分類方法已不能滿足需求側(cè)管理的需要，基于電力用戶的實(shí)際負(fù)荷曲線分類的電力負(fù)荷特性分類方法受到越來越多的關(guān)注，成為當(dāng)前負(fù)荷分類的主要方法．

目前，基于實(shí)際負(fù)荷曲線對負(fù)荷進(jìn)行分類的方法有很多，常用的有K-means 算法［4］、層次聚類算法［5］、模糊C 均值聚類算法(FCM)［6］、高斯混合模型(GMM)算法［7］、自組織特征映射神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SOM)算法［8］、支持向量機(jī)(SVM)算法［9］和極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM)算法［10］等． 這些方法中，F(xiàn)CM 算法在運(yùn)行時(shí)間、準(zhǔn)確度、穩(wěn)定性及聚類效果等方面均表現(xiàn)較好，是目前應(yīng)用最廣泛的電力負(fù)荷特性分類算法之一． 但是，F(xiàn)CM 算法也存在著需要人為確定聚類數(shù)目c 以及模糊加權(quán)指數(shù)m 取值需要憑經(jīng)驗(yàn)給定等問題． 針對FCM 算法存在的缺點(diǎn)，筆者以聚類有效性判別指標(biāo)［11］MIA 和MDC 為基礎(chǔ)來自動確定FCM 算法的聚類數(shù)目，并通過模糊決策的方法來確定最優(yōu)的m 取值，以達(dá)到最優(yōu)的聚類結(jié)果．

1 傳統(tǒng)FCM 聚類算法

1．1 傳統(tǒng)FCM 聚類算法

FCM 算法是一種以隸屬度來確定每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于某個(gè)聚類程度的算法，該算法是傳統(tǒng)硬聚類(HCM)算法的一種改進(jìn)．FCM 把數(shù)據(jù)集X =［x1，x2，…，xn］分為c 個(gè)模糊組，并求每組的聚類中心，它的模糊劃分可用矩陣U = ［uij］表示，其中矩陣U 的元素uij表示第j(j = 1，2，…，n)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于第i(i = 1，2，…，c)類的隸屬度．uij滿足以下條件:

FCM 的目標(biāo)函數(shù)是各點(diǎn)的隸屬度和該點(diǎn)與聚類中心的歐氏距離的乘積之和，F(xiàn)CM 算法就是求使聚類目標(biāo)函數(shù)最小化的劃分矩陣U 和聚類中心矩陣C．即

式中:n 是樣本數(shù)據(jù)集的個(gè)數(shù);c 是聚類中心數(shù);m為模糊加權(quán)指數(shù);dij表示樣本點(diǎn)和聚類中心之間的歐氏距離．

使得公式(2)達(dá)到最小值的兩個(gè)必要條件為

1．2 FCM 聚類算法的實(shí)現(xiàn)

FCM 算法就是反復(fù)更新聚類中心矩陣C 和隸屬矩陣U 進(jìn)行迭代的過程，具體步驟如下．

step1:給定聚類數(shù)目c、模糊加權(quán)指數(shù)m 和迭代停止閾值ε 的值，令k = 0，初始化隸屬度矩陣U(0)和聚類中心矩陣C(0)．

step2:根據(jù)公式(6)計(jì)算更新U(k)．

step3:根據(jù)公式(7)計(jì)算更新C(k+1)．

step4:根據(jù)公式(2)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，如果

1．3 FCM 聚類算法存在的問題

2 自適應(yīng)FCM 聚類算法

2．1 聚類數(shù)目c 的確定方法

FCM 聚類算法的聚類數(shù)目不能自動確定，需要人為輸入．為了克服這一缺點(diǎn)，筆者以類內(nèi)距離MIA 和類間距離MDC 兩個(gè)聚類效果評價(jià)指標(biāo)為基礎(chǔ)，引入聚類數(shù)目c 的自適應(yīng)函數(shù)I(c)來確定FCM 算法的聚類數(shù)目．理想的負(fù)荷分類結(jié)果應(yīng)該是同類負(fù)荷曲線間距離最小，不同類負(fù)荷曲線間距離最大．類內(nèi)距離MIA 和類間距離MDC 的定義如下:

假設(shè)聚類結(jié)果得到c 個(gè)負(fù)荷分類，Ck表示第k類負(fù)荷曲線中所包含的負(fù)荷曲線集合;ntk表示該集合中的所有負(fù)荷曲線;nk表示第k 類負(fù)荷曲線中包含的單位數(shù)目;CTk表示第k 類負(fù)荷曲線的聚類中心，其中k = 1，2，…，c．

類內(nèi)距離MIA 表示各聚類中心和其對應(yīng)聚類中所有負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)的距離平均值，定義如下:

