一道試題解法的精彩演繹

☉州高新區(qū)孫紅

一道試題解法的精彩演繹

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學孫紅

一、原題呈現(xiàn)

例1（1）如圖1，若BC=6，AC=4，∠C=60°，求△ABC的面積；

（2）如圖2，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面積；

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，若AC=m，BD=n，對角線AC、BD交于O點，它們所成的銳角為β，求四邊形ABCD的面積.

圖1

圖2

圖3

說明：這是《中學數(shù)學》（下）2014年第8期文1給出的一道關(guān)于三角函數(shù)方面的復習題.

評析：本題源自高中課本，主要目的是引導學生經(jīng)歷從特殊到一般的過程去探索并發(fā)現(xiàn)三角形的面積公式SbcsinA，然后運用所發(fā)現(xiàn)的面積公式求已知對角線及其夾角的四邊形的面積，這也是一個拓廣應用的過程.本題由問題（1）到問題（2）凸顯了從特殊到一般的歸納思想，從問題（2）中的三角形面積到問題（3）中的四邊形面積充分體現(xiàn)了化歸思想，因此，本題對培養(yǎng)學生形成良好的數(shù)學思維品質(zhì)具有很好的作用.

圖4

文1給出了它的常規(guī)解法之后，展示了學生給出的精彩解法.為了說明問題，這里只抄錄精彩解法，常規(guī)解法此處從略.

精彩解法：如圖4，過點C作BD的平行線，在平行線上取CM= BD，過點A作AN⊥CM，垂足為N，易得S四邊形ABCD=S△ACM.

因為CM∥BD，所以∠ACM=∠AOB=β.

思考：不論是常規(guī)解法還是精彩解法，均符合題目考查的意圖，即考查學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論，并應用所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決實際問題的能力，實現(xiàn)這一意圖的基本途徑就是將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積計算.筆者通過研究學生的上述解法后發(fā)現(xiàn)，學生給出的解法確實很精彩，其精彩之處在于巧妙地將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積來計算.這一精彩的解法是從哪里來的呢？

文1認為：“本題給予了一個全新的知識體系，用了一種全新方法求面積，緊扣學生認知區(qū)域的邊緣，知識覆蓋面大、綜合性強，故對學生具有一定的難度，但正因為有一定的難度，所以才能很好地‘逼’出了學生的思維.”學生的思維果真能被“逼”出來嗎？其實，學生已經(jīng)有了給出這種解法的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本數(shù)學活動經(jīng)驗.

二、追根溯源

1.立足教材，落實“四基”

平行四邊形是初中階段非常重要的平面圖形，不僅要求學生理解平行四邊形的邊、角、對角線所具有的性質(zhì)，而且要求學生能夠靈活運用這些性質(zhì)解決實際問題.學生在探索平行四邊形性質(zhì)和判定的過程中，已初步積累了一定的基本數(shù)學活動經(jīng)驗，具備了解決平行四邊形有關(guān)問題的基本技能.學生已經(jīng)知道通過添加平行四邊形的對角線，可將一個平行四邊形分成兩個全等三角形.由此可知，一條對角線將平行四邊形分成兩個面積相等的三角形.在此基礎(chǔ)上，學生也探索過關(guān)于平行四邊形面積的其他性質(zhì).因此，關(guān)于平行四邊形的面積問題，學生已具有以下基礎(chǔ)知識：

（1）如圖5，四邊形ABCD是平行四邊形，連接一條對角線AC，則S△ABC=S△ACD.

（3）如圖7，點O是?ABCD內(nèi)任意一點，則S△AOB+

圖5

圖7

圖8

圖6

以上三條性質(zhì)雖然簡單，但在解決實際問題中有著重要的作用.

北京師范大學出版社出版的《義務教育教科書·數(shù)學》（八年級下冊）161頁有這樣的一道習題：

例2如圖8，某村有一個四邊形池塘，它的四個頂點A、B、C、D處均有一棵大樹，村里準備開挖池塘建魚塘，想使池塘的面積擴大一倍，又想保持大樹在池塘邊不動，并要求擴建后的池塘成平行四邊形的形狀，請問能否實現(xiàn)這一設想？若能，請你設計出所要畫的圖形；若不能，請說明理由.

解析：如圖8所示，連接AC、BD，過點A與點C分別作BD的平行線，過點B與點D分別作AC的平行線，四條平行線兩兩相交于點E、F、G、H，則四邊形EFGH是平行四邊形.由平行四邊形的性質(zhì)易知，S?EFGH=2S四邊形ABCD.因此，這一設想能夠?qū)崿F(xiàn).

點評：本題是在學生學習了平行四邊形的性質(zhì)之后，經(jīng)常見到的圖形設計問題，它主要考查學生運用平行四邊形的性質(zhì)解決實際問題的能力，只要學生理解了平行四邊形面積的有關(guān)性質(zhì)，在教師的積極引導下學生容易完成作圖，然后根據(jù)平行四邊形的面積所具有的性質(zhì)很容易說明四邊形ABCD與平行四邊形EFGH面積之間的關(guān)系.通過這類問題的解決，可以為學生解決與之類似的數(shù)學問題積累一定的數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

2.演繹精彩

鑒于以上的基礎(chǔ)知識和數(shù)學活動經(jīng)驗，可給出例1問題（3）的如下解法：

如圖9，過點A與點C分別作BD的平行線，過點B與點D分別作AC的平行線，四條平行線兩兩相交于點E、F、G、H，由平行線的性質(zhì)及平行四邊形的定義易知，四邊形EFGH是平行四邊形，連接FH，易知EH=BD=n，EF=AC=m，∠E=β.

圖9

學生給出的解法又是怎么來的呢？將圖9中的?ACGH沿D■→B方向平移|D→B|個長度單位，使GH與EF重合，點A的對應點為L，點O的對應點為K，點C的對應點為M，得到圖10.由平移的性質(zhì)易知，四邊形ACML是平行四邊形，圖9中四邊形ABCD的面積與圖10中△ABC、△BML的面積和相等.

圖10

在上述解答過程中，如果只將圖9中的點G沿D→B方向平移|D→B|個長度單位，就會得到圖4，由此可得到學生給出的精彩解法.

三、結(jié)束語

精彩的解法不會從天而降，更不會從學生的思維中被“逼”出來，它源于對數(shù)學基礎(chǔ)知識的牢固掌握，源于對數(shù)學基本思想方法的深刻領(lǐng)會，源于對基本數(shù)學技能、基本數(shù)學活動經(jīng)驗的積累.因此，在數(shù)學教學中，一定要認真落實《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）所倡導的數(shù)學理念，立足教材，重視基礎(chǔ)知識，注重滲透數(shù)學思想方法，有意識地引導學生領(lǐng)會歸納、類比、轉(zhuǎn)化等常用思想方法，并將其運用在問題的解決過程中，積累學生基本技能與基本數(shù)學活動經(jīng)驗，也就是要認真落實“四基”，使學生真正獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗.

1.李海燕.換個解法更精彩［J］.中學數(shù)學（下），2014（8）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.張寧.關(guān)注核心知識重視基本方法——2013年寧夏中考數(shù)學試題評析［J］.中學數(shù)學（下），2013（12）.H