類間距離MDC 表示不同類的聚類中心負(fù)荷曲線間距離的平均值，定義如下:

MDC(c)= mean(d(CTk，CTk))． (10)

式中:mean 為求平均值的函數(shù)．

定義類間距離MDC 與類間距離MIA 的比值I為

I(c)= MDC(c)/MIA(c)． (11)

由于MIA(c)表示類內(nèi)距離;MDC(c)表示類間距離;類間距離與類內(nèi)距離的比值I(c)越大表明聚類效果越好，即I(c)取得最大值時(shí)對應(yīng)的c為最佳聚類數(shù)目．

2．2 模糊加權(quán)指數(shù)m 的確定

FCM 聚類算法與傳統(tǒng)的硬聚類算法的區(qū)別就在于引入了模糊加權(quán)指數(shù)m，而參數(shù)m 取值的大小是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定的．不同的m 值對FCM 算法的分類結(jié)果有著很大的影響．m 的值越大，聚類結(jié)果越模糊，所得到的FCM 分類結(jié)果中每類之間的區(qū)別越不明顯． 也就是說，m 的取值影響著FCM算法的聚類效果．m 的取值區(qū)間為［1，+ ∞］，在不做特殊要求的時(shí)候，m 的值取2．Pal 等人從聚類有效性方面入手，通過實(shí)驗(yàn)得出m 的最優(yōu)選擇區(qū)間為［1．5，2．5］．

選取m 的最優(yōu)取值是為了FCM 聚類算法能夠得出合理有效的聚類結(jié)果，所以，筆者以FCM算法的目標(biāo)函數(shù)為基礎(chǔ)，引入m 的自適應(yīng)函數(shù)．根據(jù)文獻(xiàn)［12］中的劃分熵Hm(U，C)和FCM 算法的目標(biāo)函數(shù)Jm(U，C)共同約束來求得最優(yōu)的m．其中Hm(U，C)定義如下:

其中，當(dāng)uij= 0 時(shí)，uij·ln uij= 0;Hm(U，C)越大，聚類越模糊．模糊加權(quán)指數(shù)m 的最佳值為m*，表示如下:

將m*確定轉(zhuǎn)化為一個(gè)帶約束的非線性規(guī)劃問題，用模糊決策的方法來確定m*的值，則Jm(U，C)和Hm(U，C)分別定義成如下形式:

其中:參數(shù)α ＞1，一般α = 1．5;β 為較大的正常數(shù)，一般β = 10． 根據(jù)式(14)、(15)，利用模糊決策的方法可以得到m*．

即以較大的隸屬度來通過同時(shí)極小化Jm(U，C)和Hm(U，C)，由此得到的聚類結(jié)果不但分類清晰，而且類內(nèi)的元素相似性也比較大．

2．3 自適應(yīng)FCM 聚類算法的實(shí)現(xiàn)

筆者所提出的自適應(yīng)FCM 算法是通過模糊決策的方法自動確定模糊加權(quán)指數(shù)m 的值，并通過類間距離與類內(nèi)距離的比值形成的自適應(yīng)函數(shù)I(c)來自動確定聚類數(shù)目．自適應(yīng)FCM 算法流程圖如圖1 所示．自適應(yīng)FCM 聚類算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下．

step1:輸入初始聚類數(shù)目c = 2，I(0)= 0．

step2:給定m = 1．1．

step3:由1．2 中的FCM(m，c)進(jìn)行聚類，求出目標(biāo)函數(shù)Jm(U*，C*)和劃分熵Hm(U*，C*)．

step4:判斷模糊加權(quán)指數(shù)m 的大小，如果m ＜2．5，則m = m +0．1 返回step3．

step5:根據(jù)公式(12)，利用模糊決策的方法得到最優(yōu)的模糊加權(quán)指數(shù)的m*

c ．

step6:由1．2 中的FCM(m*c ，c)進(jìn)行聚類，求出I(c)．

step7:當(dāng)2 ＜c ＜n 時(shí)，如果I(c-1)＞I(c-2)且I(c-1)＞I(c)，則聚類過程結(jié)束;否則c = c+1，返回step2．

圖1 自適應(yīng)FCM 算法流程圖Fig．1 The flow chart of adaptive FCM algorithm

3 算例分析

3．1 日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)的選取和預(yù)處理

算例所采用的數(shù)據(jù)為北方某省電力公司的用電信息采集系統(tǒng)所采集到的包括商業(yè)樓宇、公共機(jī)構(gòu)、高耗電行業(yè)等不同行業(yè)的98 個(gè)電力用戶的96點(diǎn)典型日負(fù)荷曲線．為了降低其他因素的影響，筆者采用連續(xù)多個(gè)工作日的96 點(diǎn)日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)取平均值的方法來獲取典型的日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)．

現(xiàn)取連續(xù)一個(gè)月的96 點(diǎn)日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)來獲取該類負(fù)荷的典型日負(fù)荷曲線，則該負(fù)荷的典型日負(fù)荷曲線為一個(gè)月日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)的平均值．第i 條負(fù)荷曲線的典型負(fù)荷曲線表示為xi=［xi1，xi2，…，xi96］，由于不同類型的負(fù)荷數(shù)據(jù)變化很大，不便于進(jìn)行數(shù)據(jù)比較，為去除負(fù)荷數(shù)量級對聚類分析的影響，在進(jìn)行聚類分析之前已經(jīng)對電力用戶的典型日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，這里采用極值序列歸一化，即

歸一化之后所有的數(shù)值都在［0，1］，式中max［xi1，xi2，…，xi96］為第i 條典型日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)xi中數(shù)據(jù)點(diǎn)的最大值．

3．2 自適應(yīng)FCM 聚類算法分類結(jié)果

根據(jù)算例所使用的典型日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)，對其進(jìn)行極值序列歸一化處理后，得到歸一化的98條典型日負(fù)荷曲線數(shù)據(jù)． 按照第2 節(jié)中的自適應(yīng)FCM 聚類算法對98 條負(fù)荷曲線進(jìn)行分類． 當(dāng)聚類數(shù)目c=8 且最優(yōu)模糊加權(quán)指數(shù)m*c =1．9 時(shí)算法停止，最終的聚類結(jié)果如圖2 所示．

圖2 自適應(yīng)FCM 算法分類結(jié)果Fig．2 The classification result of adaptive FCM algorithm

由圖2 的最終分類結(jié)果可以看出，該分類結(jié)果中每個(gè)分類能明顯地代表一類典型負(fù)荷的負(fù)荷特征，分類結(jié)果比較理想． 與傳統(tǒng)的FCM 算法相比，筆者所用自適應(yīng)FCM 算法的聚類數(shù)目c 的確定，是根據(jù)聚類有效性指標(biāo)的類間距離與類內(nèi)聚類的比值來確定的;而模糊加權(quán)指數(shù)m 值是以FCM 算法的目標(biāo)函數(shù)為基礎(chǔ)，利用模糊決策的方法確定的．該算法克服了傳統(tǒng)FCM 算法的不足，并且優(yōu)于那些單純確定聚類數(shù)目c 的自適應(yīng)FCM算法．

文獻(xiàn)［8］是將SOM 算法與FCM 算法相結(jié)合，利用SOM 算法得到聚類數(shù)目和初始聚類中心，并作為FCM 算法的初始輸入，以克服FCM 算法存在的缺點(diǎn)，即相當(dāng)于進(jìn)行了兩次聚類，實(shí)現(xiàn)起來比較復(fù)雜，且聚類結(jié)果的優(yōu)劣仍需要進(jìn)行衡量．與文獻(xiàn)［8］相比，筆者所采用的自適應(yīng)FCM 算法，是基于聚類結(jié)果的評價(jià)指標(biāo)確定自適應(yīng)函數(shù)以確定聚類數(shù)目c，且以FCM 算法的目標(biāo)函數(shù)為基礎(chǔ)來確定模糊加權(quán)指數(shù)m，均是以聚類結(jié)果最優(yōu)為基礎(chǔ)對FCM 算法本身進(jìn)行的改進(jìn)，此方法不僅克服了FCM 算法存在的缺點(diǎn)，且得到的聚類結(jié)果是最優(yōu)的，實(shí)現(xiàn)起來也比較簡單．

4 結(jié)論

針對FCM 聚類算法存在需要人為確定聚類數(shù)目的缺點(diǎn)，筆者通過計(jì)算聚類算法中的有效性判別指標(biāo)MDC(c)和MIA(c)的比值I(c)，選取I(c)取得最大值時(shí)所對應(yīng)的聚類數(shù)目c 為最優(yōu)的聚類數(shù)目，并且通過模糊決策的方法來優(yōu)選模糊加權(quán)指數(shù)m，以FCM 算法的目標(biāo)函數(shù)Jm(U*，C*)為模糊決策方法的目標(biāo)函數(shù)和劃分熵Hm(U*，C*)為模糊決策方法的約束條件，以較大的隸屬度來通過同時(shí)極小化Jm(U，C)和Hm(U，C)以求得最優(yōu)的m． 通過算例分析可知，該算法不僅克服了FCM 算法存在的缺點(diǎn)，而且所得到的聚類結(jié)果能夠分別代表一類典型負(fù)荷的負(fù)荷特性．

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